類比推理 深度聯結

類比推理作為合情推理的重要形式之一，旨在引導學生在比較的基礎上進行推理，這也是認識事物的一種方法。在蘇教版小學數學六年級上冊“體積和容積單位”的教學中，采用類比推理，探尋計量單位之間的關聯性，可以促進知識的深度聯結，強化學生對度量單位的理解和認知。

一、教學基礎

（一）教材分析

“體積和容積單位”是蘇教版小學數學六年級上冊的內容，主要內容包括常用的體積單位立方米、立方分米和立方厘米以及容積單位升和毫升。該板塊內容是小學階段“計量教學”的最后一塊內容，建立在學生已經認識了長方體的基本特征、體積（容積）的意義、常見的體積單位、長方體和正方體的表面積和體積計算的基礎上，引導學生通過操作、計算、比較、分析、想象等數學活動，理解運用體積和容積單位。

從知識角度來看，學生已經學習了長度（一維）和面積（二維）的概念及單位，體積（容積）屬于三維層次，從一維、二維到三維是空間觀念的一次飛躍；從方法經驗來看，都是從日常生活中獲取計量單位的直觀感受和經驗認知，然后進行歸納推理，進而上升到理性層面；從知識結構層面來看，“體積和容積單位”這一塊的教學分為三個階段：體積（容積）概念的理解、體積（容積）大小的比較、體積（容積）單位的進率。

（二）教學目標

1.理解體積和容積單位的概念、意義及在日常生活中的應用。

2.建立1立方厘米、1立方分米、1立方米和1毫升、1升的空間觀念，會進行體積單位與容積單位之間的換算。

3.通過類比推理和遷移運用，深刻感悟并理解度量的本質，實現從二維空間向三維空間的轉變。

二、教學過程

（一）類比推理，建立體積單位表象

知識遷移理論認為：一切有意義的學習都是在原有認知結構的基礎上產生的。長度單位、面積單位和體積單位，從知識體系上看存在一定的聯系，課堂上可以充分利用學生的學習經驗，引導學生類比推理和遷移學習。在本節課開始，筆者從單位入手，從數與代數領域的計數單位到圖形領域中的度量單位，進一步引導學生運用長度單位回顧面積單位，然后通過結構性類比推理和遷移的方式，幫助學生建立體積單位表象，實現以長度單位和面積單位構建體積單位的目的。

【教學片段1】

活動1：回顧舊知，建立不同單位之間的聯系

教師提出問題：本節課要學習“體積單位”，那么，我們就從“單位”談起，說說看到“單位”你都聯想到了什么。

學生給出多種答案：體積單位、長度單位、面積單位、時間單位、重量單位、分數單位……在數與代數領域中，使用頻繁的單位就是計數單位，比如，在學習整數時，我們認識了個、十、百、千、萬等計數單位；在學習小數時，又認識了0.1、0.01、0.001等計數單位。

在圖形與幾何領域中，對幾何圖形的測量及度量也同樣需要數數，即單位的累加。教師出示課件（見圖1），并提問：在三年級時我們學過測量“線的長短”“面積的大小”，你們還記得是怎么測量的嗎？下面線段的長度是多少？你是怎么計量的？長方形的面積又是怎么測量的？

學生利用直尺測量、數方格等形式，給出答案：線段中是以1cm作為標準，有3個1cm累加，所以是3cm；對于長方形的面積，它是以1cm2為標準，通過數方格，發現共有8個方格，所以面積應該是8cm2。

師總結：如果要計量一條線段有多長，就利用不同標準長度的線段（長度單位）來進行累加；在測量圖形的面積時，我們利用不同標準大小的正方形（面積單位），通過平鋪進行測量。

活動2：類比推理，初步感知體積單位

教師提出問題：在測量圖形的體積時，應該用到什么單位呢？你覺得體積單位會有哪些？

學生類比長度測量和面積測量進行推理，測量圖形體積需要用到體積單位，并結合課前預習猜測：體積單位可能會有立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）和立方米（m3），可以利用不同標準大小的正方體（體積單位），通過堆積疊放進行測量。

師總結：測量線段長度的尺子是“線”，度量面積的尺子是“面”，類比推理可知，度量體積的尺子是“體”，從而構建長度、面積、體積之間的線、面、體的關系。

（二）類比推理，體會體積測量方法

在三維空間中，度量一維長度的“線”，可以直接將一維的線進行比較，而在另外兩個維度上可以復制；度量二維面積大小的“面”，也可以直接進行比較。但是度量三維空間上的體積時，由于被測物體的三維空間都被占據了，所以無法直接進行比較。

【教學片段2】

活動1：類比遷移，利用已知問題解決未知問題"教師提出問題：如何測量三維空間的體積大小呢？前面同學們猜測可以采用不同標準大小的正方體通過堆積疊放進行測量是否正確呢？

