距離與空間：高中數學建模教學策略研究

摘" 要：建模能力是數學學科核心素養之一，也是解決數學問題的好手段.應用題是對數學模型應用最多的題型，重點考查學生的建模能力和解決問題能力.近些年，高考數學試卷中應用題的數量和分數占比逐漸攀升，對學生的建模能力、解決問題能力的考查愈加深入，要求逐年提升.基于此，高中數學課堂教學需重視對學生建模能力的培養.本文從距離問題、金字塔表面積問題入手，分析圓錐曲線模型、空間幾何模型的教學策略，探討提升學生數學核心素養的教學方法，以提升高中數學的教學質量.

關鍵詞：距離與空間；數學建模；教學研究

在高中數學領域中，部分應用題的解題過程與建模過程存在較高的相似度.建模能力優秀，對數學模型的理解較深的學生，解決此類應用題的質量效率較高；建模能力不佳，對數學模型的理解模糊的學生，解決此類應用題的質量效率較低.高中數學課堂上，教師應重視對學生建模能力的培養，重視教學過程中對數學模型的推演和構建，

培養學生建模能力.本文以圓錐曲線模型、空間幾何模型為例分析高中數學的解題教學策略，探討建模能力培養和解題教學二者結合的可用方法.［1］

1" 圓錐曲線模型——距離問題

圓錐曲線（二次曲線）中很多題目都會涉及線段的長度、距離.學生們做題時多會第一時間想到利用兩點間距離公式求解，但此公式的應用需要兩點坐標，即四個量，求解煩瑣且未必能夠根據已知條件解出.從圓錐曲線模型入手尋找其他解題切入點成為必然選擇.日常教學中，教師多將課堂時間和教學精力放在圓錐曲線的理論教學上，忽視了對學生的建模能力的指導和培養，導致學生掌握了一堆圓錐曲線定義、性質、結論，卻缺少使用這些知識解決圓錐曲線問題的方法.

近年，高考數學試卷中包含圓錐曲線的多種模型，橢圓、雙曲線、拋物線模型多有出現，成為考查學生建模能力、解決問題能力的常用題目.高考數學試卷中相關題目和考點見表1.

解決此類問題的基本思路是準確識別問題中模型屬于圓錐曲線中的哪一種，根據已知條件完成圓錐曲線建模，利用數學模型求解實際問題.學生們若能準確把握圓錐曲線模型，就能結合圓錐曲線模型完成對問題的轉化，找到合理的解題切入點，完成求解.高中數學圓錐曲線教學中，教師應重視對學生判斷模型、構建模型能力的培養.讓學生在應用圓錐曲線模型解題過程中收獲成就感，才能真正激發學生對圓錐曲線問題的學習興趣，真正激發學生對數學建模這一學習方法和關鍵能力的重視，進而提升學生的數學學科核心素養.

2" 圓錐曲線模型的教學

在解決圓錐曲線問題，構建數學模型的過程當中，學生需要具備轉化已知條件，數形結合以及畫圖能力，借由數形結合、繪圖充分提煉已知條件中的數量關系、數形關系，構建模型完成解題.教師在日常教學中，應

引導學生分析已知條件，提煉已知條件中的數量關系、數形關系，完成對數學模型的構建.［2］經過高頻率的練習，學生才能逐漸掌握此種解決圓錐曲線問題、建構數學模型的解題方法，從而在面對問題時熟練應用.

具體案例：我國近些年的基礎設施建設中，公路隧道占據不小的比例，成為縮短丘陵、山地區域兩地間交通路線長度的重要設施.公路隧道設計建設時，需要考慮市面上重型貨車的通過安全.市面上的貨車一般長為9m，高為3m，寬為1.6m.公路隧道若要保證貨車安全通過，需要保證雙向車道形式的貨車頂部與隧道上緣均保持安全距離.因公路隧道橫斷面多設計成拋物線型，為了確保隧道內貨車雙向通行安全，法律規定貨車在隧道內行駛時應盡量貼近中線，與中線保持0.4m 距離.拋物線隧道拱口寬設計為拱高的4倍，若設隧道的拱口寬為a m，請計算a的最小正整數值是多少能保證貨車在公路隧道內的安全通過.

案例分析：由題目已知條件，公路隧道為拋物線形，拱寬為高的4倍，中線位于拱寬的中心可設為坐標系原點，拱寬兩端分別是-a2，0和a2，0，拱高與坐標系的交點為公路隧道最高處，坐標為0，a4，據此可畫出圖1中的公路隧道示意圖.圓弧形ABC就是題干所描述的拋物線型，線段AC為隧道拱寬，AC所在的直線為x軸，線段OB為拱高，OB所在直線為隧道中線，也為y軸.

模型建立：在已知公路與所做直角坐標系的交點坐標情況下，學生可以建立公路拱形的方程，發現這是一個拋物線.方程為x2=-2py-a4，要想得到拋物線方程的完整版需要確定未知參數p 的值，這是建模后下一步要做的工作.

因為點A、B、C均在拋物線上，學生可帶入任意一點來求p與a之間的關系，將未知參數轉化為本題的條件.假設學生選定了 A-a2，0，將點 A 的坐標代入到拋物線方程x2=-2py-a4中，-a22=-2p0-a4，得 p=a2，故該拋物線方程為x2=-ay-a4.

