記錄數數過程與結果 形成數學知識與經驗

編者按：

《義務教育數學課程標準（2022年版）》強調數與運算的結構化與一致性。踐行數的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識，需要從學生知識學習的源頭開啟研究。以下一組文章以小學生認識數的起始單元為例，基于數數過程與結果，讓學生逐步形成數學知識與經驗，以整體設計視角探索學生從“自然數”的數量累計到數碼直接記數，再到十進位制記數等過程，并在“分與合”的實踐中使學生形成數的認識與加、減法的有機聯系，以期為大家提供一種借鑒。

摘要：以人教版教材“5以內數的認識和加減法”為研究對象，通過梳理和理解教材的編排特征，基于數的起始認識，立足“計數單位”大概念理解，反思和重構單元學習的路徑設計，進行實踐同時檢驗新學習路徑的可行性，從而更好地踐行數與運算的結構化與一致性。

關鍵詞：小學數學；數學運算；5以內數的認識和加減法

“5以內數的認識和加減法”是人教版教材一年級學生第一次系統地認識數與加減法運算。我們通過對教材編排內容梳理，讓學生認識5以內數與相應的加減法；再結合課程標準中關于“數與運算”一致性的要求，對教材中現有的教材編排進行反思；最后結合反思對本單元的學習路徑進行重構并進行相應的教學實踐。

一、梳理———理解教材的編排特征

把數的認識與加減運算編排在同一個單元中，有利于體現“數與運算”的一致性。但在教材編排中，是否真正體現了一致性？筆者進行了如下梳理：

（一）先認數后運算分層學習

通過整體梳理發現，人教版教材把數的認識與加減法分作兩個獨立部分進行教學（見表1）。

從上表發現，把“5以內數的認識”分成“1-5數的認識”與“0的認識”兩個部分。“2-5”加法和減法的運算則在這兩次“數的認識”的中間，“0的認識與加減法運算”安排在同一個課時中作為本單元的最后一課時。

（二）分步學習數的認識

進一步梳理，我們發現“數的認識”的編排特色是“分步學習”，包含數的讀寫、基數的含義、序數的含義、數的大小比較和數的組成五個學習內容[1]。除第五課時外，每一個課時都是圍繞“數的認識”的一個或兩個學習內容展開的。

第一課時主要學習“基數的含義”與“數的寫法”。基數的含義是通過“數數”發現各種“農家小院”中的狗、鵝、燕子等事物在數量上的特征，分別用對應數量的小棒和數碼進行表示，并在“日”字格中學習1-5數的寫法（見圖1）。小棒表示相應的數量時，3、4、5分別用搭成的三角形、四邊形與五邊形表示。教學時，我們把它們用表示“2”的方式，從左往右擺放并先讓學生用小棒表示數量，再用數碼表示。

第二課時學習數的大小比較。教材創設猴子吃水果的情境，通過猴子數量分別與桃子、香蕉和梨的數量的比較中，分別概括出“相等”“小于”和“大于”這三種大小比較的情況，并學習分別用“=”“<”和“>”表示。這里要特別注意，沒有直接用不同的水果比較大小，而是依據“小猴吃水果”的故事情境，用小猴的數量與3種水果的數量分別比較大小，這也是本單元比較數的大小創設異質事物情境的特點。

第三課時學習“第幾”，即學習序數的含義。教材創設“小明排隊”的情境。其中有個“小明排在第幾個”的問題，與其他的3個問題比較，它表示的是一個順序，而其他的3個問題表示的是總和。這樣的編排顯然是考慮學生在比較的過程中認識到“幾”和“第幾”含義的差異。同時，在這樣的表達過程中，也復習與應用了第2單元中“位置”的學習知識。

第四課時與第五課時學習2-5數的分與合，分成2-4數的分與合、5的分與合。教材回歸“農家小院”的具體信息，提出“分一分”的問題，在具體的操作活動中學習2-5數的分與合。顯然，數的分與合，與后續學習的加法與減法有著十分重要的聯系，是加法與減法含義的原型，更是加法與減法運算的算理與算法。

（三）加法與減法依次學習

加法與減法是四則運算最基本的兩種運算。在數數的過程中，如果我們分組數數，再把兩組數的結果合并起來，就是加法。如果從數的總和中去掉一部分，即往回數數，求剩下部分的數，就是減法。

人教版教材創設“合并”與“去掉”的情境，分別學習用加法與減法表示，從而學習加法與減法的含義，接著再用數數與數的組成兩種方法學習加法與減法的運算。具體教學時，把加法與減法分成兩個課時教學，第一課時學習加法的含義與運算，第二課時學習減法的含義與運算。

