細(xì)分析，尋規(guī)律，明方向

摘" 要：結(jié)合近年新高考對(duì)“概率統(tǒng)計(jì)”模塊的考查分析，抓住概率與統(tǒng)計(jì)自身的知識(shí)特點(diǎn)，從命題分析入手，探尋真題啟示，有效復(fù)習(xí)備考，歸納總結(jié)規(guī)律，展示命題趨勢(shì)，合理備考建議，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：概率；統(tǒng)計(jì)；應(yīng)用

隨著社會(huì)的發(fā)展，大數(shù)據(jù)時(shí)代已經(jīng)到來(lái)，“概率統(tǒng)計(jì)”的應(yīng)用愈加廣泛，在當(dāng)下高中數(shù)學(xué)課程中，“概率統(tǒng)計(jì)”內(nèi)容貫穿必修與選修課程.以“素養(yǎng)”立意的新高考強(qiáng)調(diào)依托數(shù)學(xué)情境，全面考查學(xué)生的理解能力、邏輯推理和探究能力等.所以，基于情境化設(shè)計(jì)的“概率統(tǒng)計(jì)”問(wèn)題，考查方式靈活多變，已經(jīng)成為近年新高考數(shù)學(xué)試題的熱點(diǎn)問(wèn)題，也是今后若干年中高考命題的一個(gè)基本趨勢(shì).

1" 高考命題分析

近三年來(lái)高考中“概率統(tǒng)計(jì)”模塊的考點(diǎn)分析以及命題特點(diǎn)，這里以新高考試卷考查的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分析（見(jiàn)表1）.

2" 高考真題啟示

結(jié)合上述近三年來(lái)高考中“概率統(tǒng)計(jì)”模塊的考點(diǎn)分析，其間的高考命題主要體現(xiàn)以下特點(diǎn).

（1）全面考查學(xué)生的識(shí)圖與表達(dá)能力.例如，2022年新高考Ⅱ卷第19題，以頻率分布直方圖給出相應(yīng)的某種疾病患者的年齡數(shù)據(jù)信息，進(jìn)而估計(jì)平均年齡，確定給定的概率以及求解患病的概率等.

（2）合理考查學(xué)生對(duì)概率計(jì)算模型的深度理解.例如，2023年新高考Ⅱ卷第12題，借助信號(hào)傳輸?shù)莫?dú)立性，進(jìn)而計(jì)算不同傳輸方案所對(duì)應(yīng)的概率.

（3）側(cè)重考查學(xué)生對(duì)概念的深度理解及公式的推導(dǎo)過(guò)程.例如，2021年新高考 Ⅰ 卷第8題，通過(guò)不同事件所對(duì)應(yīng)的概率，判斷不同事件之間是否相互獨(dú)立.

（4）著力關(guān)注融合概率背景的綜合題.例如，2023年新高考Ⅰ卷第21題，借助投籃比賽中的概率計(jì)算，巧妙融合數(shù)列的相關(guān)知識(shí)與應(yīng)用等，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的綜合.

3" 復(fù)習(xí)備考建議

3.1" 立足基礎(chǔ)，強(qiáng)化記憶與理解

3.1.1" 理解公式推導(dǎo)過(guò)程，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算水平

“概率統(tǒng)計(jì)”模塊知識(shí)中，統(tǒng)計(jì)中的公式符號(hào)多，比較抽象，建議在掌握推導(dǎo)過(guò)程的基礎(chǔ)上，熟練記住各類公式.例如，方差公式的各種形式，線性回歸方程中的系數(shù)，獨(dú)立性檢驗(yàn)公式等.

3.1.2" 重視核心概念理解，提高辨析概念能力

“概率統(tǒng)計(jì)”模塊知識(shí)中，概率中的概念比較多，要通過(guò)一些經(jīng)典案例來(lái)辨析概念，進(jìn)而鞏固概念，精致概念，悟透概念的本質(zhì).特別是超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系等.

例1" ［2024年湖南省岳陽(yáng)市高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷（二）］（多選題）某學(xué)校為宣傳我國(guó)第三艘航空母艦“中國(guó)人民解放軍海軍福建艦”下水試航，增強(qiáng)學(xué)生的國(guó)防意識(shí)，組織了一次“逐夢(mèng)深藍(lán)，山河榮耀”國(guó)防知識(shí)競(jìng)賽，對(duì)100名學(xué)生的參賽成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖1所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為［50，60），［60，70），［70，80），［80，90），［90，100］，為進(jìn)一步了解學(xué)生的答題情況，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣，從成績(jī)?cè)趨^(qū)間［70，90）內(nèi)的學(xué)生中抽取6人，再?gòu)倪@6人中先后抽取2人的成績(jī)作分析，下列結(jié)論正確的是（" ）.

