例析二元一次方程組的求值題

【摘要】二元一次方程組是初中代數(shù)教學(xué)的核心內(nèi)容，也是方程知識(shí)的基礎(chǔ).二元一次方程組求值中，方程組類(lèi)型不同，求解思路也有所不同，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想均提出了更高的要求.本文基于二元一次方程組解題實(shí)踐，對(duì)常見(jiàn)的解題方式展開(kāi)探究.

【關(guān)鍵詞】初中代數(shù)；二元一次方程組；解題

二元一次方程組作為初中代數(shù)的主要內(nèi)容之一，在考試中所占據(jù)的分值比例比較高.同時(shí)，二元一次方程組還是學(xué)生學(xué)習(xí)方程知識(shí)、學(xué)習(xí)二次函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ).對(duì)此，在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中，也提出了明確的教學(xué)要求，倡導(dǎo)教師應(yīng)將教學(xué)重點(diǎn)放到二元一次方程組的解法和應(yīng)用上.鑒于此，針對(duì)初中學(xué)生在解二元一次方程組時(shí)遇到的困難，積極開(kāi)展解題教學(xué)，使得學(xué)生通過(guò)日常解題訓(xùn)練，逐漸掌握二元一次方程的求值技巧.

1 消元解題法

在二元一次方程組求值中，消元法尤為常見(jiàn)，主要是同一未知數(shù)相等、相反時(shí)，即可通過(guò)兩個(gè)方程式相加或者相減進(jìn)行消元、解答[1].

例1 如果m為正整數(shù)，關(guān)于x，y的方程組mx+2y=10①3x－2y=0②有整數(shù)解，求m2的值？

解析 在解答該方程組時(shí)，即可通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)方程式中未知數(shù)y的系數(shù)相反.因此，即可通過(guò)消元法進(jìn)行解答.

①+②得：（m+3）x=10.

因?yàn)閙為正整數(shù)，因此x=10m+3，

將x=10m+3代入到②中，得出y=15m+3.

又因?yàn)閤，y為整數(shù)，m為正整數(shù)，

所以x，y都為正整數(shù).因此，能整除10、15的正整數(shù)為5，

因此m+3=5，即m=2，因此m2=4.

2 代入解題法

代入法是解答二元一次方程的基礎(chǔ)，多數(shù)學(xué)生均可熟練使用.具體來(lái)說(shuō)，在運(yùn)用代入法解題時(shí)，學(xué)生應(yīng)從方程組中選擇出系數(shù)相對(duì)比較簡(jiǎn)單的方程進(jìn)行變形，之后再代入到另一個(gè)方程式中進(jìn)行求解[2].

例2 若方程組7x－8y=3①，2y+3（7x－8y）=11②，求代數(shù)式14x－15y的值？

解析 在解這一方程組時(shí)，經(jīng)觀察即可發(fā)現(xiàn)，方程②中含有方程①的元素.因此，在解答問(wèn)題時(shí)，即可采用整體代入的方式，將方程①代入到方程②中進(jìn)行求解.

將方程①代入到方程②中，即可得出2y+9=11，則y=1，

因此14x－15y=2（7x－8y）+y=2×3+1=7.

3 換元解題法

換元法又被稱(chēng)為設(shè)參數(shù)法，在解答二元一次方程組時(shí)也比較常見(jiàn)，主要是先假定一個(gè)位置參數(shù)，以此表示二元一次方程組中的未知數(shù)，進(jìn)而完成題目的解答.

例3 解方程組2（m+n）－3（m－n）=11，3（m+n）+5（m－n）=－12.

解析 在本方程組中，如果直接進(jìn)行解答，需要先代入或者加減，整個(gè)過(guò)程相對(duì)比較麻煩.鑒于此，即可根據(jù)本題目的特點(diǎn)，采用換元法的方式進(jìn)行解答.

設(shè)m+n=x，m－n=y，之后將其代入到方程組中，即可得出：2x－3y=11，3x+5y=－12，

之后解方程組得出x=1，y=－3，

進(jìn)而可得出關(guān)于m，n的方程組m+n=1，m－n=－3，

最終解方程組得m=－1，n=2.

4 其他解題法

在二元一次方程組求解中，無(wú)論是哪一方法，其本質(zhì)都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想，學(xué)生需要認(rèn)真觀察方程組的特點(diǎn)，選擇最佳的解題方法[3].

例4 解方程組x3+y9=10①，y3+x9=10②.

解析 這一方程組比較特殊，將方程①（②）中x，y兩個(gè)未知參數(shù)對(duì)換之后，就會(huì)得到方程②（①）.因此，這兩個(gè)方程處于等價(jià)狀態(tài).針對(duì)這一類(lèi)型的方程組，即可選擇對(duì)稱(chēng)法進(jìn)行解答：令x=y，之后將其代入到方程①中，即可得出x=y=22.5.

例5 若2023x－2024y=2045①，2024x－2023y=2002②，

求x+21+y－22的值？

解析 在這一題目中，由于x，y的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)數(shù)值比較大，直接采用代入法或者消元法解答，學(xué)生將面臨著較大的困難.鑒于此，即可從新的視角進(jìn)行解答.經(jīng)分析得知，x的系數(shù)和為4047，y的系數(shù)和為-4047，常數(shù)項(xiàng)的和為4047.因此，即可采用重組方程組的思路進(jìn)行解答：

①+②得出：4047x－4047y=4047，

即：x－y=1③，

②－①得出：x+y=－43④，

由③④聯(lián)立方程組，即可得出x=－21，y=－22，

因此x+21+y－22=0+44=44.

5 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，二元一次方程組是初中代數(shù)教學(xué)的重中之重，也是學(xué)生學(xué)習(xí)方程知識(shí)的基礎(chǔ).鑒于此，教師在日常解題教學(xué)中，不僅僅要加強(qiáng)二元一次方程組基本概念教學(xué)，還應(yīng)基于典型的練習(xí)題展開(kāi)解題訓(xùn)練，使得學(xué)生在多角度解決二元一次方程組的過(guò)程中，逐漸提升自身的數(shù)學(xué)解題能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]張忠偉.巧解與二元一次方程組有關(guān)的求值題[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2024（08）：2-3.

[2]顧金峰.利用二元一次方程組的解的定義求值[J].現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2023（16）：37-38.

[3]于志洪.二元一次方程組的九種特殊解法[J].初中學(xué)生學(xué)習(xí)指導(dǎo)，2021（32）：22-23.