含參不等式恒成立，巧思維妙技巧應用

摘"要：含參不等式恒成立的綜合問題，是新高考數學試卷中一個考查數學“四基”與“四能”的重要應用場景，內涵豐富，知識交匯，解法靈活.結合一道高考模擬題，就含參不等式恒成立問題中參數取值范圍的求解及其應用的問題，總結解題技巧，歸納方法策略，并指導師生的數學教學與學習以及解題研究.

關鍵詞：函數；不等式；恒成立；取值范圍；導數

含參不等式恒成立問題，包含含參場景下的函數、方程或不等式等的綜合應用，一直是高考命題中的重點與熱點.此類問題形式多樣，變化多端，可以以小題（選擇題或填空題）形式出現，也可以以解答題形式出現，內涵豐富多彩，知識綜合性強.同時，此類問題的解題技巧與方法靈活多變，是全面考查考生“四基”與“四能”的一個很好的場景，具有較好的選拔性與區分度，備受各方關注.

1"問題呈現

（2024·東北三校一模）已知函數f（x）=e2x－e－2x－ax，若x≥0時，恒有f（x）≥0，則實數a的取值范圍是（""）.

A. （－∞，2］"""B. （－∞，4］

C. ［2，+∞）"""D. ［4，+∞）

此題以含參的指數函數與一次函數的線性關系來構建復合函數，借助自變量取值范圍限制下相應的不等式恒成立問題來設置場景，進而確定相應參數的取值范圍.

解決此類含參的函數、方程或不等式的綜合應用問題時，經常借助參數的全分離或半分離來切入，還可以通過端點處的取值情況利用端點效應法求解，也可以利用參數取值的分類討論法來解決，這些都是破解此類綜合應用問題時比較常見的思維方式，也是解決問題的基本切入點.

2"問題破解

方法1：分離參數法.

當x=0時，恒有f（x）≥0，即a∈R.

當xgt;0時，因為恒有f（x）=e2x－e－2x－ax≥0，分離參數，得a≤e2x-e-2xx.

令函數g（x）=e2x-e-2xx，xgt;0.

則g′（x）=e4x（2x-1）+2x+1x2e2x.

令函數h（x）=e4x（2x－1）+2x+1，h（0）=0，則h′（x）=2e4x（4x－1）+2，h′（0）=0，h″（x）=32xe4xgt;0，所以導函數h′（x）在（0，+∞）上單調遞增，則有h′（x）gt;h′（0）=0，所以函數h（x）在（0，+∞）上單調遞增，則有h（x）gt;h（0）=0，即g′（x）gt;0，

所以函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增.又當x→0+時，g（x）→2e2x+2e-2x1x=0=4，所以g（x）gt;4，即a≤4.

綜上，實數a的取值范圍是（－∞，4］.

點評：對于含參不等式的恒成立問題，分離參數是解決問題中比較常用的一種思維方式.而分離參數后，經常通過構建新函數，借助函數的求導、導函數的正負情況以及函數的單調性來確定對應函數的極值或最值，從而實現參數的最值（或取值范圍）的確定.在實際使用分離參數法解題時，往往離不開多次求導以及洛必達法則等的綜合應用.

方法2：分類討論法.

依題意，得函數f（x）=e2x－e－2x－ax，x≥0，有f（0）=0，

則f′（x）=2e2x+2e－2x－a，f′（0）=4－a.

（1）當a≤4時，f′（x）≥0，此時函數f（x）在［0，+∞）上單調遞增，所以f（x）≥f（0）=0恒成立，滿足題意.

（2）當agt;4時，f′（0）=4－alt;0，f″（x）=4e2x－4e－2x在［0，+∞）上單調遞增，f″（0）=0，所以導函數f′（x）在［0，+∞）上單調遞增.又x→+∞時，f′（x）→+∞，所以存在x0gt;0，使得f′（x0）=0，且當x∈（0，x0）時，f′（x）lt;0，所以此時函數f（x）單調遞減，所以f（x）lt;f（0）=0，不符合題意.

