立體幾何中的“動態問題”及應用

摘"要：立體幾何中的“動態問題”，是一類“運動”性的開放問題，一直是高考數學試卷中的一個創新點與亮點.本文結合實例，就立體幾何中比較常見的幾種動態問題，探求解題的若干途徑，歸納總結技巧策略，增強創新意識與應用能力，引領并指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：立體幾何；動態問題；動點；最值；翻折

立體幾何中的“動態問題”，是借助空間圖形中某些點、線（直線）、面（平面）位置關系的“動態”變化而構成的一類不確定的、可變的開放問題.因其點、線、面位置的不確定性，往往成為學生進行常規分析、問題思考、視角轉化時的障礙；但又因其是可變的、開放的、創新的，因而可以更加有助于學生空間想象能力及綜合思維能力等方面的培養.本文結合立體幾何中比較常見的幾種動態問題，利用運動、變化的觀點加以分析，探求解決此類“動態問題”的若干途徑及其應用.

1"“動態”中研究“特定靜態”：一題多考

例1"（多選題）如圖1所示，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，P，Q分別是線段B1D1，AC上的動點，則下列說法正確的有（""）.

A. 線段PQ長度的最小值為2

B. 滿足PQ=22的情況只有4種

C. 無論P，Q如何運動，直線PQ都不可能與BD1垂直

D. 三棱錐PABQ的體積大小只與點Q的位置有關，與點P的位置無關

分析：根據題設條件以及選項中的信息，分別通過異面直線的公垂線、線段長度的不同情況、兩條直線垂直的判定定理以及三棱錐體積的變化情況等加以分析，以“動態”形式來進行一題多考.

解析：對于A，當P，Q分別為線段B1D1，AC的中點時，PQ是異面直線B1D1，AC的公垂線，此時線段PQ長度最小，為2，故A正確.

對于B，PQ=22，只能是面對角線，此時PQ可以是AD1，CD1，AB1，CB1四種，故B正確.

對于C，當P與B1重合，Q與C重合時，此時直線PQ（即B1C）與平面BC1D1垂直，故PQ⊥BD1，故C錯誤.

對于D，由于點P到平面ABQ的距離是2，底面△QBA的面積隨著點Q的移動而變化，三棱錐PABQ的體積只與點Q的位置有關，與點P的位置無關，故D正確.

綜上分析，故選ABD.

點評：解決此類“動態問題”的關鍵是掌握幾何體的結構特征和垂直的判定定理及性質定理，需具備較強的直觀想象能力與邏輯推理能力.

2"“動態”中研究“以靜制動”：最值問題

例2"（2023年湖北省鄂東南三校聯考高三（上）段考數學試卷）已知在如圖2所示的正三棱錐PABC中，側棱PA，PB，PC的長為2，底面△ABC的邊長為2，D為AC的中點，E為AB的中點，M是PD上的動點，N是平面PCE上的動點，則AM+MN的最小值為（""）.

A. 6+24

B. 3+12""

C. 64

D. 32

分析：根據題設條件，由于問題涉及雙動點問題，可以先固定點M，再考慮點N的變化，要求AM+MN的最小值，可將立體幾何問題通過展開某幾個平面轉化為平面幾何問題來處理.

解析：將正三棱錐PABC放入棱長為2的正方體AGIJPCHB中，如圖3所示，先固定點M，那么MN的最小值即點M到平面PCE的距離.

連接GH，設GH的中點為F，連接PF，DG.

由題意，得平面PGF⊥平面PCE，且交線為PF，故MN⊥PF，所以M在PD上運動時，N在PF上運動.

把平面AGP和平面PGF沿PG展開，示意圖如圖4所示，作AN′⊥PF交PG于點M′，則AN′即所求，（AM+MN）min=AN′=APsin75°=3+12，故選B.

點評：對于此類立體幾何中的“雙動點”問題，經常可以采用先固定一個動點，“以靜制動”，進而來研究另一個動點.如本題先固定點M，那么MN的最小值就是點M到平面PCE的距離，進而求得AM＋MN的最小值.這類題通常需要利用展開圖，數形結合，達到化動為靜，以靜制動的目的，從而求解.

3"“動態”中研究“變量”：翻折問題

例3"（多選題）如圖5，在四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=2，BD⊥CD.將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A′BCD（如圖6），使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結論正確的是（""）

A. A′C⊥BD

B. ∠BA′C=90°

C. CA′與平面A′BD所成的角為30°

D. 四面體A′BCD的體積為16

分析：根據題設條件，由平面圖形翻折成空間幾何體的動態過程，綜合空間中線面的位置關系的判定與性質、空間角的求解以及空間幾何體的體積的求解等加以綜合邏輯推理與數學運算，進而得到正確判定.

解析：由A′B=A′D=1，BD=2，得BA′⊥DA′.

因為平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD=BD，CD⊥BD，所以CD⊥平面A′BD，所以CD⊥BA′.由DA′∩CD=D，DA′，CD平面A′CD，得BA′⊥平面A′CD，所以BA′⊥A′C，即∠BA′C=90°，故B正確.

若A′C⊥BD，又CD⊥BD，易證得BD⊥平面A′CD，與BA′⊥平面A′CD矛盾，故A錯誤.

由CD⊥平面A′BD，得∠CA′D為CA′與平面A′BD所成的角.由CD=A′D=1，得∠CA′D=45°，故C錯誤.

由題意知，A′B=A′D=CD=1，VA′BCD=VCA′BD=13×1×12×1×1=16，故D正確.

綜上分析，故選BD.

點評：解決翻折問題，要分析翻折前后的“變量”與“不變量”，在翻折前要標注重要的點或量，分析其在翻折后的變化情況.具體到本例，應重視垂直關系“BA′⊥DA′，CD⊥BD”，才能順利地由平面A′BD⊥平面BCD得出CD⊥平面A′BD，CD⊥BA′，再得到BA′⊥平面A′CD，從而解決問題.

在實際解決立體幾何中的“動態問題”時，要基于空間幾何體的結構特征，綜合空間想象能力與直觀想象思維，合理通過邏輯推理進行推理論證，借助數學運算進行定量計算，從不同思維視角切入，將“動態問題”加以合理轉化，或運用代數思維“靜態”處理，或運用邏輯推理轉化應用等.