挖掘數學本質 合理等價轉化 提升學科素養

摘" 要：四點共圓是初中平面幾何中的一個難點內容，如今它已悄然走進高中解析幾何，出現在模考和高考的試題中，不少學生對它望而生畏.本文以高三復習中遇到的一道模考題為例，從不同角度逐層深入去思考探究問題的解決方案，過程中滲透相應的數學思想和方法，通過靈活等價轉換逐步降低證明難度，在潛移默化中發展學生的數學核心素養.

關鍵詞：解析幾何；四點共圓；等價轉換

關于平面解析幾何學業要求的闡述中，有兩點需要我們特別予以關注：①能夠通過代數語言把幾何問題代數化；

②在對幾何問題（圖形）的分析中，探索解題方向和思路.那么，在高三數學的教學中如何實現這一要求呢？本文以高三復習中遇到的一道模考題四點共圓的證明為載體，多角度逐層漸進對其解法進行深度思考與探究.

1" 試題呈現

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），短軸長為22，離心率為22.過右焦點F且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓于A，B兩點，AB的中垂線交x軸于點M，交直線x=22于點N.

（1）求橢圓C的方程.

（2）證明A，M，B，N四點共圓.

這是一道結構典型的解析幾何題，第（1）問求圓錐曲線方程.第（2）問是四點共圓證明問題，這是解析幾何中的一個難點問題，有一定的難度和區分度.證明時需要學生有較好的識圖能力和計算功底，更需要具備較強的靈活轉化、合理聯想的能力.

2" 解法探究

第（1）問的解答學生沒有困難，橢圓C的方程為x24+y22=1，下面重點探究第（2）問.大部分學生會以“設直線l方程以及A（x1，y1），B（x2，y2）并聯立直線與橢圓方程”這一常規操作入手.由于l過x軸上的定點F（2，0）且與坐標軸不垂直，設直線AB方程為x=my+2（m≠0）這一形式可以簡化計算.將直線與橢圓C方程聯立消去y，得（m2+2）y2+22my-2=0，y1+y2=-22mm2+2，y1y2=-2m2+2.求證四點共圓，學生比較容易想到求M，N兩點坐標.設AB中點為T，則T為22m2+2，-2mm2+2，所以AB的中垂線方程為y+2mm2+2=-mx-22m2+2，可求得M為2m2+2，0，N為22，-22m3-32mm2+2.分析可知A，B，M，N這四個點沒有一個是確定的點且坐標復雜，許多學生會陷入困境，不知從何下手.那么應該從哪里突破呢？

思考1：既然求證四點共圓，那么這四個點只是圓上的普通點嗎？會不會是具有某些特性的點？這四點之間有無關聯？帶著疑問再細讀題，MN垂直平分AB，突破口躍然紙上，如果這四點共圓，那MN不就是圓的直徑嗎.因此可設出圓的直徑式方程，證明A點在這個圓上，由于A，B兩點地位一致，同理可得B點也在這個圓上，即可證明四點共圓.證明過程如下.

證法1：設以MN為直徑的圓方程為x-2m2+2（x-22）+yy+22m3+32mm2+2=0①，帶入A（x1，y1），因為x1=my1+2，（m2+2）y21+22my1-2=0，則①式左邊=my1+2-2m2+2（my1-2）+y1y1+22m3+32mm2+2=（m2+1）y21+22m3y1+22my1+2m2+2-2=（m2+1）·2-22my1m2+2+22m3y1+22my1+2m2+2-2=2m2+4m2+2-2=0=右邊，所以A點在以MN為直徑的圓上.把y1換成y2同理可得，B點在以MN為直徑的圓上，所以A，M，B，N四點共圓.

反思：證法1的思路學生容易理解和入手，但化簡過程中需要先利用直線l的方程消去x，再利用曲直聯立后得到的一元二次方程來降次，運算量比較大，大部分學生很難算到最后.從學生的認知來看，他們熟悉且掌握的比較好的操作是直接應用曲直聯立后得到的根與系數的關系解題，對直接使用聯立后的方程來化簡的方法學生是比較陌生的，甚至想不到.那么如何解決這個問題呢？

思考2：證法1中之所以無法使用根與系數的關系即韋達定理，是因為A，B兩點在圓上是分開證明的.因此化簡的式子中只出現了y1，y2中的一個，為非對稱結構，能不能讓它們同時出現，構造對稱結構？仔細觀察證法1中帶入A點后的式子結構，可發現其實質就是證明MA·NA=0，這是因為MN是圓的直徑，只要證明∠MAN=90°即可證明點A在該圓上.由于MA·NA=MB·NB，因此只要證明MA·NA+MB·NB=0，即可得到四點共圓.主要證明過程如下.

證法2：MA·NA+MB·NB=my1+2-2m2+2（my1-2）+y1y1+22m3+32mm2+2+my2+2-2m2+2（my2-2）+y2y2+22m3+32mm2+2=（m2+1）（y21+y22）+22m3+22mm2+2（y1+y2）+4m2+2-4=（m2+1）［（y1+y2）2-2y1y2］+22m3+22mm2+2（y1+y2）+4m2+2-4=（m2+1）（12m2+8）-8m2（m2+1）（m2+2）2+4m2+2-4=4（m2+1）+4m2+2-4=0.