綜上，實數a的取值范圍是（－∞，4］.

點評：對于含參不等式的恒成立問題，利用函數求導或代數式的變形轉化，合理選取參數的值進行分類討論.分類討論法是解決含參的函數、方程或不等式等問題中最為常見的一種技巧方法，關鍵是選取合適的參數取值進行分析與討論.

方法3：端點效應法.

依題意，得函數f（x）=e2x－e－2x－ax，x≥0，則f′（x）=2e2x+2e－2x－a.

由于f（0）=0，則有f′（0）=4－a≥0，解得a≤4.由于導函數f′（x）在［0，+∞）上單調遞增，所以a≤4時顯然成立.

當agt;4時，存在x0gt;0，使得f′（x0）=0，且當x∈（0，x0）時，f′（x）lt;0，所以此時函數f（x）單調遞減，所以f（x）lt;f（0）=0，與題設矛盾.

綜上，實數a的取值范圍是（－∞，4］.

點評：對于含參不等式的恒成立問題，對于端點處的取值情況，借助端點效應法往往是解決此類問題的一種“巧技妙法”，可以優化解題過程，減少解題步驟，實現問題的最優處理.端點效應法的關鍵就是確定相應的端點值，并結合端點值的取值情況進行必要的邏輯推理與數學運算，以實現參數的最值（或取值范圍）的確定與應用等.

方法4：數形結合法.

依題意，恒有f（x）=e2x－e－2x－ax≥0，半分離參數，得e2x－e－2x≥ax.

令函數g（x）=e2x－e－2x，x≥0，則g′（x）=2e2x+2e－2xgt;0，所以函數g（x）在［0，+∞）上單調遞增.

又g″（x）=4e2x－4e－2x≥0，x≥0，則知函數g（x）為下凹函數，且函數g（x）在x=0處的切線斜率為4.數形結合可知，a≤4.

所以實數a的取值范圍是（－∞，4］.

點評：對于含參不等式的恒成立問題，半分離參數也是解決問題時的一種基本技巧方法.通過半分離參數，利用兩個函數圖象之間的位置關系，通過數形結合法來處理，解決問題更加直觀形象，處理起來有時更加簡捷.數形結合法離不開對應函數圖象的基本特征，如函數的凹凸性、單調性等.

3"教學啟示

3.1"總結方法，歸納策略

解決此類含參不等式恒成立問題，最為常見的技巧方法有以下幾種.

（1）函數思維視角.其基本技巧策略是恒等變形對應的不等式，分離參數并合理構建函數，借助函數的圖象與基本性質、函數與導數等的應用，結合函數的單調性與最值來巧妙轉化.

（2）不等式思維視角.其基本技巧策略是恒等變形對應的不等式，基于分離參數的基礎，借助不等式的基本性質或重要不等式（包括基本不等式、切線不等式等）的放縮，從不等式角度分析與應用.

（3）數形直觀思維.其基本技巧策略是通過代數式的結構特征與幾何意義等，構建與之相應的數學模型（函數、三角函數、直線斜率等），依托對應模型的圖象，數形結合地分析與轉化.

當然，解決此類含參不等式恒成立問題時，應因題而異，選取合適的思維角度切入，結合對應的知識加以綜合分析與巧妙解決.

3.2"交匯思想，提升能力

涉及含參不等式恒成立問題，可以很好地融合函數與方程、不等式、三角函數、函數與導數等相關的基礎知識，契合高考“在知識交匯點處命題”的指導精神，成為考查數學基礎知識、思想方法、基本能力等方面一個比較突出的知識點.

同時，在處理此類含參不等式恒成立問題時，可以巧妙滲透函數與方程、轉化與化歸、分類討論以及數形結合等基本數學思想方法，技巧方法多變，這需要我們在教學與學習過程中，不斷去分析、理解、領悟、體會與總結，并且對于鍛煉學生的綜合解題能力與邏輯推理能力，培養學生思維的靈活性、創造性等都有著非常獨特的作用.