探究數學教學中滲透數形轉化思想

摘" 要：課程的改革，課標的修訂，數學素養的提出，“雙減”政策的出臺推動了數學教學的發展.教育教學更重視知識產生的過程和學以致用的能力的提高.數形轉化作為一種重要的高層次的數學思想，是指導學生運用數學知識的一種常用的思想，它是通過數轉形、形轉數來實現數形轉換，具有數的抽象和形的直觀的特點，優化了研究問題的思路，指明了快速解決問題的方向.本文通過數與形轉化的教學，探究怎樣在教學中滲透數形轉化的思想.

關鍵詞：數學思想；數形轉化；滲透

數學思想本質上是對數學理論和數學事實加以歸納提煉，經過思維加工而產生的結果，是一種反映現實中的數量關系和空間形式的意識，是一種具有普遍性、總結性、指導性的觀點.其對于運用數學知識解決問題具有普遍指導作用.學懂弄通數學思想，基本上就掌握了數學的靈魂和精髓.

數學是研究數量關系和空間形式的科學.數量關系是研究數方面的內容，空間形式是研究形方面的內容，它們之間有著非常密切的關系.往往數量的關系可以通過圖形的性質來研究，圖形的性質可以通過數量的關系來研究，也就是數與形不是互相獨立，而是可以互相轉化的.數形轉化的思想就是這種運用數與形之間的互相轉化來解決問題，是一種高層次的數學思想之一.它既有嚴謹的數，也有直觀的形，主要包含形轉化為數、數轉化為形兩個方面.

滲透是指液體從多孔的物體透過漏出.轉化數學思想在數學教學中滲透是指教師在教學過程中，把已經準備好的轉化思想，有目的、有計劃地按步驟結合課堂不失時機地引導學生領會掌握，逐漸給學生形成一種意識、一種思維、一種能力.

1" 數形和諧對應，凸顯轉化功能

在數學教材中的實數與數軸、有序數對與點、集合、復數、向量的運算都蘊涵著數形轉化思想，無不體現數形的和諧完美的對應，為數形的轉化奠定了堅實的基礎.因此教師在備課和教學中不僅要學會學透，而且要在教學的環節中巧妙設置滲透的時機，促使學生在學習交流的過程中能潛移默化地熟悉和領會數形轉化對應關系，培養學生自主地、有意識地運用數形轉化思想，從而掌握常用的數形轉化技巧.如運用坐標系繪制函數圖象、賦予數式（如方程、不等式等）的幾何直觀、給予直觀圖形的數式表達等.

2" 數形巧妙轉化，突出特色效果

2.1" 形轉數，揭示數的細微

解決形的問題，可以考慮其對應的數的模型，通常通過方程（組）、坐標系、向量、復數等數量關系，把形的推理部分削弱或者省去，精確地將形的部分或全部轉換成對應的數，最終形的相關問題都歸結為對應的數量相關問題.如我們平時常遇到幾何中的線段、角的關系問題，事實上就是研究關于這些線段、角的數量之間的關系.可以用字母來表示線段、角，問題實質上就轉化為含字母的數式關系，實現了形轉數，進而利用恒等式或方程解決圖形的有關性質問題.

2.1.1" 借助方程（組）、不等式等實現形轉數

例1" 一個長方體紙箱的長、寬、高分別為5m、4m、2m，它要通過一個正方形窗口，試計算正方形窗口的最小邊長.

圖1

分析：根據題意畫出示意圖（如圖1），應該選擇長方體各個面中寬和高所在面，利用勾股定理建立方程，從而確定正方形與長方形的邊長之間的關系.

解：設AE=x，BE=y，根據題意，得

AE=AH=CF=CG=x，

BE=BF=DG=DH=y.

根據勾股定理，得

x2+x2=42，

y2+y2=22，解得x=22，

y=2.

∴x+y=22+2=32.

