數學文化在中職數學教學中的實踐

中職數學作為中等專業學校學生學習的一門基礎學科，其最新發布的《職業教育數學課程標準》中明確提出了數學教學的基本任務之一是提升學生的數學素養，引導學生學會用數學眼光觀察世界、用數學思維分析世界、用數學語言表達世界、用數學文化溝通世界。因此如何將數學文化與數學思想通過實際的教學活動滲透至日常的數學授課中，切實提升學生的數學素養是一個亟待解決的問題。

數學文化的概念

“數學文化”一詞自20世紀中期被提出后，教育學界的眾多研究學者也都給出了自己的定義，但到現在為止還沒有一個明確統一的定論。《五年制高等職業教育數學課程標準（2023年）》中的拓展模塊-數學文化專題也給出建議：內容選擇上主要通過包括中國數學史、西方數學史、數學家的故事和數學美學等，滲透數學文化，幫助學生提升核心素養。筆者主要從數學史和數學的現實意義兩個方面出發，討論將其融入中職數學教學的活動中。

數學文化的價值

數學是一門非常嚴謹的學科，這也造就了它的內容枯燥和抽象，無論是數學教材和數學課堂都是如此。并且傳統數學課堂的教學上老師往往只關注于課本內容與概念的講解，課堂呈現形式也過于單一，很難將數學教學的內容準確形象地表達出來。所以學生在學習數學知識的過程中，存在積極性不高，甚至厭學等問題。對于學生來說，融入數學文化可以增強數學課堂的趣味性，激起學生的學習興趣和探索的欲望，進而在這個過程中培養學生良好的數學思維習慣。學生還可以從接觸和理解數學知識的過程中，感受數學家們的個人的優秀品質，間接地引導學生正確的人生觀和價值觀。

數學文化在中職數學的教學實踐

在實際教學中，利用好數學文化，將有趣生動和直觀的數學歷史內容帶入實際課堂，在豐富學生人文價值的同時，結合好現實生活的現實意義，引導學生將數學知識變為實際應用。這在職業教育中尤為重要。

本例以虛數的產生及其意義為切入點，結合之前的數學知識，將數集的演變過程完整地呈現至學生面前，可以讓學生更為直觀地理解其中的意義，感受其蘊含的數學文化。并在此過程中，由淺入深引入虛數的指數形式、最美公式——歐拉公式以及虛數在實現電力電子方向的應用和實際意義。

一、虛數的產生

我們知道數學課本上定義虛數" 為-1的平方根，即

那么虛數到底是為什么被定義為-1的平方根呢，而又是如何產生的呢，以及虛數到底有什么意義呢？

虛數首次出現是在16世紀意大利數學家吉羅拉莫·卡爾達諾的著作《大術》中，一元三次方程的完整解法提到這一個問題，能否把10分成兩部分，使它們的乘積為40？給出了一個答案：

吉羅拉莫·卡爾達雖然給出了答案，但他卻認為這樣的數是不存在的，也沒有什么用處。

直到后來著名的數學家笛卡爾為了解決方程：

的求解問題，才正式定義

再經過諸多數學家的不懈努力，才最終將“數”從由“有理數”和“無理數”構成的“實數集”擴充至“復數域”。

二、虛數的意義

虛數的意義跟復平面有著非常重要的關聯，課本上雖然使用了復平面的思想講解了關于復數在復平面內的定義及其計算，但并不深刻，不能讓學生真正理解其背后的意義。

復數的幾何表示是最早由挪威的測量學家韋賽爾提出的，后經偉大的德國數學家高斯進一步證明推廣，因此復數的復平面也被稱為“高斯平面”。那么關于“虛數”到底應該怎么理解呢，高斯曾說過：“迄今為止，人們對于虛數的考慮，依然在很大的程度上把虛數歸結為一個有毛病的概念，以致給虛數蒙上一層朦朧而神奇色彩。我認為只要不把+1、-1、i叫作正一、負一和虛一，而稱之為向前一、反向一和側向一，那么這層朦朧而神奇的色彩即可消失。”