學生動手操作教具，發現立體的物體是無法直接進行比較的。因為三維空間都被占據，所以想到用一個中空的物體，可以用小的立方體進行填充，一個物體包含有多少個體積單位，它的體積就是多少。通過數體積計量單位的方法，可以得知這個量數，就是物體的體積，進而可以得到我們想要測量的體積：長方體的體積=體積單位正方體的塊數=底層所擺的體積單位正方體的塊數×層數=底面所含面積單位正方形的個數×高所含的長度單位的個數=底面的面積×高=長×寬×高。這與前一節所學的長方體的體積公式相吻合，從而可以說明學生的猜測是正確的。這一環節的教學，充分體現了類比和轉化的數學思想方法，即通過尋找可測對象和不可測對象之間的關聯性，從而將未知的難題轉化為學生熟悉的問題來解決。

教師追問：為什么在測量圖形體積時，選用正方體作為度量標準，而不用長方體或球體呢？

學生小組討論交流，討論后匯報：一方面是由于球體在堆積時容易產生空隙，這樣就不能準確地測量長方體的面積；另一方面可以類比思考正方形面積的測量方法，即利用小正方形鋪滿所求圖形的過程可以發現，無論小正方形如何擺放，最終都只有一種擺放方式，而如果利用長方形來鋪滿圖形時，會發現長方形有橫著或豎著兩種不同的擺放方式，這樣在使用時可能會出現長方形個數不唯一的問題，進而造成不必要的麻煩。同樣的，在測量圖形體積時，利用小正方體鋪滿長方體時，也只有一種擺法，且更容易計數。所以在度量體積時，我們選用小正方體作為度量標準，而不是長方體。

活動2：遷移運用，掌握體積測量方法

教師提出問題：下面的長方體和正方體（見圖2），哪個的體積大？

學生小組討論，根據前面掌握的利用小正方體來填充被測對象的方法（見圖3），可以發現長方體可以用9個小正方體填充；正方體可以用8個小正方體填充。所以，據此可以判斷出長方體的體積比正方體的體積大。

（三）類比推理，理清體積單位進率

單位換算也是量感的一個表現。其中，度量單位的可加和度量單位的多少是掌握單位進率的關鍵要素。然而在常規課堂的教學中，部分教師忽視了對單位起源和統一度量單位意義的挖掘和分析，導致各種單位或者單位換算公式難以被學生接受。因此，為幫助學生探索和理解常用體積單位間的進率，筆者首先讓學生觀察猜測體積單位間的關系，然后從學生熟悉的長度單位、面積單位進率入手，引導學生通過類比推理得出體積單位的進率。

【教學片段3】

活動1：復習回顧，從長度單位到面積單位

教師提出問題：我們常用的長度單位有哪些？

學生先復習學習過的常用的長度單位：人們把1米的長度等分十份，每一份的長度稱為1分米，再把1分米的長度等分十份，每份的長度為1厘米，把1厘米的長度等分十份，每份長度為1毫米等，每相鄰兩個長度單位間的進率是10。

教師繼續提出問題：人們在一維的長度測量單位基礎上，又是如何創造二維的平面測量單位的？

學生小組思考，分享交流。由于在長度測量過程中已經規定了長度的單位“米”，據此人們就規定了一個測量面積的標準單位，邊長為1米的正方形面積就是1平方米。以此類推，邊長為1分米的正方形面積就是1平方分米，邊長為1厘米的正方形面積就是1平方厘米。顯而易見，1平方米=1米×1米，1平方分米=1分米×1分米，1平方厘米=1厘米×1厘米。由此可見，兩個一維長度單位相乘，可以得到一個測量二維面積單位，所以進一步可以推導出相鄰兩個面積單位之間進率為：1平方米=1米×1米=10分米×10分米=100平方分米。

活動2：類比推理，從面積單位到體積單位

教師提出問題：根據前面的推導過程，你們是否能夠猜到每相鄰兩個體積單位之間的進率是多少？如何驗證呢？請在本上畫圖或者舉例推理。

有學生認為：正方體的體積=底面積×高，棱長為1米的正方體，其體積=1米×1米×1米=1立方米，而1米=10分米，所以，1立方米=10分米×10分米×10分米=1000立方分米。類比推理可得：1立方分米＝1000立方厘米，所以每相鄰兩個體積單位之間的進率為1000。

有的學生利用畫圖輔助分析：棱長為1分米的正方體，體積是1立方分米，如果用體積為1立方厘米的小正方體填滿，可以裝1000個，因此，每行10個，寬能擺10行，高能擺10層，所以，1立方分米＝1000立方厘米。多種方式表征體積單位之間的進率，有利于培養學生的空間觀念和推理能力，落實核心素養。

教師總結：將長度單位、面積單位和體積單位及其相鄰單位間的進率整理成示意圖，通過對比，可以促進知識的系統化。即在初步理解了常見的三個體積單位間進率的基礎上，幫助學生回憶已經學過的常用面積單位和長度單位間的進率，進而對這三類度量單位間的進率形成結構化認知。

三、教學小結

在本節課教學中，筆者通過類比推理的方式引導學生厘清長度、面積、體積等幾何概念，建立度量單位的準確表象，把握度量本質，引導學生深度掌握度量的核心，溝通一維、二維、三維之間的聯系，使“度量”的知識結構形成體系，促成學生對幾何學中度量知識的完整認知。

（作者單位：泗陽縣海門實驗小學）

編輯：常超波