模型求解：求解拋物線方程就可以用題干中給出的貨車高度與中線距離.根據已知條件和初步分析結果可知，當貨車外沿與中線間距離為2m時，車高應小于拋物線的y值，所以可在此處建立一個不等式關系.

根據案例分析結果可知x=2，則拋物線方程x2=-ay-a4可轉化為22=-ay-a4，解出y=a2-164a.

由案例分析結果可知，隧道ygt;3，且agt;0，解不等式可以得到agt;6+213，最小整數值為14.則代表符合題意的公路隧道拱寬為14m.

模型應用：除圓錐曲線的拋物線模型外，雙曲線模型、橢圓模型等皆可按照這個解題思路進行建模和解題，一通百通，有助于提升學生的解題能力.

案例意圖：考查學生對圓錐曲線模型中的拋物線模型認識程度，以及學生結合題意建立模型的能力.

3" 空間幾何模型——金字塔表面積問題

空間幾何體的體積、邊長、表面積等問題是高中數學幾何部分的教學重點，學生不僅要掌握空間幾何體的概念、性質、規律，還要學會根據題意構建空間幾何體，利用空間幾何體完成對空間距離的求解.高中階段學生想要掌握棱柱、棱錐、棱臺等多面體以及圓柱、圓錐、圓臺、球體等旋轉體的概念、性質、規律，需要具備較為成熟的空間想象能力、建模能力、邏輯思維能力.［3］教師在日常教學中，應重視對學生空間想象能力、建模能力的培養，使學生掌握解決空間幾何問題的方法.空間幾何體與平面幾何圖形之間關系密切，解決空間幾何問題或者說構建空間幾何模型的關鍵在于將實際物體轉換為空間幾何體直觀圖，將三維立體圖形轉換為二維平面圖形的核心在于轉換思維應用.

近年高考數學試卷中出現的空間幾何體模型應用案例類型詳情見表2.解決此類問題的基本思路是將題干所描述的具體實物抽象成所掌握的空間幾何體，利用空間幾何體的知識去求解題目.［4］而學生解決此類問題的效率和質量，與學生對空間幾何體特征是否掌握扎實，建模能力是否優秀有關.

4" 空間幾何模型的教學

具體案例：埃及胡夫金字塔是人類對空間幾何體應用的著名案例.圖2為胡夫金字塔的實地拍攝圖.科學家實地測量得知，這座古建筑底部是個正方形，若以金字塔的高為邊長作一個正方形，則正方形的面積與金字塔一個側面三角形的面積相等.要求計算，側面三角形底邊上的高與底面正方形邊長之間的比值.

案例分析：解決此題的關鍵在于，第一步將金字塔抽象成學生熟悉的空間幾何體，第二步根據已知條件調整空間幾何體，或得到幾何體具體的參數，第三步求解.根據金字塔實圖中的形態以及已知條件，可以比較清晰地認識到四棱錐與金字塔之間的形態相似，暫定四棱錐為金字塔的空間幾何體，構建如圖3所示的空間幾何體模型圖.根據已知條件中的“底面正方形”字眼可知，該四棱錐底面是正方形，底面四條棱長相等，則四個側面三角形應是等腰三角形.根據四棱錐的特征可知，該金字塔符合正四棱錐的性質特征，學生解題時必然要用到正四棱錐幾何體的特征和性質.假設點O位于正四棱錐底面四邊形ABCD的中心，點M為底邊AD的中點，則OM是AD的一半.正四棱錐底面為正方形且四個側面等腰三角形互相全等，SM是側面三角形的高，垂直于線段AD，在底面上的投影為OM.SO垂直于底面ABCD，連接SM、SO、OM，則SO是該金字塔的高.題干所求則為AD與SM之比.

模型建立：根據上述分析過程，可以直接設正四棱錐的底面邊長為a，SM=h，進而得到正四棱錐中的側面三角形面積S△SAD=ah2，底面中心與底邊距離OM=a2，正四棱錐的高為SO.在計算SO時需要用到勾股定理，根據直角三角形△SOM得到SO2=SM2-OM2=h2-a22=h2-a24.已知條件中強調以高所做的正方形面積與正四棱錐側面三角形相等，根據此條件可列出等式，ah2=h2-a24，即可得到正四棱錐底面邊長與側面三角形高之間的比.

模型求解：對上述分析得到的等式關系ah2=h2-a24進行化簡整理，得4h2-2ah-a2=0，得4ha2-2ha-1=0，此結果可被視為一個二元方程，令ha=t，有4t2-2t-1=0且滿足限制條件tgt;0，解得t=1+54.

模型應用：除四棱錐外，其他空間幾何體都可通過此類方式進行建模和解題，有助于提升學生的建模能力和解題能力.

案例意圖：將金字塔根據已知條件抽象成正四棱錐的過程，在其他空間幾何體模型題目中同樣適用.遵循此思路進行解題，可逐步提升學生的建模能力.

參考文獻

［1］楊曉芳.核心素養視角下高中數學建模的教學實踐研究［J］.數理化解題研究，2024（6）：32-34.

［2］魏建平.“三新”背景下高中數學建模教學的新路徑［J］.課堂內外（高中版），2023（47）：60-61.

［3］王海巖，金雄虎.高中數學建模教學實踐探究［J］.試題與研究，2023（33）：34-36.

［4］唐秦.高中數學建模校本課程的開發與實踐［J］.中學數學月刊，2023（9）：62-64.