較難題講評要重視留白開放與追求優解

摘" 要：筆者結合一節職初教師的初三習題講評隨堂課內容，圍繞課中一道較難題開展解題教學的再設計，包括如何促進學生深度參與解題教學的全過程，精心選編開放的啟發式問題，引導學生自主獲得解題進展，并讓前序問題的探究成為攻克難題的鋪墊或暗示.由此想到較難題的解題教學要重視留白開放的問題設計，并引導學生從一題多解走向一題優解.

關鍵詞：較難題講評；教學再設計；留白開放

1" 寫在前面

最近學校教導處組織了職初教師的隨堂課推門聽課活動，筆者聽了一節初三新教師L的習題講評課.教師L選講了一份周練試卷中的較難題，從聽課情況來看，教師L在課前也進行了充分的準備，將周練試卷中的較難題都制成了PPT課件，并且把每道題的解題過程（包括詳細步驟）都準備在課件上.上課時教師結合課件的呈現，重點講授解題過程，然而筆者觀課發現，課堂氛圍比較沉悶，學生參與度不高，整節課幾乎都是教師講授、學生記錄的單向傳授方式.課后，筆者也跟教師L交流研討了這類較難題的解題教學策略，我們的共識是這道較難題的講評在教學設計和課堂組織上還有較大的提升空間.筆者結合教師L課堂上一道較難題的觀課所見與所思，給出這道較難題的教學再設計，與更多的教師開展研討交流.

2" 教師L對一道較難題的教學概述

圖1

問題呈現：如圖1，△ABC外接圓的圓心O在BC邊上，I為△ABC的內心，射線BI交⊙O于D，射線CI交⊙O于E，連接DE分別交AB、AC于點F、G.

（1）求∠BIE的度數.

（2）求證：FG＝ 22（AB＋AC－BC）.

聽課記錄：教師L先找了一個學生講解第（1）問的大致思路，該學生由“△ABC外接圓的圓心O在BC邊上”出發，先推出△ABC是直角三角形即∠BAC＝90°.再根據點I為△ABC的內心，得到∠IBC＝12∠ABC，∠ICB＝12∠ACB.進一步∠BIC＝180°－12（∠ABC＋∠ACB）＝135°，即∠BIE＝45°.

由于批閱周練試卷時沒有學生能成功解答第（2）問，教師L在講解第（2）問之前，在PPT上給出如圖2所示的一些輔助線.

圖2

連接BE，IF，IG，過I作IH⊥BC于點H，因為BC為⊙O的直徑，可得∠BEC＝90°.再由內心的條件，可得∠IBC＝∠IBF，于是D是弧AC的中點，可得∠IEF＝∠IBC，∠IEF＝∠IBF.結合∠EKF＝∠BKI，證出△EKF∽△BKI.有EKBK＝FKKI.再結合∠BKE＝∠IKF，得△EKB∽△FKI，得到∠BEK＝∠BFI＝90°，即IF⊥AB.同理可得IG⊥AC.仍然借助I為△ABC的內心，有IF＝IG＝IH.從而證得四邊形AFIG為正方形.接著再運用“HL”證出Rt△BIF≌Rt△BIH，得BF＝BH.同理得CG＝CH.于是AB＋AC－BC＝AF＋AG＝2FG，即FG＝ 22（AB＋AC－BC）.

教師L在課件上呈現解題過程，也在圖形上進行了些必要的標注，一邊講授也一邊停頓觀察學生的表情，只有少數優秀學生跟在教師后面應和，隨著最后全部呈現解題過程之后，教師再請一名優秀學生上臺講了一遍，就完成了這道較難題的講評過程.

聽課隨感：客觀上看，這道習題的第（2）問確實有一定的難度.然而，難題的講評并不能滿足于告知答案、直接呈現解題過程式的講授，如此解題教學與“教學生學會思考”的教學追求還有較大的提升空間.［1］知易行難，接下來筆者圍繞這道較難題給出教學再設計.

