例談運用二次函數解決生活中的常見問題

【摘要】二次函數作為數學中的重要內容，在實際生活中有著廣泛的應用．本文首先闡述二次函數的重要性及其應用策略，然后通過具體實例分析二次函數在解決利潤最大化和運動軌跡等生活常見問題中的應用，進一步展示二次函數的實用性和重要性．

【關鍵詞】二次函數；初中數學；解題技巧

數學源于生活，又服務于生活．二次函數作為中學數學的重要內容之一，其在實際生活中的應用非常廣泛．通過建立二次函數模型，可以解決許多生活中的實際問題，如利潤最大化、運動軌跡等．本文將通過具體實例，探討二次函數在生活中的常見應用．

1 二次函數的重要性及應用策略

二次函數的重要性不言而喻．首先，從知識結構的角度來看，二次函數是對一次函數、反比例函數等知識的深化和拓展．它將代數與幾何緊密結合，通過拋物線的形式展現了函數的變化規律．學生在學習二次函數的過程中，需要綜合運用代數運算、方程求解、圖形分析等多種數學方法，從而提升了邏輯思維能力和綜合解題能力．其次，二次函數在中考中占有較大的比重．無論是選擇題、填空題還是解答題，都經常涉及二次函數的相關內容．掌握好二次函數，對于學生在中考中取得優異成績至關重要．

二次函數在實際生活中的應用也十分廣泛．例如，在商業領域中，企業可以利用二次函數來確定最優的銷售價格，以實現利潤最大化．通過建立利潤與銷售價格之間的二次函數關系，求出函數的最大值點，從而確定最佳售價．在工程設計中，二次函數可以用來計算拋物線形狀的橋梁、拱門等建筑物的參數．此外，二次函數還可以應用于物理5nA+MzWffWEMQkq4qCN8EA==學中，如描述物體的拋體運動軌跡等．

為了更好地掌握二次函數，可以采取以下應用策略．首先，要扎實掌握二次函數的基本概念和性質．理解二次函數的一般式、頂點式、交點式等不同形式，掌握拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標等特征．通過大量的練習，熟悉二次函數的圖像變換規律，如平移、對稱、縮放等．其次，要注重與實際問題相結合．在學習二次函數的過程中，多關注生活中的實際問題，嘗試將其轉化為二次函數模型進行求解．這樣不僅可以加深對二次函數的理解，還能提高應用數學知識解決實際問題的能力．最后，要善于總結歸納．在解題過程中，要總結不同類型問題的解題方法和技巧，形成自己的解題思路．同時，要將二次函數與其他數學知識進行有機結合，構建完整的數學知識體系．

2 二次函數解決生活中常見問題的案例分析

2.1 利潤最大化問題

例1 天貓“天天特價”網店銷售某款打底裙，每件售價60元，每星期可賣300件，為促銷，該店決定降價銷售.市場調查反映，每降價1元，每星期可多賣30件，已知該款打底裙每件成本40元，天貓規定售價不得低于成本價，設該款打底裙每件售價x元，每星期的銷量為y件，每星期的銷售利潤為w元．

（1）求y與x之間的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍．

（2）求w與x之間的函數解析式，并求當每件售價定為多少元時，每星期的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

（3）若該網店每星期想要獲得不低于6480元的利潤，請直接寫出每件售價x的取值范圍．

解析 （1）y=300+3060-x=-30x+210040≤x≤60．

（2）W=x－40－30x+2100=－30x－552+6750，

因為－30<0，開口向下，40≤x≤60，

所以，當x=55時，w有最大值，Wmax=6750元，

即每件售價定為55元時，每星期的銷售利潤最大，且最大利潤為6750元．

（3）根據題意知，－30x－552+6750≥6480，

解得52≤x≤58．

點評 在商業活動中，經常需要考慮如何實現利潤最大化．本題解題的關鍵是理解題意，找到題目中的相等關系，并據此列出二次函數解析式，熟練掌握二次函數的性質．根據“實際銷售量=原銷售量+30×下降的價格”可得函數解析式；根據“總利潤=單件利潤×銷售量”列出函數解析式，配方成頂點式，再利用二次函數的性質求解即可；根據題意列出不等式－30x－552+6750≥6480，利用二次函數的性質求解可得出x的范圍．

2.2 運動軌跡問題

例2 在某次測試中小周投擲出的實心球所經過的路線是如圖1所示的拋物線，已知實心球出手時離地面1.6m，當實心球行進的水平距離為3m時實心球達到最大高度2.5m．

（1）求實心球行進的高度ym與行進的水平距離xm之間的函數關系式（不要求寫自變量的取值范圍）；

（2）如果實心球測試的優秀成績至少是8.2m，那么小周在這次測試中成績是否能達到優秀？請說明理由．

解析 （1）由題意知，該拋物線經過點0，1.6，頂點坐標為3，2.5，

設該拋物線的解析式為y=ax－32+2.5，

將0，1.6代入解析式，得1.6=a0－32+2.5，

解得a=－0.1，

所以，實心球進行的高度ym與行進的水平距離xm的函數解析式為y=－0.1x－32+2.5；

（2）不能達到優秀，理由如下：

當y=0時，－0.1x－32+2.5=0，

解得x1=8，x2=－2（舍去），

所以小周在這次測試中成績為8m，

因為8<8.2，

所以，小周在這次測試中成績不能達到優秀．

點評 本題從生活實際問題出發，考查了二次函數的實際應用．第（1）問中，根據拋物線頂點坐標設出頂點式，再將拋物線與y軸交點坐標代入求解即可；第（2）問中，求出拋物線與x軸的交點坐標，再與優秀成績標準進行比較即可．

3 結語

通過以上實例可以看出，二次函數在生活中有著廣泛的應用．在解決實際問題時，可以通過建立二次函數模型，利用二次函數的性質來求解問題的最優解．在建立二次函數模型的過程中，需要根據實際問題的特點，合理設未知數，確定函數關系式，并結合二次函數的圖象和性質進行分析求解．同時，也應該認識到，數學知識與實際生活是緊密聯系的，只有將數學知識靈活運用到實際生活中，才能更好地發揮數學的作用．總之，初中二次函數在數學學習和實際生活中都具有重要的地位．通過掌握二次函數的基本概念和性質，采取有效的應用策略，可以更好地理解和應用二次函數，為今后的學習和生活打下堅實的基礎．

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