新高考視域下“統計與概率”解題策略研究

摘" 要：“統計與概率”作為高中數學中重要組成，對學生的數學建模、數據分析、數學運算、邏輯推理等素養進行了全方位的考查，已成為當前高考的亮點與熱點.尤其是在新高考背景下，“統計與概率”考試題目背景常常與實際問題相結合，進一步增加了學生的解題難度.鑒于此，基于數學新高考視域下“統計與概率”考查方向，全面加強解題教學，提升學生的解題能力已成為當前研究的重點.本文聚焦于此，結合解題實踐，對其展開了詳細的探究.

關鍵詞：新高考；“統計與概率”；解題教學

“統計與概率”主要是從數量的角度，圍繞隨機現象規律展開研究，是高中數學的重要組成.同時，“統計與概率”中也蘊含了大量的數學核心素養，包括：數學建模、數據分析、數學運算、邏輯推理等，歷來是考查的重點.尤其是在新高考視域下，考查的內容、形式也隨之發生改變.縱觀最新高考下的數學試卷，關于“統計與概率”的考查內容基本上與新課程標準保持一致，更加關注內容的全面性、層次性，突出了核心概念、主干知識、重要思想的考慮.從考查形式上來說，題目背景更加生活化、情境性，致使題干更加冗長.在這種情況下，部分學生很難將數學問題從實際問題中抽象出來，致使其在解題時面臨著極大的難度.鑒于此，基于新高考下的要求，全面加強“統計與概率”解題教學研究已成為擺在一線教師面前的重任.

1" 新高考下“統計與概率”試題特點分析

縱觀新高考歷年各地數學試卷，關于“統計與概率”知識的考查，呈現出以下幾個特點.

（1）試題背景更加豐富.新高考下“統計與概率”這一部分的試題突出了“統計與概率”和現實生活之間的聯系，試題設置背景更加生活化.例如，以普及垃圾分類知識、長途客車運行、流行病調查等作為試題的背景.可以說，新高考下“統計與概率”的考試背景和實際生活、社會生產緊密相連，突出了試題的時代性，以及數學知識的應用性和實踐性.

（2）考查內容聚焦主干知識.基于各地試卷分析，當前數學考查的知識點集中在主干知識中，主要涉及概率計算、概率性質和相互獨立事件的概率、條件概率和全概率公式、隨機變量分布列與數字特征、二項分布、正態分布等.可以說，新高考下關于這一部分知識考查更加全面、系統、聯系性更強，真正體現了統計與概率知識的特點.

（3）更加關注學生的數學綜合素養.新高考下，關于“統計與概率”考查題目中，更加關注學生的數學綜合素養.例如，數學閱讀素養，學生必須認真閱讀題目含義，在審題中抽象出數學問題，了解問題的背景，形成新的解題思路和方案.在數學題目中融入了一定的數學思想，其中以建模思想尤為突出，學生需要利用一定的數學思想進行解題.

2" 新高考下“統計與概率”解題教學研究

2.1" 加強審題教學，增強題目理解能力

新高考下“統計與概率”題目也呈現出全新的特點，題目文字敘述比較長，數據非常多，對學生的閱讀能力、數據分析能力都提出了更高的要求.鑒于此，在解題教學中，應著重培養學生的題目閱讀能力，強化審題意識，使其在審題時能夠精準把握題目中的關鍵條件，深層次挖掘題目中的隱含信息等，為學生更好地解題奠定堅實的基礎.

例1" 11分制乒乓球比賽中，每次贏得一球之后就會得1分.當比賽某一局達成10∶10之后，每球交換發球權，先多贏得2分的隊員獲勝，該局比賽獲得勝利.甲乙兩位學生在乒乓球單打比賽中，假設同學甲發球時的得分概率為0.5，同學乙發球時甲同學的得分概率為0.4，各個球結果相互獨立，在某一局雙方10∶10平之后，由甲先發球，兩位同學又打了X個球之后，比賽才結束.求解以下兩個問題.

（1）P（X=2）.

（2）求事件X=4且同學甲獲得比賽勝利的概率.

