“發現數學”，讓學習真正發生

【摘 要】“發現數學”就是讓發現發生在數學課堂中。學生在真實的情境中親身體驗，在真切的探究活動中具體實踐，通過分層練習、及時小結，最終形成思維習慣，學會知識遷移，形成積極主動的內在學習力，獲得數學核心知識，掌握數學學習方法，形成數學學科素養，成為既有獨立性、批判性，又有合作精神、創新意識的優秀學習者。

【關鍵詞】發現數學 真實情境 真切活動 分層練習 及時小結

無錫市新吳區旺莊實驗小學數學團隊結合“發現學習”理論，對小學數學課堂進行了深入、系統的研究，提出了“發現數學”的學科主張，旨在給學生一雙“慧發現”的眼睛，充分體現學科育人價值。新課標指出，要讓學生經歷數學“再發現”的過程，引導學生會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界。“三會”數學核心素養讓“發現數學”的研究目標更明確、方向更清晰。“發現數學”就是讓發現發生在數學課堂中，讓學習真正發生。

一、創設真實情境，喚醒問題意識

在“發現數學”課堂中，教師要創設有意義的真實情境。真實情境是指教師在學生學習數學的過程中，根據學習的核心內容，創設一種教學場景，將數學知識與真實的生活鏈接，讓學生理解數學知識是有作用的、有價值的。給學生提供有用的學習背景，有利于學生提出數學問題、抽象出數學知識，從而訓練學生的數學思維。學生在真實的學習情境中，以求知的狀態尋找數學知識之間的關系，喚醒發現問題和提出問題的意識。

以“認識百分數”一課為例，六年級學生對其已有一定的經驗。不同的經驗給學生提供了豐富的學習百分數的資源。因此，教師在課前讓學生到生活中尋找百分數，上課時讓學生把找到的百分數拿出來，并提問“好找嗎？”“這說明什么？”“說說你在哪里找到了百分數？”一下子拉近了數學與生活的距離，讓學生在真實的情境中初步感知百分數。接著，教師展示自己找到的百分數并提問：“人們為什么那么喜歡百分數呢？百分數有什么好處？你能提出一些問題嗎？”學生在教師的引導下大膽提問，教師則做好整理并板書：百分數有什么好處？百分數的意義是什么？在什么情況下用百分數？百分數和分數比較，有什么不同？

選取學生熟悉的真實素材，既有利于學生真切感受到百分數與現實生活的密切聯系，又有利于學生發現問題、提出問題，促進學生對百分數意義的理解。這樣充滿真實感的教學情境，不僅激發了學生學習數學的熱情，還提高了學生的問題意識。這樣的學習過程是問題的發現與提出的過程。學習順其自然地發生、發展著。學生在充滿問題意識的學習中，生成問的智慧。

二、開展真切活動，加深數學理解

在“發現數學”的課堂中，教師要讓學生通過活動經歷獨立思考與合作探索的過程。真切活動是指學生具身參與、切實開展的如觀察比較、操作探索、討論交流、猜想驗證等具有一定的數學結構和數學特征的學習活動。教師設計有目的、有任務的學生切身體驗的數學活動，可以讓學生加深對知識的理解，通過數學活動對新知進行合理、正確的加工、重組與表征，讓學生經歷知識的發生、發展與形成的過程，找到與自身已有知識結構的內在聯系，擴充原有的認知結構，形成新的更深刻的認知結構，揭示數學知識的本質，為理解而學習。

如“圖形的平移”一課，教師出示一張小船圖，讓學生做手勢比畫平移。學生初步感知平移與方向和距離有關，圖形平移的方向可以看箭頭或虛線。在探索數小船圖平移距離的方法時，學生先自己數一數小船圖向右平移了幾格，再和同桌說一說。有的學生說小船圖向右平移了4格，有的學生說小船圖向右平移了5格……出現了不同的答案，到底是幾格呢？教師安排了以下數學活動：

活動一：移動小船模型直觀思考，將小船圖復原，先讓學生充分理解小船圖向右平移1格后，所有的對應點、對應邊都向右平移了1格，繼續觀察小船圖向右平移2格、3格。學生發現小船圖平移時，上面的任何一個點或一條邊也進行相同方向、相同距離的平移。活動二：數對應點確定平移的格數，小船圖不會動，怎么數向右平移了9格呢？學生指出，找一組對應點用畫小弧線的方法，從一個點數到它的對應點為止，進而解釋，一開始小船圖向右平移4格是不對的，由此得到：確定平移距離時可以找準對應點來觀察。活動三：數對應邊確定平移的格數。學生指出，也可以找兩條對應邊來數一數小船圖向右平移了9格。最后，學生找出兩種方法的聯系，即這一個個的對應點，其實就構成了一條條的對應邊，深刻理解找對應點來確定距離更方便。

教師從學生的已有知識經驗出發，先組織了初步感知表象的數學活動。學生自己動手操作，獲得初步的平移距離的感性認識。感知正確的學生強烈要求幫助感知有錯的學生。接著，教師安排了理解數學本質的活動，從深刻理解平移1格開始，引導學生積累活動經驗，一層層揭示數學概念，感悟數學思想，在運動變化的過程中，看透數學的本質。基于學生數學理解的數學活動的開展，學生的學習有所悟、有所得、有所感，學生的理解從模糊到清晰，知識由表層到本質，認知結構由零散到融通，從而建立自己的數學理解。

