“三教”理念下的數學解題教學研究

摘"要：“三教”理念是指“教思考、教體驗、教表達”的教育理念.以2023年高考理科數學甲卷第16題（解三角形）為例，討論“三教”理念對數學解題教學的啟示，即通過“教思考”引導學生明晰問題的條件、結論以及之間的關系；通過“教體驗”引導學生理清問題思路，積累解題經驗；通過“教表達”提升學生規范書寫、準備表達的能力.

關鍵詞：教思考；教體驗；教表達；數學解題教學

解三角形是在學生具備基本的三角形知識和三角函數知識之后，學習利用三角形已知的邊和角，求解未知的邊和角的問題，主要是利用正弦定理、余弦定理等知識解決問題.本研究以“教思考、教體驗、教表達”的理念為指導，以2023年高考理科數學甲卷第16題為例開展解題教學的研究，以期獲得對數學解題教學的啟示.

1"“三教”理念概述

2014年初，貴州師范大學呂傳漢教授提出數學教學重在“教思考、教體驗、教表達”的教育理念（以下簡稱“三教”理念）［1］，并用“三教”理念指導中小學數學教學，并逐步拓展到其他學科的教學.“三教”理念的提出，打破了一線教師的常規教學思路，真正發揮了學生的主體地位，促進學生核心素養的培育，是教學模式和教學方式的一次提升和創造.［2］

2"“三教”理念對教學的啟示

2.1"通過“教思考”引導學生明晰問題的條件、結論以及之間的關系

問題是數學的心臟，數學問題的解決離不開對已知條件的分析和推理.通過分析，可以挖掘已知條件所蘊含的信息；通過推理，可以明確未知和已知之間的內在聯系，從而建立條件與問題之間的因果關系.

“教思考”重在讓學生學會用數學的思維思考，學會“想數學”.［3］三教理念下的解題教學，教師要設計和實施好課堂教學問題，引導學生循序漸進，讓學生經歷從“讀不懂”到“讀懂”，從“不會用”到“會用”的“理解題意”的過程.

美國著名數學家、數學教育家波利亞（G·Polya）在《怎樣解題》一書中給出了舉世聞名的“怎樣解題表”，其中的第一步是弄清問題，即理解題意.教師在解題教學中，可以引導學生通過如下問題來達到理解題意的目的.例如，目標是什么？該問題需要求解（求證）什么？已知條件是什么？隱含條件是什么？條件與結論（目標）之間有什么直接或間接的聯系？根據已知條件，能直接求解嗎？有幾種方法可以求解該問題？這一連串的問題，就是在引導學生思考問題的條件和結論.學生通過對這些問題的回答，往往能理解問題的條件、結論，并順利地找到條件和結論之間的關系，從而實現對題意的理解.

下面以2023年高考理科數學甲卷第16題為例，來具體談一談如何通過“教思考”引導學生明晰問題的條件、結論以及之間的關系.

在△ABC中，AB=2，∠BAC=60°，BC=6，D為BC上一點，AD為∠BAC的平分線，則AD="""".

2.1.1"通過“教思考”助力學生讀懂題干，理解題意

理解問題的設計意圖是引導學生深入思考的前提，同時也是正確解決問題的關鍵.教師可以遵循高中生解決數學問題的思維習慣，設計以下問題（見表1），讓學生在思考中理解題意，從而找到解決問題的方法.

2.1.2"通過“教思考”探討問題解決的多樣化路徑

在理解題意的基礎上，下一步就是探尋問題解決的辦法.靈活運用分析法，有助于幫助學生厘清已知和未知之間的邏輯關系，教師可以啟發學生執果索因，從問題入手，以目標為抓手，通過逆向分析，逐漸將問題化繁為簡、化難為易（見表2）.同時，鼓勵學生表述已知與未知之間所有可能存在的關系.

2.2"通過“教體驗”引導學生厘清問題思路、積累解題經驗

“教體驗”旨在讓學生動手“做數學”，在“做數學”中學數學，在解題中學解題.波利亞“怎樣解題表”的第二步就是擬定計劃，即在理解題意后，尋找解題的線索，確定解題的方法，擬定解題的計劃.基于上述對題干的分析，通過“教體驗”，引導學生厘清問題思路，啟發學生找到解題路徑，逐步積累解題經驗.

2.2.1"通過“教體驗”引導學生厘清問題思路

數學解題思路的形成，往往可以采用執果索因的分析思路，即按照求什么，已知什么，用什么數學方法和思想實現目標等步驟循序漸進地求解問題.根據“教體驗”的思想，教師要引導學生畫一畫、算一算、寫一寫、想一想、推一推，在體驗中尋找問題的求解辦法.例如，本題需要求線段AD的長，根據已知條件，只知道兩邊和一角，并且這兩條邊與線段AD沒有直接的聯系.于是只能在△ABD或△ACD中求AD的長，可以考慮先求出BD的長，為求BD線段長還需要知道其他的條件……這就是分析法的思路.需要注意的是，“教體驗”不是讓學生漫無目的地計算和推理，而是需要在教師的指導下，從目標出發，逆向挖掘目標成立的充分條件，一步一步地解決問題.