例2" 如圖2，△ABC中，點D是BC邊上一點，DE∥AC交AB于點E，且△ADE的面積為5，試確定△ABC面積S的取值范圍.

分析：由DE∥AC可知，△ABC的面積與△BDE面積有關，而△BDE與△ADE的面積比等于BE與AE的比，那么△ABC與△ADE的面積關系就可以確定，△ABC面積的取值范圍就可以求出來.

圖2

解：設BEAB=x.

∴S△BDES=x2.

∴S△BDE=Sx2.

S△BDES△ADE=BEAE=x1-x=Sx25.

整理，得Sx2-Sx+5=0.

∵這個關于x的方程有實數根，

∴Δ=S2-4×S×5≥0.

∴S≥20.

2.1.2" 借助函數實現形轉數

例3" 如圖3，△ABC中，AB=BC，D為AC邊上一動點，作DE∥AB交BC于E，DF∥BC交AB于F，EM、FN、BH分別是△DEC、△AFD、△ABC的高.

圖3

（1）猜想EM、FN、BH之間的數量關系，并加以證明.

（2）若tanC=2，AC=4，試求四邊形DFBE的面積的最值.

分析：（1）根據DE∥AB及DF∥BC可以得到△DEC、△AFD均是等腰三角形，那么EM、FN、BH都是等腰三角形的底邊上的高，借助三角函數可得EM=CMtanC=12CDtanC，同理FN=12ADtanA，BH=12ACtanA，又∠A=∠C，就可以知道EM、FN、BH之間的數量關系.

（2）確定四邊形DFBE的函數表達式，通過函數的性質來求面積的最值.

解：（1）EM+FN=BH.

證明如下：∵AB=BC，

∴∠A=∠C.

∵DE∥AB，DF∥BC，

∴∠CDE=∠A，∠FDA=∠C.

∴∠CDE=∠C，∠FDA=∠A.

∵EM、FN、BH分別是△DEC、△AFD、△ABC的高，

∴EM=CMtanC=12CDtanC.

同理，FN=12ADtanA，BH=12ACtanA.

又tanC=tanA.

∴EM+FN=12CDtanC+12ADtanA=12（AD+CD）tanA=12ACtanA=BH.

即EM+FN=BH.

（2）設CD=x，四邊形DFBE的面積為S.

則EM=12CDtanC=x，FN=4-x，BH=4.

∴S△DCE=12x×x=12x2，S△ADF=12（4-x）×（4-x）=12（4-x）2，S△ABC=12×4×4=8.

∴S=S△ABC-S△DCE-S△ADF=8-12x2-12（4-x）2=-x2+4x=-（x-2）2+4.

∴當x=2時，S有最大值4.

2.2" 數轉形，展現形的直觀

形是數的直觀表現，探究抽象的數所蘊含的圖形幾何直觀，從而把抽象的數轉化為直觀的形，然后利用圖形的性質將問題解決.如在解方程、不等式、求函數的定義域及值域、代數式及函數的最值、三角函數的問題都可以運用這種方法進行解決.這是問題解決中最為常見的思路，可以直接簡化解題過程，避免繁雜的計算和推理.

2.2.1" 巧用數式、方程（組）、不等式等所賦予的幾何意義實現數轉形

例4" 若0lt;xlt;4，求代數式x2+1+（4-x）2+4的最小值.

分析：由x2+1及（4-x）2+4聯想到勾股定理，構造兩個直角三角形，把問題轉化為求幾何最值問題.

解：如圖4，作線段AB=4、Rt△ACD、Rt△BED，其中∠A=∠B=90°，點D是線段AB上的動點.

由于0lt;xlt;4，可設AD=x，則BD=4-x，CD=x2+1，DE=（4-x）2+4.

∴x2+1+（4-x）2+4的最小值就是CD+DE的最小值.

∴當C、D、E三點共線時，CD+DE最小，即為線段CE的長度（如圖5）.

這時過C點作CF∥AB交EB的延長線于點F.