在加法的含義學習中，教材創設兩只手里面的氣球合并到一起的主題圖，認識加法中“合并”的含義，并用圖示對比讓學生體會加法左邊是3和1的合并，右邊的4表示把兩個數合并后得到的數。同時，在加法運算的學習中創設兩只松鼠跳躍到另一棵樹（原有3只松鼠）上，理解“5”是由兩個加數運算得到的，分別用數數與數的組合得到結果。與加法的含義和運算的兩個情境圖相對應，教材創設含義正好相反的情境圖，用“放飛”氣球表示減法的含義，用“跳走”表示減法的運算。

（四）整體學習0的認識和加減法

“0”與數“1-5”相比，既具有相同的特征，又具有其獨有的特點。從基數的視角，0表示沒有，從序數的視角，0表示起點。進行大小比較，0比1還要小，從加減法運算的視角，與其他數進行加減運算，也有一些特殊的規律。因此，本課教學設計利用原有的“數的認識”與“加減法運算”的活動經驗，創設具體情境，讓學生自主歸納出0的特征與加減法運算規律。

教材分別創設“小猴吃桃”和“尺子上的刻度”兩個情境，讓學生在與已經學習的1-5數的相應特征的比較中，認識到當猴子把2個桃子全部吃完時，盤子里沒有桃子了，就用“0”表示，形象地認識到0表示“沒有”。“尺子上的刻度”從左往右觀察上面的數，分別是0、1、2、3、4、5，直觀地認識到0表示“起點”。借用尺子刻度認識0表示序數的含義，有其獨特的意義。因為與后面的1、2、3、4、5相比，它在這里的含義相對單一，后面的1、2、3、4、5，不僅表示序數的含義，還包含著基數的含義。如“1”還表示從0開始的長度是1段，依次類推，“2”表示從0開始的長度是2段……

0的加減法運算包括加減運算中出現0和結果等于0兩種情況，依據這樣的思路，有0的加減法運算可以有如下的幾種情況：（1）a+0=a，（2）0+a=a，（3）a-0=a，（4）a-a=0。其中第1、2題可以合并成一類：一個數加0等于原數。減法中的有兩類，分別是：一個數減去0等于原數；兩個相同的數相減等于0。教材編排的例題與后面的“想一想”，正好對應上述三類有0的加減法運算。

二、反思———指出可以改進之處

小學數學整體構建教學是基于數學知識的內在系統關聯和學生的已有認知基礎[2]。通過梳理，我們從適度整合、體現一致的要求，提出可以改進的地方。

（一）基于數數可適度整合數的認識

本單元數的認識分成兩個階段，一是1-5數的認識，基本采用“一課一得”的形式編排；二是0的認識，編排在本單元的最后。把0編排在1-5數的認識之后教學，凸顯了0的獨特性，但在認識1-5數時卻變得不全面。因此，可以把0的認識與1-5數的認識整合到一起，使得對基數、序數與大小比較的學習更加完整。

數的大小與序數整合到一個課時中，讓學生從基數的大小比較與從大小排列的順序進行比較，體會到幾與第幾之間的差異。由于學生已經對5以內數有了一定認知基礎，教學中更加側重基數含義與5以內數的全面性認知，具體將0-5數的認識新授課整合成兩課時（見表2）。

這樣的整合，不是簡單地把幾個課時的內容進行疊加，而是為了更好地體現知識之間的內在聯系。

（二）數的組成和加法意義實現同構

在整體設計時，我們嘗試把數的組成作為加法含義的基礎，即加法的表達形式就是數的分與合的表達形式。基于此，在學習2-4數的分與合之后，教師選擇其中的一個數的分與合的表達形式，書寫出加法的兩種表達形式，讓學生尋找兩者的聯系，從而認識到加法的表達形式就是數的“合”關聯的表達形式。

在學生已經會用連線的方法表示4的分與合，教師一邊讀“4可以分成3和1”，一邊板書：4=3+1，然后讓學生說一說這個式子與連線圖的異同。接著讓學生用讀加法算式的方法讀一讀，并說明“加號”及它的含義。同樣的方法認識“3+1=4”。最后比較兩個算式的相同點與不同點，并說明加法一般用右邊的形式（3+1=4）表示，側重讓學生感知“加法表示合并”，是對數的“合”關聯的數學表達（見圖2）。