圖1

A. 頻率分布直方圖中的x=0.030

B. 估計(jì)100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是85

C. 估計(jì)100名學(xué)生成績(jī)的80%分位數(shù)是95

D. 從6人中先后抽取2人作分析時(shí)，若先抽取的學(xué)生成績(jī)位于［70，80），則后抽取的學(xué)生成績(jī)?cè)冢?0，90）的概率是415

解析：對(duì)于選項(xiàng)A，根據(jù)學(xué)生的成績(jī)都在50分到100分之間的頻率和為1，可得10×（0.005+0.01+0.015+x+0.040）=1，解得x=0.030，故選項(xiàng)A正確.

對(duì)于選項(xiàng)B，由（0.005+0.010+0.015）×10=0.3＜0.5，（0.005+0.010+0.015+x）×10=0.6＞0.5，故中位數(shù)位于［80，90）之間，中位數(shù)為80+0.5-0.30.3×（90-80）=2603，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)C，80%分位數(shù)約為90+0.8-0.60.4×10=95分，故選項(xiàng)C正確.

對(duì)于選項(xiàng)D，在被抽取的學(xué)生中，成績(jī)?cè)趨^(qū)間［70，80）和［80，90）的學(xué)生人數(shù)之比為10×0.01510×0.030=12，故［70，80）中抽取了2人，［80，90）中抽取了4人，先抽取的學(xué)生成績(jī)位于［70，80），則第二次抽取時(shí)，是在5個(gè)人中抽取，而此時(shí)學(xué)生成績(jī)?cè)冢?0，90）的個(gè)數(shù)有4個(gè)，故概率為45，故選項(xiàng)D不正確.故選擇答案AC.

點(diǎn)評(píng)：以統(tǒng)計(jì)中的頻率分布直方圖為問(wèn)題場(chǎng)景，借助識(shí)圖與應(yīng)用，以及統(tǒng)計(jì)中的中位數(shù)、分位數(shù)等概念與公式的計(jì)算，還有概率求解等來(lái)綜合應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解與應(yīng)用.

3.2" 重視閱讀，提升能力與素養(yǎng)

“概率統(tǒng)計(jì)”模塊知識(shí)中，相應(yīng)的試題大多數(shù)情境復(fù)雜，試題文字篇幅較長(zhǎng)，信息含量較大，符號(hào)圖表密集，運(yùn)算過(guò)程復(fù)雜，參考數(shù)據(jù)冗長(zhǎng)，涉及公式較多.這些都需要我們通過(guò)閱讀來(lái)提取，進(jìn)而有效提升閱讀理解能力以及相應(yīng)的核心素養(yǎng).

例2" 2023年1月26日，世界乒乓球職業(yè)大聯(lián)盟（WTT）支線賽多哈站結(jié)束，中國(guó)隊(duì)包攬了五個(gè)單項(xiàng)冠軍，乒乓球單打規(guī)則是首先由發(fā)球員發(fā)球2次，再由接發(fā)球員發(fā)球2次，兩者交替，勝者得1分.在一局比賽中，先得11分的一方為勝方（勝方至少比對(duì)方多2分），10平后，先多得2分的一方為勝方.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行乒乓球單打比賽，甲在一次發(fā)球中，得1分的概率為35，乙在一次發(fā)球中，得1分的概率為12.如果在一局比賽中，由乙隊(duì)員先發(fā)球.

（1）甲、乙的比分暫時(shí)為8∶8，求最終甲以11∶9贏得比賽的概率.

（2）求發(fā)球3次后，甲的累計(jì)得分的分布列及數(shù)學(xué)期望.

解析：（1）甲以11∶9贏得比賽，共計(jì)20次發(fā)球，在后4次發(fā)球中，需甲在最后一次獲勝，最終甲以11∶9贏得比賽的概率為P=C12×122×352+122×25×35=625.

（2）設(shè)甲累計(jì)得分為隨機(jī)變量X，X的可能取值為0，1，2，3.

則P（X=0）=122×25=110，P（X=1）=C12×122×25+122×35=720，P（X=2）=C12×122×35+122×25=25，P（X=3）=122×35=320.

所以隨機(jī)變量X的分布列如下.

X0123

P11072025320

所以E（X）=0×110+1×720+2×25+3×320=85.