分析：本題目解答存在以下兩個關鍵條件：①比賽的規則是兩位選手比賽到10∶10之后，每球都要交換發球權，先多贏得2分的一方獲得；②比賽時同學甲的得分概率，在甲發球時其得分概率為0.5，在同學乙發球時其得分概率為0.4.同時，從這一條件中還可推出，當甲發球時，同學乙的得分概率為0.5，當同學乙發球時得分概率為0.6.學生在審題中只要明確這一點，即可形成明確的解題思路.

（1）由題意可知，X=2包括同學甲連續贏得兩個球，或者同學乙連續贏得兩個球.因此，P（X=2）=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.

（2）根據題目已知條件可知，事件X=4且同學甲獲得比賽勝利，前兩個球中同學甲、同學乙各贏得1分，之后兩個球均為同學甲得分.因此，所求概率為（0.5×0.6+0.5×0.4）×0.5×0.4=0.1.［1］

2.2" 培養模型意識，強化解題能力

新高考視域下，“統計與概率”題目中融入了大量的數學模型，如超幾何分布、二項分布、正態分布、回歸分析、獨立性檢驗等.鑒于此，在解題教學過程中，應立足于這一考查點，強化學生的模型意識，使其在分析題目時能夠從實際問題中將數學問題抽象出來，進而運用相關的知識進行解答.

例2" 從某一批產品中，有放回地抽取產品兩次，每次隨機抽取1件產品.假設事件A為取出2件產品中至多有1件產品是二等品的概率為0.96.求解以下兩個問題.

（1）從該產品中任取1件產品是二等品的概率為多少？

（2）如果該產品中共有100件，從中任意抽取2件，用ξ表示取出2件產品中二等品的件數，求ξ的分布列.

分析：在解答本題目時，關鍵在于正確識別、區分超幾何分布、二項分布模型.其中，超幾何分布模型主要是任意抽取n件產品，且是不放回的抽取，一次僅取1件產品，連續取產品n次.如果在抽取產品時，出現了“有放回抽取”的現象，則為n次獨立重復實驗，這屬于二項分布.因此，就本題目來說，在第（1）問中即為二項分布.在第（2）問中即為超幾何分布.由此即可形成明確的解題思路.

（1）取2件產品中無二等品的事件表示A0，取2件產品中恰好有1件產品為二等品的事件表示為A1.由于A0、A1為互斥事件，且A=A0+A1，因此，P（A）=P（A0+A1）=P（A0）+P（A1）=（1-p）2+C12p（1-p）=1-p2.因為1-p2=0.96，解方程，得p1=0.2，p2=-0.2（舍去）.

（2）因為ξ可能取值為0，1，2，假如這一批產品中共有100件，根據（1）得知題目中二等產品共有100×0.2=20件.因此，P（ξ=0）=C280C2100=316495，P（ξ=1）=C180C120C2100=160495，P（ξ=2）=C220C2100=19495.

因此，ξ的分布列如下.

ξ012

P31649516049519495

2.3" 轉化函數，優化解題

新高考視域下，面對“統計與概率”的相關題目，常常會遇到求最值、范圍等問題.鑒于此，即可融入函數意識，選取變量構建函數關系式，最終將所求的問題進行轉化，使其成為求函數最值和值域等問題，并運用相關的知識進行解答.

例3" 調查中發現，導致全球氣候變暖、海平面上升的主要原因是汽車尾氣排放超標.在可持續發展戰略下，我國加大了對新能源項目的支持，積極推進新能源汽車產業的迅速發展.在對某新能源企業汽車銷售情況的調查中，得到如下統計表（見表1）.

（1）在該統計表中，表明了銷量y和年份代碼x之間存在較強的線性相關關系.求y關于x的線性回歸方程，并對該地區新能源汽車銷量在哪一年能夠突破50萬輛進行預測.

（2）為了對購車者性別和種類情況進行調查了解.該企業又隨機抽取200位車主作為調查樣本.結果顯示，男性車主中購置傳統汽車有ω名，購置新能源汽車的車主為45名.女性車主中則有20名購置了傳統的汽車.