∴∠F=∠ABF=90°，且四邊形ABFC為矩形.

∴BF=AC=1，CF=AB=4.

∴EF=3.

∴CE=CF2+EF2=42+32=5.

2.2.2" 巧用函數的幾何直觀實現數轉形

例5" 已知函數y=-x+12t-1，xlt;t，

x-32t-1，x≥t，其中t為常數，記這個函數的圖象為M.已知點A（0，-1），B（0，2），C（2，-1），當t滿足什么條件時，圖象M與△ABC有兩個公共點.

分析：通過函數圖象可以直觀展現圖象與△ABC的交點情況，由圖象經過特殊定點A、B、C來確定t所滿足的條件.

解：設y1=-x+12t-1，y2=x-32t-1.

①如圖6，當y2經過點B時，圖象M與△ABC有一個公共點，

這時2=0-32t-1，

解得t=-2.

圖6

②如圖7，當y2經過點A時，圖象M與△ABC有兩個公共點，把A（0，-1）代入y2，得

-1=0-32t-1，

解得t=0.

圖7

綜合①②，得當-2lt;t≤0時，圖象M與△ABC有兩個公共點.

③當y1經過點A時，把A（0，-1）代入y1，得-1=0+12t-1，

解得t=0.

∴tgt;0時，隨著t值的增大，y1與線段AB、AC各有一個交點，y2與線段AC、BC各有一個交點，因而圖象M與△ABC有四個交點，直到y2經過點C（如圖8）.

圖8

④如圖9，當y2經過點C時，把C（2，-1）代入y2，得

-1=2-32t-1，

解得t=43.

這時y1分別與AB、AC各有一個交點，此時圖象M與△ABC有三個公共點，當t繼續增大時，圖象M與△ABC有兩個公共點，直到y1經過點B.

圖9

⑤如圖10，當y1經過點B時，圖象M與△ABC有一個交點，把B（0，2）代入y1，得

2=0+12t-1，

解得t=6.

圖10

綜合④⑤，得當43lt;t≤6時，圖象M與△ABC有兩個公共點.

∴當-2lt;t≤0或43lt;t≤6時，圖象M與△ABC有兩個公共點.

3" 數形轉化教學中應遵循的原則

數形轉化作為重要的數學思想，其實它也是一種重要數學解題策略.由于它是在數與形對應基礎下進行的，所以在教學過程中，分析問題和解決問題注意要遵循如下原則.

（1）等價性原則：進行數形轉化要充分考慮圖形的存在性、整體性、準確性、界限性、合理性，確保代數性質與幾何性質可以進行等價轉換.

（2）科學性原則：數形的互化包含了圖形的代數抽象和代數的圖形的直觀賦予，這兩部分的相互對應必須

科學合理，能充分揭示數形完美的結合，實現數與形的雙重科學統一.

（3）簡易化原則：數形轉化的作用是解決問題快速、簡捷、高效.選擇這種思想后，就要選擇方法，如幾何法或代數法，還是幾何法和代數法相結合.在充分分析問題的基礎上選擇簡單快速有效的方法，避免為了“數形轉化”而把問題復雜化.

4" 教學中滲透數形轉化的數學思想

4.1" 加強教材研究，結合課程標準挖掘數形轉化思想

教學中滲透數形轉化思想可以提高學生的數學素養，增強他們的思維能力，提升他們的解題水平，滲透數形轉化思想的途徑主要有下面三類.

（1）坐標類.有直角坐標系、極坐標系、復平面等.

（2）建模類.構建幾何、函數等模型.

（3）轉化類.準確分析數式、方程（組）、不等式等所賦予

的

幾何直觀意義，圖形所對應的數量關系，進行數與形的精確轉化.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》著重提到學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題能力的培養，因而在教學中注重滲透數形轉化的思想，有利于提高學生上面的“四力”，對開拓學生的視野，培養學生觀察、比較、類比、聯想能力有很大的幫助，對學生學習和探索最佳的解決問題的方法有一定的指導意義.［1］數形轉化的思想形成后，可以促進學生自覺進行抽象化思考，形成自己正確的解題策略，提升他們的數學素養，培養他們學習鉆研數學的興趣.

