九年級數(shù)學(xué)“找”軌跡“求”最值問題

【摘要】在九年級數(shù)學(xué)教學(xué)中，利用“找”軌跡“求”最值問題，對于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力，提高學(xué)生解題技巧，優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)有一定的意義.本文結(jié)合平時的教學(xué)經(jīng)驗，總結(jié)九年級數(shù)學(xué)“找”軌跡“求”最值的問題，并提供一些行之有效的解題方法.

【關(guān)鍵詞】最值；初中數(shù)學(xué)；運動軌跡；解題

在九年級數(shù)學(xué)教學(xué)中，“找”軌跡是指在特定條件下，尋求某種變量的運動路線．“求”最值是指某變量在運動過程中何時為最大值，何時為最小值的問題，通常涉及學(xué)生觀察圖形、畫輔助線、化動為靜、化繁為簡及把生活問題轉(zhuǎn)化為實際問題等能力，對提高學(xué)生解題技巧有一定的幫助.

例1 定線＋延長線→運動軌跡“想到”將軍飲馬如圖1，AC⊥BC，且AC= BC=4 ，∠BCD=15°，點P在直線CD上運動，求|PA-PB|的最大值.

解析 如圖2，作點B關(guān)于直線CD的對稱點B′，連接B′C，B′B，連接AB′并延長交直線CD于點P，連接BP，

則有CB′=CB=4，∠B′CP=∠BCD=15°．

因為AC⊥BC，

所以∠ACB=90°，

那么∠ACB′=90°-15°×2=60°，

因為B′C=BC，AC=BC，

可得B′C=AC，

所以△ACB′是等邊三角形，

則有AB′=AC=B′C=4，

那么當(dāng)A，B′，P三點共線時|PA-PB|最大，

即|PA-PB|=|PA-PB′|=AB′=4，

所以|PA-PB|最大值是4．

點評 本題主要考查了動點問題中，共頂點兩線段差（和），它的本質(zhì)是“將軍飲馬”問題的應(yīng)用，作對稱點是解題關(guān)鍵，正確做出輔助線即可解決問題.

例2 一點發(fā)三線＋特殊角→運動軌跡“想到”旋轉(zhuǎn)

如圖3，AB=2，AC=4，∠BAC可變，以BC為邊作等邊△BCP，求PA的最大值.

解析 如圖4，將△ABP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′BC，連接A′C，

則有△A′BC≌△ABP，

那么A′C=AP，BA=A′B.

因為∠A′BA=60°，

所以△A′BA是等邊三角形，

所以A′B=AB=A′A=2．

因為在旋轉(zhuǎn)的過程中始終有A′C≤AA′＋AC，

又因為求AP的最大值實際上就是求A′C的最大值，當(dāng)A′，A，C三點共線時A′C最大，

即AP=A′C≤AB＋AC≤2＋4≤6，

所以AP的最大值為6．

點評 本題主要考查了動點問題中若遇到等邊三角形，本質(zhì)是“一點發(fā)三線”的應(yīng)用，將△ABP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′BC是解題的關(guān)鍵，在作圖的過程中利用三角形全等和三角形三邊關(guān)系輕松解題.

例3 一線三垂直＋直線→運動軌跡“想到”“點動成線”如圖5，已知△ABC是等腰Rt△，且點A（2，0），點B在y軸上，連接OC，求OC的最小值.

解析 如圖6，過點C作CE⊥y軸于點E．

因為△ABC是等腰Rt△，

所以BC=BA，∠ABC=90°，

∠EBC＋∠ABO=90°．

而∠ABO＋∠OAB=90°，

所以∠EBC=∠OAB，

易證Rt△AOB≌Rt△BEC，

則有OB=CE．

設(shè)OB=CE=m，而OA=BE=2，

所以C（m，m+2）可知點C在直線y=x＋2上運動，

設(shè)直線y=x＋2與y軸交于點Q，與x軸交于點P，

則Q（0，2），P（-2，0），

那么△POQ是直角邊長為2的等腰Rt△，

易求斜邊PQ=22．

過點O作直線y=x＋2的垂線，垂足為點C′，

則OC′=12PQ=2，

故OC的最小值為2．

例4 定點＋定長→運動軌跡“想到”圓

如圖7，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝4，D為AC中點，E在AB邊上，BG⊥CE，P在AB邊上運動，求PD+PG的最小值.

解析 如圖8，以BC的中點O為圓心，以BC為直徑作圓O，作點D關(guān)于直線AB的對稱點D′，連接OD′交圓O于點G，交AB于點P，連接DO，DD′當(dāng)D′，G，O三點共線時PD+PG的值最小.

在Rt△ABC，∠A=30°，BC=4，

所以AC=2BC=8，由勾股定理可求AB=AC2－BC2=82－42=43．

又因為D，O分別是AC，BC的中點，

所以O(shè)D=12AB=23，DD′=4，在Rt△D′DO中由勾股定理可求D′O= OD2+D′D2=27，

即PD+PG=PG＋PD′=D′O-OG=27-2，

故PD+PG的最小值為27-2.

點評 本題是動點問題中“定點＋定長”類型，它的本質(zhì)就是根據(jù)兩條動線段求最值.方法是：先明確點G運動的軌跡是以BC的中點O為圓心，以BC為直徑的圓，且作出這個輔助圓，再作點D關(guān)于直線AB的對稱點D′，連接OD′確定出PD+PG的最小值時點G的位置，通過作圖問題就迎刃而解了.

結(jié)語

“找”軌跡“求”最值是近幾年中考熱點問題.在九年級數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用很多，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止以上幾例，在解決相關(guān)問題時若能很好地引導(dǎo)學(xué)生審題，從題中找出已知條件和所求問題，從運動軌跡入手，搞清楚運動軌跡是圓弧還是線段，找到運動過程中的“特殊時刻”作為解決問題的突破口，這樣解題就可以達到事半功倍的效果.在此過程中當(dāng)然要注意：不能生搬硬套，要舉一反三，教師要根據(jù)學(xué)生的實際情況，選擇合適的方法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維，提高學(xué)生解題能力，使學(xué)生做一道題會一類題.

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