納指ETF在險價值的蒙特卡洛模擬

［摘 要］2023年以來，由ChatGPT及其他主要語言模型所帶動的人工智能領域的熱度，促進了美國股市的強勁上升，其中納斯達克指數（以下稱納指）的表現格外突出。但金融市場環境復雜多變，擁有高收益的同時也要注意到其潛在的風險，因此，有效預測金融資產的在險價值（Value at Risk，VaR）具有非常重大的意義。文章通過運用MATLAB和EViews工具對納指交易型開放式指數基金（Exchange Traded Fund，ETF）進行實證研究，發現其累計凈值遵循幾何布朗運動，且蒙特卡洛模擬能夠較好地對該基金的累計凈值進行價值估算。

［關鍵詞］納指ETF；VaR；蒙特卡洛模擬

doi：10.3969/j.issn.1673 - 0194.2024.16.042

［中圖分類號］F224；F831 ［文獻標識碼］A ［文章編號］1673-0194（2024）16-0-04

0 " " 引 言

VaR自20世紀90年代被提出以來，已成為金融行業評估風險的核心工具。VaR通過概率視角來評估投資組合潛在的最大虧損，根據現實操作經驗，VaR的實施已經獲得顯著成效［1］。估算VaR可采用多種方法，包括方差-協方差法、歷史模擬法和蒙特卡洛模擬法等。其中，方差-協方差法通常假定收益率遵循正態分布規律，但實際上金融市場的收益率分布往往呈現出厚尾特性，這可能導致對風險的低估。歷史模擬法的一個核心假設是過去的市場情況會在未來重現，但這忽略了市場結構和動態可能隨時間而改變的事實。而蒙特卡洛模擬因其靈活性和適應性常被認為是一種更全面的方式，尤其是在處理復雜金融產品和捕捉市場極端行為時有著非常不錯的處理能力，并能提供較為精確的估算結果。因此，本文選擇蒙特卡洛模擬法來計算納指ETF的VaR值。

1 " " VaR概述

VaR衡量的是在常規市場波動條件下，特定的金融資產或投資組合所能承受的潛在最大損失。具體來說，它描述了在給定的顯著性水平上，金融資產或證券組合在將來一段特定時間內可能遭受的最大損失量［2］。該概念通過數學公式表述為

P（?P?t≤VaR）=α（1）

式（1）中，P代表資產價值低于潛在最高損失界限的可能性，?P指在特定持有期間?t內某金融資產的價值減少量，而α是指定的顯著性水平。

2 " " 蒙特卡洛模擬的VaR計算

蒙特卡洛模擬是一種計算機模擬方法，通過模擬大量隨機樣本來逼近任意復雜度的系統或問題。該模擬技術被廣泛運用于金融、工程和科學等多個行業。采用蒙特卡洛模擬的方法來計算VaR包括以下幾個關鍵環節。

步驟1：確定VaR參數。

①置信水平：設定VaR計算的置信水平。置信水平通常選擇95%、99%或99.9%，表示人們希望在多少概率下，資產的損失不會超過VaR值。例如，99%的置信水平意味著人們希望在99%的情況下，損失不會超過VaR值。②時間范圍：確定VaR的持有期。持有期可以是一天、一周、一個月等，具體選擇取決于投資者的需求和投資策略。持有期的選擇將直接影響VaR的計算結果，因為時間越長，潛在的市場波動就越大。

步驟2：收集數據。

①獲取原始數據：下載納指ETF的歷史價格數據。確保數據的時間跨度足夠大，以便進行可靠的統計分析。②計算均值：計算該資產在過去一段時間內的平均收益率。均值是收益率的期望值，是模擬未來價格路徑的重要參數。③計算標準差：計算該資產在過去一段時間內的標準差。標準差反映了收益率的波動性，是衡量風險的重要指標。計算標準差可以幫助人們了解資產的歷史波動情況，從而更準確地模擬未來價格路徑。