三、設計分層練習，提升數學思維

“發現數學”要讓學生學會舉一反三、觸類旁通。課堂練習是一種有目的、有組織、有指導的學習實踐活動，是幫助學生消化和鞏固所學知識的一個重要過程，也是檢驗學生知識掌握情況的一個重要環節，更是教師提高教學質量的一個重要渠道。練習的設置要有層次，要能突出重點、突破難點，針對學生學習能力，在知識的連接點上動腦筋，由淺入深，由易到難，形式多樣，在培養學生思維的靈活性和深刻性上下功夫，既要注重學生求同思維的訓練，又要注重學生求異思維的發展，訓練學生學會用數學的思維來解決問題，形成思維習慣。

例如，“用轉化的策略求和”一課，學生學習了例題，通過畫圖理解了，從加起，每一個加數都是前一個加數的一半，這樣4個數的和是單位1減空白部分即的差，即1－=。教師安排了如下練習（圖1）：

本節課的練習分三個層次：

一是夯實基礎。在例題的基礎上，教師讓學生說一說“把例題繼續按加數的特點加上分數，接著可以加多少？繼續加下去呢？”，算好后又讓學生想一想“如果再繼續加下去，可以怎樣計算？你發現什么規律了嗎？”，讓學生進一步理解這類加法求和的方法。雖然只有一題，但教師讓學生自己出題，理解加數的特征；算好之后沒有結束，又讓學生繼續加下去，從而發現規律，訓練了學生的數學思維。

二是綜合應用。第一小題，讓學生結合梯形面積的計算公式計算鉛筆架里鉛筆的支數。第二小題，讓學生結合第一小題的計算想一想，怎樣計算比較簡便，使學生初步理解等差數列求和的計算方法。兩小題算完后，教師追問“幾個連續自然數相加可以轉化成怎樣的式子，計算比較簡便？為什么可以這樣簡便計算？”，讓學生通過首尾配對理解簡便的理由，知其然又知其所以然，讓學生的思維更嚴謹。（圖2）綜合應用體現出“小課堂、大社會”，結合生活來設計數學練習，讓學生體會到轉化的策略與生活密切聯系。學生會用數學的眼光去觀察生活，會用數學的角度去解決問題，進而培養數學化的思維習慣。

三是拓展提升。第一、二小題是解決從1開始連續奇數和的問題，從觀察圖開始，先用加法求和，再結合圖用乘法求和，原來加法可以轉化成乘法來計算：從1起的幾個連續奇數的和＝奇數個數×奇數個數。第三小題是解決從2開始連續偶數和的問題。學生有了第一小題的解題經驗，結合圖也能很好地解決這類問題。設計開放性的拓展練習，讓學習變得富有挑戰性、更有趣味性，有利于促進學生思維的發展，讓學生從模仿練習走向創新創造，最大程度地調動了學生學習的積極性、主動性、創新性。

四、及時做好課堂小結，感悟數學思想

“發現數學”要讓學生學會知識遷移，回顧反思，形成發現的能力。課堂小結是指數學教學中某個學習環節完成之后，教師對所教所學的教學內容、學習成果等進行的一次總結。課堂小結讓整節課的教學成為一個有關聯的整體。教師可采用評價性小結、陳述性小結、反思性小結等方式將學過的核心內容回顧一遍，作為一個新的起點，從而為學習進入另一個階段提供目標、思路和方法等。課堂小結要及時，不但可以幫助學生對基礎知識與技能有更深入的理解與掌握，而且可以促進學生形成新的認知結構，建立新的知識模塊，優化解決問題的技能。好的課堂小結，不僅關注學生數學學習的結果，而且注重學生學習數學的情感體驗與知識反思，提高學生的認知水平，促進學生學會知識遷移，深刻領悟知識中所蘊含的數學思想。

例如，“平移和旋轉”一課，學生通過觀察、比畫、舉例等，初步認識了平移和旋轉。教師小結“這些平移現象和旋轉現象有什么不同的地方？它們有什么相同的地方？”，引導學生概括總結出平移的本質是沿直線的運動都可以看成平移；旋轉的本質是繞一個中心轉動的現象可以看成旋轉；平移和旋轉可以改變物體的位置，但物體的大小、形狀不變。這樣的小結將學生看到的平移、旋轉現象提升為深刻性的理解。課堂的最后，教師結合學生對本節課的知識進行回顧式的小結，呈現出本節課學習的過程，讓學生將所學知識形成知識結構。此時，教師并沒有結束本節課的學習任務，而是讓課堂小結升華為“我們學習的平移和旋轉有什么作用呢？”。學生交流得出平移和旋轉被廣泛應用到了我們的生活中，幫助我們生產、運輸、發電，給我們帶來美的享受。最后，學生在動手做風車中愉快地結束了本節課的學習。

教學中，教師安排了不同形式的課堂小結，幫助學生再次經歷“平移和旋轉”核心內容的認知過程，一方面，對“平移和旋轉”的知識進行了深層次的梳理；另一方面，讓學生通過掌握一些數學思想方法來構建數學模型。這樣真正的課堂小結是課堂教學中一個固定的、必要的環節，可以為學生的學習創設一個承上啟下的意境，讓所學的知識過渡自然、銜接有序，也可以為學生的學習引申出更多的思想與方法，讓所學的知識具有整體性、思想性。

“發現數學”是教師引導下的學生的主動學習。要讓學生的數學學習真實發生、走向深入，創設真實的數學學習情境是基礎，開展真切的數學探究活動是關鍵，設計真我的數學分層練習是抓手，落實真正的數學及時小結是保障。教師要善于圍繞數學學習內容設計真實發生的“發現數學”，促進學生深度學習，充分體現學生的學習主體地位，讓學生理解數學學習的真過程，把握數學知識的本質和思想方法，形成積極主動的內在學習力，成為具有獨立性又有合作精神、批判性又有創新意識的優秀學習者。

【參考文獻】

中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.