4.2" 重視教學探索，尋找恰當時機滲透數形轉化思想

數形轉化中的數有豐富的內涵及外延，可以是平時普遍接觸的數，也可以是式子、方程、不等式、函數等.數的幾何直觀圖形表示就稱為形.形是研究圖形的性質，只要精確尋找出抽象的數的問題所對應的幾何圖形，問題就可以用圖形直觀的來表達.數的抽象理解可以轉化為直觀的圖形來展示，所以抽象的理解如果變為圖形的識別，多么復雜的數的抽象問題都會用圖形輕而易舉地解決，學生的思維深刻性也會得到進一步培養.

其實數形轉化始終貫穿在數學教材的每一章節之中，我們教師應該要胸有成竹，如不等式的解集與數軸、函數與圖象、集合與文氏圖等，又如引入坐標系后，代數與幾何在解析幾何中實現統一等.教師在教學探索中應善于運用實際的事例，結合生活實際和學生發展具體情況，在課堂教學中實時滲透數形轉化的思想方法，有計劃、有目的地引導學生啟動動態思維，改變思維方式，對問題進行多角度、多層次、有針對性的思考，學生的思維發散性也會進一步得到培養.

我們知道事物是運動變化的，數與形的關系可理解為事物運動的某時刻的兩個量的刻畫，即數量取值和位置，于是在分析、處理、研究教材時，可以適當采用動態思維來思考，從而揭開知識前后變化及相互聯系的成因，進而從根本上認清事物的變化發展，有力地促進學生辯證思維的發展.因此在平時的教學中，應不失時機地合理進行數形轉化思想的滲透，同時還要關注學生如下能力的培養.

（1）圖形觀察能力的培養，能從圖形的動靜變化中迅速發現所對應的數量關系.

（2）圖形繪制能力的培養，能使所繪制的圖形準確契合所對應的數量關系.

（3）數形轉化意識的培養，能熟練做到觀形識別數量關系，看數學關系聯系圖形性質.

通過數形轉化的教學，促進學生對數與形的內在關系的深入了解，它也是一種數學問題模型轉化研究的基本思路和方法，可以讓學生在學習中體會形轉數，數轉形的妙用，掌握數與形等價轉化技巧.這不僅能培養學生思維的靈活性，也有助于學生情感價值觀的培養.

數學家波利亞（George Polya）說過掌握數學就是善于解題.解題通俗說就是求出問題的結果，通常也可以叫做問題的答案，

揭示問題中的條件和結論的聯系，探究怎樣把已知的條件推導出未知的結論.而數形轉化的思想正是一種化未知為已知的直觀有效并且簡潔的思路，直觀的圖形和精確的數量完美結合常常會給我們美妙的啟迪，甚至給我們開辟了一種別樣的解決問題的途徑，可以使繁雜的問題簡單化、抽象問題具體化，從而優化解題過程，提高解題效率.

我們知道數學問題種類繁多，考查的知識不同，設置的條件和結論不同，難易程度也不同，但是解題的思想方法可以在不同的問題中使用.因而教師在教學中要尤為重視數形轉化思想的滲透.這是一項長期的工作，只要通過日積月累、潛移默化，一定能提高學生的數學解題能力.

俗話說“授人以魚”不如“授人以漁”，教師在教學中更要重視“教什么”“怎么教”“為什么這么教”，切實幫助學生變被動學習為自主學習，主動探索知識的產生過程，探究數學問題的思想方法，變“老師要我學什么，我就學什么”為“我要學什么，怎么學，為什么這么學”，真正體現學生主體，教師主導的作用.數形轉化思想就是一種重要的數學“漁法”，可以利用數形互化，化復雜為簡捷，去抽象為具體.

參考文獻

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