步驟3：模擬未來價格路徑。

①選擇模型：選用適當的隨機過程模型。下文使用EViews軟件進行數據分析后，最終選用幾何布朗運動。幾何布朗運動是一種常用的金融模型，用于模擬資產價格的隨機變化。②生成隨機樣本：依據收益率的統計屬性產生眾多隨機數樣本。使用蒙特卡洛模擬方法，基于歷史數據的均值和標準差生成大量的隨機樣本。這些隨機樣本代表可能的未來收益率。③模擬價格變化：模擬未來價格路徑。對于幾何布朗運動，其公式如下：

（2）

St+1=St+?St+1（3）

式（2）和式（3）中，St表示在時刻t的資產價值，也就是t時刻的累計凈值；μ代表資產收益率的平均值；σ代表資產收益率的波動率；ε是一個隨機項，假設ε遵循標準正態分布N（0，1）［3］。

步驟4：確定VaR。

①排序損失：按損失大小對所有模擬結果進行排序。②找到VaR：在已排序的損失列表中，根據預設的置信水平找到相應的VaR值。例如，若置信水平為99%，則找到最壞的1%的損失值，這個值就是VaR。③解讀VaR值：VaR值提供了一個明確的指標，告訴我們在給定的置信水平和時間范圍內，預計最大的損失不會超過此數值。投資者可以根據VaR值來判斷其投資組合在極端市場條件下的風險。

步驟5：檢驗結果。

①檢驗模型：使用統計方法來評估違反次數是否符合預期的分布，以此檢驗VaR模型的性能。②調整模型：根據檢驗的結果，可能需要調整VaR模型的參數，如置信水平、時間范圍或分布假設。如果發現實際損失超過VaR的次數過多，則可能需要提高置信水平或重新評估資產的波動性假設。通過不斷調整和優化模型，確保VaR能夠準確反映投資組合的風險。

3 " " 實證分析

3.1 " 樣本的選定

納指ETF凈值的波動性對其相關期權定價有顯著的影響，因此選擇納指ETF的累計凈值作為研究數據。具體將2022年1月4日至2024年3月6日所有交易日的累計凈值（共524個數據）作為樣本（數據來源于Choice金融終端）。

3.2 " 樣本的描述性統計分析

3.2.1 " 波動的集聚性檢驗

股票的日收益率可以采用算術收益率或對數收益率兩種不同的方法計算。相較于算數收益率，對數收益率在股票市場應用得更廣泛一些，主要是因為對數收益率在處理多個連續時期的收益時更加方便，且對數收益率天然適合復利計算，可以更準確地描述股票價格隨時間變化的情況，計算公式如下：

Rt=ln（Pt/Pt-1）（4）

式（4）中，Pt-1、Pt分別為第t-1天和第t天的收盤價。利用EViews作出納指ETF對數收益率圖，如圖1所示。

由圖1可知，從2022年1月到2024年3月，納指ETF的日對數收益率主要在零點附近上下波動，大部分日對數收益率值落在了-0.03至0.03的范圍內，初步判斷納指ETF的日對數收益率具有一定程度的平穩性。然而，它們的波動性不是均勻分布的，在某些時間段內，納指ETF的波動性相對較小；而在其他時間段，波動性顯著增大，收益率變化幅度較大，這表明收益率的波動具有聚集性。

3.2.2 " 正態性檢驗

為了更直觀地分析收益率，接下來將使用EViews軟件創建納指ETF的日對數收益率描述性統計表，具體如表1所示。

由表1可知，納指ETF的日對數收益率平均值為0.000 387，標準差為0.000 900，說明樣本數據具有一定的離散性。收益率分布的偏度系數小于0，表明具有左偏性，這也說明了數據具有不對稱性。峰度系數達到4.193 745，明顯超過3，意味著相對于正態分布，收益率的分布曲線更加尖銳和陡峭。總的來說，納指ETF的收益率展現出了“尖峰厚尾”的特性。Jarque-Bera檢驗的p值幾乎為零，表明在99%的置信水平下可以拒絕服從正態分布的原假設［4］。