點(diǎn)評(píng)：合理閱讀理解，抓住題設(shè)中體育比賽的規(guī)則，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)來(lái)分析與求解對(duì)應(yīng)的概率問(wèn)題，進(jìn)而深入確定對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望等.

3.3" 捕捉熱點(diǎn)，突破重點(diǎn)與難點(diǎn)

“概率統(tǒng)計(jì)”模塊知識(shí)中，新高考有一些比較突出的熱點(diǎn)問(wèn)題，主要涉及概率中的最值問(wèn)題，概率中的遞推關(guān)系問(wèn)題（概率與數(shù)列），概率與其他知識(shí)（概率與統(tǒng)計(jì)、概率與函數(shù)導(dǎo)數(shù)、概率與不等式等）的交匯問(wèn)題，都是高考命題中一個(gè)熱點(diǎn).

例3" （2024屆湖北省金太陽(yáng)高三12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）有一位老師叫他的學(xué)生到麥田里，摘一顆全麥田里最大的麥穗，期間只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結(jié)果，他的學(xué)生兩手空空走出麥田，因?yàn)樗恢懊媸欠裼懈玫模詻](méi)有摘，走到前面時(shí)，又發(fā)覺(jué)總不及之前見(jiàn)到的，最后什么也沒(méi)摘到.假設(shè)該學(xué)生在麥田中一共會(huì)遇到n顆麥穗（假設(shè)n顆麥穗的大小均不相同），最大的那顆麥穗出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等.為了使他能在這些麥穗中摘到那顆最大的麥橞，現(xiàn)有如下策略：不摘前k（1≤klt;n）顆麥穗，自第k+1顆開始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見(jiàn)過(guò)的麥穗都大的，就摘這顆麥穗，否則就摘最后一顆.設(shè)k=tn，該學(xué)生摘到那顆最大的麥穗的概率為P.取knn-1j=k1j=knlnnk

（1）若n=4，k=2，求P.

（2）若n取無(wú)窮大，從理論的角度，求P的最大值及P取最大值時(shí)t的值.

解析：（1）當(dāng)n=4，k=2時(shí)，這4顆麥穗的位置從第1顆到第4顆排序，有A44=24種情況.

要摘到那顆最大的麥穗，有以下兩種情況.

①最大的麥穗是第3顆，其他的麥穗隨意在哪個(gè)位置，有A33=6種情況.

②最大的麥穗是最后1顆，第二大的麥穗是第1顆或第2顆，其他的麥穗隨意在哪個(gè)位置，有2A22=4種情況.

故所求概率為P=6+424=512.

（2）記事件A表示最大的麥穗被摘到，事件Bj表示最大的麥穗在麥穗中排在第j顆.

因最大的那顆麥穗出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，故P（Bj）=1n，以給定所在位置的序號(hào)作為條件.

由全概率公式知P（A）=nj=1P（A|Bj）P（Bj）=1nnj=1P（A|Bj）.

當(dāng)1≤j≤k時(shí)，最大的麥穗在前k顆麥穗之中，不會(huì)被摘到，此時(shí)P（A|Bj）=0.

當(dāng)k+1≤j≤n時(shí)，最大的麥穗被摘到，當(dāng)且僅當(dāng)前j-1顆麥穗中的最大的一顆在前k顆麥穗中時(shí)，此時(shí)P（A|Bj）=kj-1.

所以P（A）=1nnj=1P（A|Bj）=1nnj=k+1kj-1=knn-1j=k1j=knlnnk.

令函數(shù)g（x）=xnlnnx（xgt;0），則g′（x）=1n·lnnx-1n，令g′（x）=0，解得x=ne.

則當(dāng)x∈0，ne時(shí)，g′（x）gt;0；當(dāng)x∈ne，n時(shí)，g′（x）lt;0.

所以函數(shù)g（x）在0，ne上單調(diào)遞增，在ne，n上單調(diào)遞減.

故g（x）max=gne=1e，所以當(dāng)k=ne時(shí)，P（A）=knlnnk取得最大值，最大值為1e，此時(shí)t=1e，即P的最大值為1e，此時(shí)t的值為1e.

點(diǎn)評(píng)：該熱點(diǎn)問(wèn)題以實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景來(lái)創(chuàng)設(shè)，巧妙融入古典概型、概率計(jì)算、條件概率、全概率公式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等，是新高考命題中一大熱點(diǎn)問(wèn)題，有效考查概率統(tǒng)計(jì)中的基礎(chǔ)知識(shí)，以及解決問(wèn)題的基本思想與技巧，實(shí)現(xiàn)不同知識(shí)模塊之間的交匯與融合.