2.2.2"通過“教體驗”幫助學生尋找最優解法

學生有了初步的思維體驗，自然會聯想到解決問題的方法.由于學生之間思維能力和知識水平的差異，在實際求解時，不同學生的解法會有所不同.就本題而言，無論選用什么樣的方法，求出AC的長是關鍵步驟，思維能力強的學生可能會從三角形的形狀或等面積法進行思考，而思維能力一般的學生則可能會選擇常用的正弦定理與余弦定理.不同解法需要的求解條件不同，運用正弦定理求解，需知AC的長及DC的長，得出滿足條件的一元一次方程含根號，部分學生在進行分母有理化時往往容易出錯，得出錯誤答案；運用余弦定理求解，需知AC、BD或AC、DC的長，得到含AD邊的一元二次方程將是學生碰到的另一個難題，此方程的一次項系數和常數項含有根號，不易進行因式分解，學生只能運用配方法或公式法求解方程，接著還需要對根的存在性進行討論，過程復雜、計算量大；運用三角形等角對等邊的性質求解，需知AC的長、∠ADB的大小，對學生的思維能力有一定要求，學生不易想到；運用角平分線定理求解，需知AC的長，此方法借助線段比值相等求出BD，與利用正弦定理求BD相比，簡化了計算，但之后仍需用正弦定理或余弦定理求解；運用等面積法求解，只需知AC的長，找到△ABC的面積與△ABD面積、△ADC的面積之間的等量關系，即可求解，該方法有效避開了利用正弦定理或余弦定理求解帶來的不便，極大地簡化了計算.

對比上述五種不同的解題路徑（見表3），最佳的解法為“等面積法”，此方法計算簡便、邏輯清晰，關照了中等生和學困生的數學思維水平，有助于提高學生數學學習的興趣.

2.2.3"通過“教體驗”幫助學生積累解題經驗

解題經驗的積累往往離不開解題過程的體驗，通過“教體驗”，逐漸拉近問題與已知條件的距離.在體驗過程中不斷猜想、嘗試和論證，培養學生獨立發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力.數學推理通常既有形的屬性，又有數的表征，就本題而言，數形結合思想的滲透尤為重要.五種不同的解法并非平行關系，雖然第一步都要求出AC的長，但隨后會因公式、定理的不同導致解題方法各有不同.就解題教學而言，教師可從三個方面幫助學生積累解題經驗.首先，定位題型，在過程體驗中，引導學生總結該問題的類型，回答這是一個什么樣的問題.其次，提取相關的數學公式和定理，在過程體驗中，引導學生羅列出該題型涉及的公式和定理，鼓勵學生在草稿紙上動手寫一寫.例如，解三角形可能用到的正弦定理、余弦定理、誘導公式、三角形面積公式等，在過程體驗中，鼓勵學生使用不同的方法進行嘗試，篩選出能應用到本題的公式、定理.最后，對比解法差異，提煉最優解法，教師要在過程體驗中，不斷引導學生進行總結，找到適合自己的解題方法.

在解題教學中“教體驗”，是為了讓學生真正明白解題不僅僅是為得到這道題的答案而解，而是要讓學生經歷不同解法的思維碰撞.在對比解法差異過程中找到最優的求解思路，簡化運算，從而積累解決問題的經驗，實現人人都能夠“做”有所思、“解”有所獲.讓學生在體驗中思考，在思考中發展，在思考與體驗中提高數學解題能力.

該問題的五種解答方法如下，首先求出AC.

在△ABC中，AB=2，∠BAC=60°，BC=6.

由余弦定理知，cos60°=AB2+AC2-BC22×AB×AC=22+AC2-（6）22×2×AC.

由AC＞0可知，AC=1+3.

方法1：運用正弦定理求解.

設BD長為x，在△ABD和△ADC中，由正弦定理可知，

xsin30°=ABsin∠BDA，即sin∠BDA=ABsin30°x.①

6-xsin30°=ACsin∠CDA，即sin∠CDA=ACsin30°6-x.②

聯立①和②，得

ABsin30°x=ACsin30°6-x.

即2（6-x）=（1+3）x，解得x=6-2，故BD=6-2，DC=2.

由正弦定理，得6sin60°=1+3sinB=2sinC.

解得sinB=6+24，sinC=22.

∵1+3gt;6gt;2.

∴∠C=45°，在△ADC中，∠DAC=30°，DC=2，∠C=45°.