3.2.3 " 平穩性檢驗

應用EViews軟件執行單位根檢驗（即ADF Test），以評估對數收益率時間序列的平穩性，結果如表2所示。

由于ADF=-25.105 870，小于1%顯著性水平的臨界值-3.442 649，而且p值明顯低于0.05，意味著可以拒絕原假設，即序列服從隨機游走，且不含有單位根，所以可以認為日對數收益率序列是平穩序列［5］。

綜合上述分析結果，可以認為納指ETF日對數收益率服從幾何布朗運動。

3.3 " 模擬納指ETF未來價格路徑

由以上描述性統計分析結果可知：樣本均值μ=0.000 387，樣本標準差σ=0.000 900。取置信水平為95%，持有期為1天，并將這一天劃分為50個等長的時間段，則每個時間段的平均值和標準差分別是和。從2024年3月6日累計凈值St=1.324出發，應用幾何布朗運動來模擬下一個交易日的情況，即2024年3月7日的收盤價。

采用MATLAB軟件編程模擬出10 000個納指ETF 2024年3月7日收盤價的可能價格，繪制成直方圖，如圖2所示。

3.4 " VaR的計算

將生成的10 000個2024年3月6日的納指ETF收盤價數據按從大到小的順序排列，找出第9 500

（10 000×95%=9 500）個數代表的收盤價。根據Excel軟件運算得到S*=1.322 529 977。因此，納指ETF從2024年3月6日到2024年3月7日持有期為1天，置信水平為95%的VaR［6］為VaR5%=St-S*=1.324-

1.322 529 977=0.001 470 023，也即在95%的顯著性水平上，納指ETF在2024年3月7日這一天內可能遭受的最大損失是0.001 470 023。

3.5 " 有效性檢驗

有效性檢驗結果能夠幫助驗證所使用的風險模型是否有效，即模型是否能夠準確地捕捉到投資組合的風險特性。檢驗還可以揭示模型的不足之處，為模型的改進提供依據，從而提高模型的預測能力和穩健性，降低因模型不準確而導致的風險。

似然比檢驗是反映真實性的一種統計檢驗方法，在多個領域中廣泛應用，包括但不限于分類問題、模型選擇和假設檢驗。這里采用似然比方法進行校驗，令

（5）

式（5）中，T為實際的收盤價天數，N為VaR預測失敗天數，P=N/T為失敗頻率［7］。當T=523，置信度為95%時，可計算失敗次數N的非拒絕區間為（14，33），此時觀測失敗次數為523×0.05=26.15，在非拒絕域內，可知納指ETF在險價值的蒙特卡洛模擬有效。

4 " " 結束語

蒙特卡洛模擬作為一種靈活且強大的工具，為金融資產的風險度量提供了可靠的估計方法。未來將會考慮引入更多的因素來增強模型的復雜性和實用性，如考慮市場的宏觀經濟變量、流動性因素等對納指ETF累計凈值的潛在影響。同時，對模型的穩健性和預測能力進行進一步的檢驗和增強，提高投資決策精準度，降低金融市場的系統性風險。

主要參考文獻

［1］謝合亮，黃卿.基于蒙特卡洛方法的金融市場風險VaR的算法分析［J］.統計與決策，2017（15）：157-162.

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［3］金博軼.基于Copula的投資組合均值-CVaR有效前沿分析［J］.統計與決策，2010（2）：34-37.

［4］伍習麗.基于高頻數據的中國股市VaR風險研究［D］.重慶：重慶大學，2013.

［5］梁迎雙.基于波動性分析的匯率風險測度研究［D］.大連：

大連海事大學，2010.

［6］楊世娟，盧維學.基于蒙特卡羅模擬法的VaR計算［J］.黃山學院學報，2015（3）：1-4.

［7］李聰.運用GARCH族模型在不同分布下對深證綜指的VaR分析［J］.統計與決策，2006（17）：79-80.