即“虛數”代表在平面內逆時針旋轉90度，也就是解決了數的平面內移動，圖示如下：

故：

1）" " " ，即表示在復平面內由實軸上的1逆時針旋轉90°，變成了虛軸上的 。

2）" " " " " ，即表示在復平面內由實軸上的1經過兩次逆時針旋轉90°，變成了實軸上的-1。

3）" " " " " " " ，即表示在復平面內由實軸上的1經過三次逆時針旋轉90°，變成了虛軸上的-" 。

4）" " " " " " " ，即表示在復平面內由實軸上的1經過四次逆時針旋轉90°，又回到了原實軸上的1。

三、數集的演變

從數集的歷史上總結數集的產生意義，讓學生可以更為直觀地感受數集的變化以及所帶來的影響。

1.自然數集：自然數的產生解決人們日常生活中整數的計數，在數軸內表示為：

2.有理數集：有理數解決數學世界里的非整數問題，在數軸內表示為：

3.實數集：實數集在有理數集的基礎上添加了無理數，解決了無理數在數軸上的表示：

4.復數集：復數集在實數集的基礎上增加了虛數集，解決了數只能在數軸上的表示，將數僅能數軸上移動擴展到了數可以在平面內移動，如圖：

四、復數的指數表示

復數的指數形式不得不引出歐拉公式：

這個簡短的公式里，將數學上5個最為著名的數學常數：" " " " ，有機地聯系在了一起，因此這個公式被數學家們稱為“上帝創造的公式”，也被稱為“最美公式”。

歐拉公式是著名的數學家歐拉于1743年發表的，其一般形式為：

一般復數形式向指數形式的轉變：

一般復數形式為：

則在復平面內可表示為如下圖：

從上圖中可以看出，可轉換為以極坐標表示的復數形式：

進而引入歐拉公式，為：

即，復數的指數形式為：

這也是極坐標的指數表達形式。

由此也可以更為直觀地理解在平面內，虛數實現了點在平面內移動方向的改變，而不僅僅像實數一樣，被限定在數軸上的移動。為其數值，而" 為其旋轉角度。

五、虛數的實際應用

虛數在現實世界中有著諸多的物理含義，被廣泛應用在電力電子、系統控制，甚至于量子力學中。筆者以其在電力電子中的實際應用為切入點，闡述其實際物理意義幫助學生更深層次理解虛數的含義。

在電路中電壓與電流中存在伏安關系，例如僅有電阻的回路中，其伏安關系表達為：

但電子元器件中也存在諸如類似電容、電感的器件，不像電阻一樣簡單的伏安關系，同時也會在時間上產生，例如電容會導致電流在相位上超前電壓90度，如下圖：

像此類伏安關系的數學，如果僅在實數域內則很難有效且清晰地被表達出來，但如果將其延伸至復數域，則變得異常簡單，并且可以實現更為普遍的表達形式。

例如電感會導致電流在相位上滯后電壓90度，而不僅僅是數值上的變化。同時，我們知道虛數在平面內可理解為逆時針旋轉90度，所以相當于電感在數值上存在一個復數域的。故電容的阻抗可表達為：

進而伏安關系表達為：

電壓與電流關系式中可以看出，因為存在虛數" 的緣故，電壓與電流之前存在90度的方向偏移，產生如前圖所示的效果。

數學猶如一臺巨大的引擎，推動著人類文明的不斷向前發展。它無處不在，從簡單的日常生活到宏大的宇宙探索，無不扮演著重要的角色。它影響著我們社會的方方面面，構成了現代社會的基石。隨著科學技術特別是計算機科學、人工智能的迅猛發展，數學的研究與應用得到了極大的拓展，直接為社會創造價值，推動社會生產力的發展。

正是由于數學的重要性，近年來由于教育界不斷加深對數學文化的關注，從教材、教學課程標準、考試、實踐等多個緯度也在逐步引入數學文化的相關內容。相信隨著研究工作的不斷深入，數學文化在日常的數學教學中也必將承擔著越來越多的內容。

（作者單位：江蘇省相城中等專業學校）