反思：在解析幾何里，與角度、垂直有關的問題，我們可以用向量的知識來處理.證法2中，通過坐標運算將幾何問題代數化，同時巧用構造對稱，化陌生為熟悉，讓學生得以應用根與系數的關系解決問題.但計算量并沒有減少，學生往往在運算中途受挫，沒有信心繼續算到底.

思考3：證法1和2的實質是證明∠MAN=90°，在證明的過程中實現了幾何問題解析化.還有沒有別的途徑？有沒有可能從幾何圖形入手？聯想證明直角三角形的相關方法，結合本題的圖形特點，可將證明∠MAN=90°等價轉化為證明點A到線段MN中點Q的距離等于MN長度的一半.由于AQ位于Rt△ATQ中，考慮用勾股定理來實現解析化.因此，這個證法中需要運用兩點之間的距離公式分別求出AB，TQ，MN，再利用勾股定理求出AQ即可.證明過程如下.

證法3：因為AB=1+m2|y1-y2|=1+m241+m2m2+2=4（1+m2）m2+2，TQ=1+m2·|xT-xQ|=1+m2x1+x22-xM+xN2=1+m222m2+2-2-22（m2+2）=1+m2·2（2m2+1）2（m2+2），MN=1+m2|xN-xM|=1+m222-2m2+2=1+m222m2+32m2+2.

所以AQ2=AT2+TQ2=AB24+TQ2=4（1+m2）2（m2+2）2+（1+m2）（2m2+1）22（m2+2）2=（m2+1）（4m4+12m2+9）2（m2+2）2=（m2+1）（2m2+3）22（m2+2）2=14MN2即AQ=12MN，所以A點在以MN為直徑的圓上.由點Q在AB中垂線上可得BQ=AQ=12MN，所以B點也在這個圓上，即可證明四點共圓.

反思：證法3的本質依據是圓的定義，證明過程中對AQ的求解應合理利用圖形中的特殊元素即直角三角形.另外用勾股定理的逆定理也可證明∠MAN=90°，但由于牽扯到的線段過多，證明AQ=12MN顯然更簡潔一些.相較證法1和2，證法3的運算量和運算難度都有所下降，不再讓學生可望而不可即.

思考4：在證明∠MAN=90°的過程中，不可忽視對角這個幾何圖形本身的挖掘.從該角的構成可發現，要證∠MAN=90°即證∠MAT+∠TAN=90°，由于AB⊥MN，即證∠AMT=∠NAT.我們把這兩個角分別放到相應的三角形中去，即Rt△AMT和Rt△NAT，因此只需證明這兩個直角三角形相似，可通過對應邊成比例來實現轉化，即證TM·TN=AT2.證明過程如下.

證法4：因為TM·TN=1+m2|xM-xT|·1+m2|xN-xT|=4（1+m2）2（m2+2）2=AT2，所以ATTM=TNAT.

因為∠ATM=∠NTA=90°，可得△ATM∽△NTA，所以∠AMT=∠NAT.

所以∠MAN=∠MAT+∠NAT=∠MAT+∠AMT=90°.

同理∠MBN=90°，所以A，M，B，N四點共圓.

反思：證法4是證法3的優化，利用了平面幾何中的相關定理實現了幾何問題的代數化，它對學生幾何識圖及思維方面的要求略高于證法3，但計算明顯簡潔明了，使學生不會困在計算中，真正實現了多想少算的目標.

3" 解題感悟

證法1是由題目條件最容易想到的證法，但由于證明過程中需用到學生不熟悉的處理方法以及較為煩瑣的計算，導致學生入手容易出手難.證法2在挖掘證法1本質的基礎上，利用數學中處處可見的對稱美，優化了目標式的結構，化非常規為常規，但由于計算量未得到有效降低，導致學生容易半途而廢，喪失完整解題的信心.證法3在證法1、證法2的基礎上結合幾何圖形，對目標式進行了合理的轉化，在實現目標式的過程中，利用直角三角形搭建平臺，有效降低了計算的復雜程度.證法4則是在進一步分析了圖形幾何要素的基礎上，對目標式進行了優化，簡化了計算.這四種解法層層遞進，讓不同的思維層次和高度得以體現.

解析幾何中，幾何是它的根本，解析是解決問題的手段，因此在高三解析幾何復習的教學中，要強化學生的幾何意識，引導學生先用幾何的眼光去仔細觀察圖形，準確分析圖形性質，挖掘其中的數學本質，再合理等價轉化成代數的知識并利用相應方法去解決問題，這樣往往可以找到較優的解題思路和方法，提高學生學習數學的信心和積極性，從而發展學生思維，提升學生的數學核心素養.

參考文獻

［1］龍正祥.基于核心素養的高三數學解題教學研究——以一道高考試題的多角度探究為例［J］.中學數學教學參考，2021（25）：57-59.

［2］陶兆龍.高三解析幾何復習應強化四種意識［J］.中學數學教學參考，2020（25）：44-47.

［3］彭海燕.幾何問題“解析化”途徑的探索［J］.中學數學教學參考，2021（19）：65-68.