∴DCsin30°=ADsin45°.

∴AD=DC×sin45°sin30°=2×2212=2.

方法2：運用余弦定理求解.

由方法1可知，BD=6-2.

由余弦定理，得cos∠BAD=AB2+AD2-BD22×AB×AD.

解得AD=2或AD=23-2.

當AD=23-2時，

cos∠BDA=BD2+AD2-AB22×BD×AD=2-64.

∵∠BDA∈0，π2，∴AD=23-2，不符題意，舍去.故AD=2.

方法3：借助三角形等角對等邊性質求解.

由方法1可知，∠C=45°，∴∠B=180°-60°-45°=75°.

∵∠BAD=30°，∴∠BDA=75°，即△ABD為等腰三角形.

從而AD=AB=2.

方法4：利用角平分線定理求解.

由角平分線性質定理ABAC=BDDC，設DC=x，則21+3=6-xx.

解得x=2.

在△ADC中，AD2+AC2-2×AD×AC×cos30°=DC2，

即AD2-（3+3）AD+2（1+3）=0.

解得AD=2或AD=1+3.

∵1+3gt;6，∴∠Bgt;60°，∠Clt;60°.

若AD=1+3，則∠ADB=∠C與三角形外角和定理矛盾，舍去.

故AD=2.

方法5：利用等面積法求解.

∵AB=2，AC=3+1，∠BAD=∠CAD=30°，

S△ABC=S△ABD+S△ADC.

∴12×AB×AC×sin60°=12×AB×AD×sin30°+12×AD×AC×sin30°.

∴12×2×（3+1）×32=12×2×AD×12+12×AD×（3+1）×12.

解得AD=2.

2.3"通過“教表達”提升學生規范作答的能力

表達是思考和體驗的結果，沒有思考和體驗，就沒有準確的表達，“教表達”旨在鼓勵學生“說數學”和“寫數學”，動態地展示數學學習過程的互動性.自然語言、符號語言和圖形語言是數學表達的三大法寶，就本題而言，借助自然語言的提示和圖形語言的輔助，學生先從自然語言的角度，梳理解題思路，最后將自然語言轉述為文字語言、符號語言，使解題過程規范化.

2.3.1"通過“教表達”鼓勵學生“說數學”，提高口頭表達能力

學生之所以找不到正確的解題思路，往往是對條件理解不夠透徹，不能夠用自己的語言表述問題.在“教思考”“教體驗”的同時，教師還應注意引導學生對問題進行復述（重新表述），鼓勵學生大膽地說出題目的已知量、未知量、可能的解題方法，引導學生試著畫出問題的圖形.引導學生用自己的話對問題進行重新表述，是一種“說數學”的過程.通過“說數學”的過程，可以幫助學生加深對問題的理解，提高學生的口頭表達能力.

2.3.2"通過“教表達”指導學生“寫數學”，提高書面表達能力

數學解題是一個反復思考、逐步體驗、規范表達的閉環回路.沒有思考就沒有體驗，沒有體驗就難以表達.所謂教表達，在本題的教學過程中，“教表達”的重要方面是指導學生“寫數學”，即書面表達解題過程，就是要讓學生通過思考尋找到解決問題的邏輯鏈條，并通過表達清晰地書寫出這一鏈條.

通過“教表達”，要求學生做到書寫整潔、規范表述、推理有據.在這個過程中，可以提高學生表述解題過程的規范性，在解題過程中做到計算準確、表達清晰，做到每一步有理可依、有據可循.例如，上述方法5中，學生在利用等面積法求解問題時，首先需要明白的是哪幾個三角形面積之間的關系，其次要求三角形面積，求面積有諸多公式，知道為何要選用兩邊及夾角正弦乘積的一半這個公式.

3"結束語

數學解題教學的目的在于，通過對實際問題的分析、解答，理解問題背后蘊含的數學知識，領悟解題過程中用到的數學思想和方法，從而積累解決問題的數學活動經驗.從解題能力提高的角度看，數學解題教學的更深一層意義在于，引導學生在解題中深入思考、深刻體驗、清晰表達，最終達到“在解題中學解題”“通過學解一道題學會解一類題”的目的，這正是“三教”理念對數學解題教學的指導意義所在.

參考文獻

［1］唐海軍，呂傳漢.數學教學為什么需要“教思考、教體驗、教表達”——“三教”教學理念與實踐的再探析［J］.中小學教師培訓，2019（10）：51-55.

［2］劉遠桃，唐明坤，陳明萬.“三教”理念下數學解題教學的探析［J］.中小學數學（高中版），2022（11）：56-60.

［3］耿世蘭，李金嫻，楊孝斌.“三教”理念下圓錐曲線問題的解題教學研究［J］.遼寧師專學報（自然科學版），2023，25（1）：40-44+57.