改“斜”歸“正”，巧解二次函數綜合題

二次函數綜合題涵蓋了初中數學的大部分知識，也是數形結合的完美呈現。下面就其中一種題型進行剖析，帶領同學們關注數學的本質，悟出通性通法。

例題 已知二次函數y=x2-2x-3與x軸交于A、B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，若點P是拋物線第四象限上的動點，求△CPB面積的最大值。

解：如圖1，過點P作PE∥y軸，交BC于點E。

由題意得點A（-1，0）、B（3，0）、

C（0，-3）。

∵點P在拋物線上，設P（m，m2-2m-3），點E在直線BC上，則有E（m，m-3），

∴PE=yE-yP=-m2+3m。

∴S△CPB=S△EPB+S△EPC

=[12]×PE×（xB-xC）

=-[32]m2+[92]m

=-[32]（m-[32]）2+[278]。

當m=[32]時，S△CPB有最大值[278]，即

△CPB的面積的最大值是[278]。

點P是拋物線上的動點，△CPB的面積隨著點P位置的變化而變化，可以設動點P的橫坐標為m，用含m的代數式表示△CPB的面積，運用求函數最值的方法求解，體現了數形結合思想。用點坐標表示三角形面積的方法有很多，本解法將三角形分割成以與y軸平行的線段PE為底的兩個三角形，此時兩個三角形的高之和為定值，運算簡便很多。在函數綜合題中，我們常常通過設點的坐標，用坐標差表示與坐標軸平行的線段的長，將此作為解決問題的重要橋梁，如本題中的線段PE就是解決與拋物線上動點P相關問題的重要橋梁。通過所給的幾何條件，找到問題所求與PE的數量關系，建立與點P坐標的函數關系進行求解。

在例題的條件下，我們繼續研究。

問題1：求點P到直線BC的距離PH的最大值。

線段PH是△CPB中CB邊上的高，我們可以利用例題求得的面積求解。但更簡單的解法是作輔助線PE。

解：過點P作PE∥y軸交BC于點E，如圖2。

在Rt△PEH中，∠PEH=∠OCB=45°，

∴PH=[22]PE=[22]×（-m2+3m）=[-22]（m-[32]）2+[928]，即PH的最大值是[928]。

通過作輔助線PE，在Rt△PEH中可以找到PH與PE的數量關系，可以將PH用含PE的式子進行表示，從而求解。

問題2：連接AP，交BC于點M，求[PMAM]的最大值。

同樣的，[PMAM]的值隨著點P位置的變化而變化。解決問題2的關鍵是找到[PMAM]的值與點P坐標之間的關系。

在平面直角坐標系中，斜線段之比通常轉化為平行于坐標軸的線段之比。我們可以通過構造平行相似，將此比例式轉化為與線段PE有關的表達式。

解：如圖3，過點P作PE∥y軸，交BC于點E，過點A作AG∥y軸，交BC的延長線于點G，則有G（-1，-4）。

∴AG=4。

∵AG∥PE，

∴[PMAM]=[PEAG]=[-m2+3m4]=[-14]（m-[32]）2

+[916]，即[PMAM]的最大值是[916]。

問題3：過點P作PF∥AC，交BC于點F，求PF的最大值。

此問題給出了過點P的線段與已知線段平行的條件，因為線段AC為已知線段，所以線段PF的最大值同樣由點P的位置決定。問題3的難點在于如何將兩條直線的位置關系轉化成與線段PF相關的數量關系。充分研究圖形特征后，我們可以用以下方法進行求解。

（方法1）運用“兩條線段平行，對應線段成比例”進行轉化。

解：如圖4，連接AP，交BC于點M，過點P作PE∥y軸，交BC于點E，過點A作AG∥y軸交BC的延長線于點G。

同問題2，得[PFAC]=[PMAM]=[PEAG]。

∵AC=[10]，AG=4，

∴PF=[104]PE=[104]×（-m2+3m）

=- [104]（m- [32]）2+ [91016]，

即PF的最大值是[91016]。

圖中也可直接證得△PEF∽△AGC，∴[PFAC]=[PEAG] ，同上可得結論。

（方法2）構造兩個三角形相似，進行線段間的轉化。

解：如圖5，過點A作AK∥BC，交y軸于點K。

此時點K的坐標為（0，1），由PF∥AC得△PEF∽△CKA，

∴[PFAC]=[PECK]，

∴PF=[104]PE，同方法1可得結論。

此類問題一般是從函數問題出發，通過幾何圖形進行轉化，建立函數模型來求解。在直角坐標系中，同學們要關注坐標與線段的轉換，從圖形角度進行分析，獲得線段之間的數量關系，而與坐標軸平行的線段則是函數與幾何圖形間轉換的重要“橋梁”。

（作者單位：江蘇省無錫市東林中學）