3" 解題教學再設計

3.1" 教學環節1：基礎熱身

問題1" 閱讀“題干”，在不添加輔助線的情況下，同學們能讀出哪些信息？

【設計意圖】學生將題干條件充分解讀，可以得到大量豐富的結論.除了內心帶來的角平分線性質之外，還包括∠BIC和∠BIE的度數都是可以分析得出，此外，可引導學生解讀出D是弧AC的中點，E是弧AB的中點等.以上信息的充分解讀，有利于后續較難問題的思路突破.除此之外，教師還可預設以下一些更為隱蔽的結論，在學生沒有發現的情況下，出示兩道探究問題，讓學生研究分析.

探究1" 有人發現△AFG是等腰直角三角形，你怎樣看這個發現？說說理由.

探究2" 圖中點B、E、F、I在同一個圓上嗎？為什么？

【設計意圖】這兩道探究問題的追問，可促進學生對“題干”信息的解讀更加充分而深入，并且對后續問題的求解形成思路上的啟發.

3.2" 教學環節2：拾級而上

問題2" 在“題干”的條件下，連接IF，FG，請分析四邊形AFIG是否為正方形？并說明理由.

【設計意圖】結合圖1，由前面“探究2”中已發現“點B、E、F、I在同一個圓上”，可得∠BFI＝∠BEI＝90°，同理∠CGI＝90°，從而可證得四邊形AFIG是矩形，進一步結合前面“探究1”已有進展“△AFG是等腰直角三角形”，矩形AFIG強化為正方形.教學時要注意引導學生先獨立思考、自主發現解題思路之后，小組內先交流解題進展，最后再安排小組內學生代表上臺講解思路，因為這個解題難點的突破，就能成為“考題”第（2）問的重要鋪墊.

3.3" 教學環節3：挑戰難題

問題3" 求證FG＝ 22（AB＋AC－BC）.

【設計意圖】有了前面的研究進展，特別是得到正方形AFIG，其對角線FG就是IF的2倍.而IF、IG正是直角三角形ABC的內切圓的半徑，由三角形內切圓半徑與三邊之間的關系容易得到IF＝12（AB＋AC－BC），從而FG＝ 22（AB＋AC－BC）獲得解決.

3.4" 教學環節4：反思回顧

小結問題1" 在攻克“周練較難題”的過程中，你覺得有哪一步（或幾步）是關鍵步驟，說說你的理解.

小結問題2" 在解決“周練較難題”之后，你還能得到哪些結論？

【設計意圖】小結問題1可以讓學生回顧交流解題心得或經驗，小結問題2則是對這道考題的“成果擴大”，如果學生短時間內沒有想到更多的成果，教師可提示、啟發一些思考方向.比如，可證△EFI∽△EID，并得到EI2＝EF·ED.類似的，也可證△DGI∽△DIE，并得到DI2＝DG·ED.又如連接OE，則OE∥IF∥AC等.

4" 關于較難題教學的進一步思考

4.1" 解題教學要預設留白并相機引導

在上文解題教學的再設計中，我們先引導學生充分解讀“題干”信息，盡可能挖掘出更多的性質或結論，為后續攻克較難問題做足鋪墊.當然，備課時要充分預見到學生在短時間內的思考并不會非常深入，教師必要時要加以干預或引導，促進學生圍繞后續要攻克的較難問題的鋪墊式問題去思考.這也正是解題教學中教師“相機引導”專業能力的體現.

4.2" 解題教學要重視多解并追求優解

通過上文中“周練較難題”的解法對比可以發現，教師L給出的解法展示了借助多組三角形相似的解題路徑，并沒有能突出關鍵步驟的揭示.而我們在后續給出的“教學再設計”中，重點引導學生發現“點B、E、F、I在同一個圓上”和“正方形AFIG”兩個關鍵步驟.如此教學處理既是促進學生“深度思考”的解題追求［2］，也是積極體現顧鋒、寧連華兩位研究者所提出的“從一題多解走向一題優解”［3］.

參考文獻

［1］涂榮豹.數學教學設計原理的構建——教學生學會思考［M］.北京：科學出版社，2018.

［2］葛媛.精心選編經典問題，教會學生深度思考——以“三角形的‘四心’”專題課教學為例［J］.數學之友，2023，37（18）：32－33.

［3］顧鋒，寧連華.數學解題教學：從“一題多解”到“一題優解”［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2023（7）：7－12.