①如果ω=95，將調查樣本中購置新能源汽車的性別占比作為概率，以樣本估計總體，試著用（1）中線性回歸方程，對該地區2020年購置新能源汽車女性車主人數進行預測（假設每位車主只購買一輛汽車）.②假設男性車主中選擇購買新能源汽車的概率為P，如果將樣本中的頻率視為概率，從被調查樣本中所有男性車主中隨機抽出5人，恰好有3人選擇了新能源汽車的概率為f（P），求當ω為何值時，f（P）最大.

分析：本題目難度系數比較高，不僅以當前社會生產熱點作為背景，同時又與函數知識整合到一起，主要對“線性回歸方程”展開考查.鑒于此，在解決這一問題時，需要明確獨立重復實驗成功次數對應的概率公式f（P），之后再融入函數思想，運用導數對函數的單調區間進行確定，最終完成題目的解答.

（1）根據題意得出x=1+2+3+4+55=3，y=10+12+17+20+265=17，5i=1xiyi=295，5i=1x2i=55.

因此=5ixiyi-5xy5ix2i-5x2=295-5×3×1755-5×3×3=4，=y-x=17-4×3=5.

所以求y關于x的線性回歸方程為=4x+5，令＞50時，則x＞11.25，最小的正整數x=12，則有2014+12=2026，即在2026年時該地區新能源汽車銷售量將突破50萬輛.

（2）①根據題意得知，該地區中200名車主中，女性車主為200-95-45=60名，則購買新能源的女性車主為60-20=40名.因此，在購買新能源汽車車主中，女性所占據的比例為4040+45=817，該地區中購置新能源汽車女性車主概率為817.根據預測得知，該地區在2020年時新能源汽車銷售為4×6+5=29萬輛.

因此，在2020年時購置新能源汽車新車主中女性人數約有29×817≈13.6萬.

②由題意可知，P=4545+ω（0≤ω≤135）.

則有f（P）=C35P3（1-P）2=10P3-20P4+10P5.

對其進行求導得出f′（P）=50P4-80P3+30P2=10P2（P-1）（5P-3）.

當0＜P＜35時，f′（P）＞0；當35＜P＜1時，f′（P）＜0.

則f（P）在0，35上單調遞增，在35，1上單調遞減，則fmax（P）=f35=C35353×252=216625，此時ω=30.

因此，當ω=30時，f（P）存在最大值，且最大值為216625.［2］

3" 新高考下“統計與概率”解題教學啟示

鑒于新高考下“統計與概率”考試題目的類型和解題要求，高中數學教師唯有努力調整和完善課堂教學模式，使得學生在針對性的訓練和學習中，逐漸提升自身的解題能力.首先，注重基礎知識教學，強化知識練習.在日?！敖y計與概率”教學中，應加強基本概念、基本性質教學，注重相關知識的歸納與總結，以便于學生在學習中逐漸形成系統化的知識網絡.而要達到這一目標，在日常教學中可適當借助知識結構圖、思維導圖等工具，強化基礎知識學習效果.其次，規劃專題，重點突破.鑒于新高考下的考試特點，在日常教學和復習指導中，可采用細分專題的模式，將“統計”“概率”等知識進行合理劃分，使其成為不同的板塊.同時，圍繞每一個板塊的知識點、常見題型、易混概念、易錯問題等進行整合，使得學生在針對性的學習和訓練中，逐漸掌握解題技巧.最后，關注本質，提煉內涵.新高考下，雖然“統計與概率”這一部分題目類型多種多樣，但本質卻非常一致，甚至出現了題型異質同的現象.鑒于此，在日常教學和復習指導中，必須帶領學生透過問題現象看到其本質內涵，提煉其內涵，領悟其中蘊含的數學思想，真正提升學生的學習效果.［4］

參考文獻

［1］黃榕鑫.芻議新高考下“統計與概率”的解題策略［J］.試題與研究，2023（6）：25-27.

［2］郝飛宇.基于HPM視角的高中統計與概率教學研究［D］.濟南：山東師范大學，2022.

［3］秦樂，周瑩.高中數學教材習題綜合難度研究——以人教A版“統計與概率”為例［J］.中學數學（高中版），2019（13）：20-23.

［4］王浩然.如何增強高中數學解題能力——以《統計與概率》知識題為例［J］.高考，2018（29）：158.