（三）加減運算形成共同思維方式

減法是加法的逆運算。同樣的一個情境，加法與減法的含義正好相反。如“3+1”中的“+”表示“合并”，而“4-1”中的“-”表示“飛走”。基于這樣的思考，在學習減法時，這樣的應用自然就成為了“5的認識與減法”這一課時的學習思路。

具體地，先出示情境圖（見圖3），請學生用連線圖與加法表示出過程與結果。接著，再出示如圖4的情境圖，請學生結合圖示說一說與圖3中的圖有什么不同？依據學生的回答，先用連線圖表示出含義，接著出示減法算式，請學生對照連線圖，說明減法算式中每一個數與符號的含義。通過不斷地情境變式，豐富例子，完善5的分與合，并結合圖示進一步學習有關0的加減法。

這樣，把數的組成與加減法進行有機整合，把加法作為數的組成的表示形式之一，把減法作為加法的逆運算，并且也納入數的組成之中。形成兩個課時的教學內容（見表3）。

三、實踐———體現數與加減的融合

通過反思，重構本單元的新知學習序列，為具體實踐提供了很好的學習路徑。那么，在具體實踐中又需要注意哪些要點呢？

（一）經歷數數認識5以內的基數

5以內數的認識中也包括0的認識。先結合數數、分類與小棒表征等策略感知1-5數的含義，再通過課件演示、示范與練習學習1-5數的書寫，接著再動態演示遞減數數得到0，認識到0表示沒有，并學習它的書寫方法。

1.多元表征認識1-5數的基數含義

出示圖1的“農家小院”情境圖，請學生說一說圖中有什么。學生說出名稱，教師圈出相應的內容后，教師追問：數一數它們各有多少。根據學生數數，教師分別用板貼展示（見圖5）。這里特別注意玉米圖，用串作計量單位，表示1串玉米，是把幾樣東西看成一個整體，依據這樣的思路，再讓學生舉例子，哪一些地方還用到這樣的“1”。學生指出“1個組”“1個班”“1個學校”都是“1”。

接著，教師請學生找出數量相等的事物。依據學生的回答，整理得到數量相等的分類并追問：如果用小棒表示，分別需要幾根，如果用小圓片呢？依據學生的回答，選擇其中的一個圖說一說這里的小棒或圓片分別表示什么，還可以表示什么。在回答問題的過程中讓學生認識到小棒與圓片比具體的圖示更加抽象。

2.演示與模仿學習1-5的寫法

教師出示1-5的數字卡片，請學生放入相應的位置。接著再出示日字格的板貼，教師提問：這些數字分別像什么？是怎樣寫的呢？依據學生的回答，教師課件依次演示書寫的過程，然后再請學生模仿寫一寫，最后教師示范書寫。寫完一個數字后，教師選擇學生的典型例子評一評。1-5數字的書寫，學生已經有了一定的基礎。因此，本節課的要求是在日字格中能夠規范地書寫。

3.利用遞減變化認識基數0

利用1-5書寫的經驗，教師出示圖6，請學生數一數、寫一寫，再說一說有什么發現。完成后，請學生校對評析。學生發現數量越來越少了，最后一個盤子里沒有桃子了，就用“0”表示。請學生示范寫法，教師進行適當點評與糾正。

（二）在比較大小后排序的過程中學習序數

把一些數從小到大或從大到小排列，再說出它們的順序，序數就自然而然地出來了。

1.用一一對應的方法認識數的大小

再次出示“農家小院”的情境圖，引導學生觀察鵝、小雞與小狗分別吃兩個盒里面的食料，它們的只數分別與盒子數有怎樣的關系？利用一一對應的關系，發現分別是“相等”“大于”“小于”，再分別用形象的“=”“>”“<”表示對應的兩個數量之間的關系（見圖7）。

2.從多到少的排序認識序數的含義

利用數的大小比較的經驗，教師出示小動物套圈的情境，請學生數出它們各套了多少個后按套中的多少排一排順序，并請學生說出它們的名次，從而得到表示序數的第1至第5名。在此基礎上，選擇其中的3個和第3名請學生解釋，這兩個“3”有什么不同的地方，從而認識到“幾”和“第幾”的區別。

3.用尺子上的刻度再認0的含義

出示刻度有0-5的尺子，請學生說一說尺子上這些數各有什么含義。首先認識到“0”表示起點，之后的1、2、3、4、5分別表示第1段、第2段……同時也分別表示一段的長度，兩段的長度……也就是說尺子的刻度既可以解釋成序數的含義，更可以解釋成基數的含義。至此，0有了兩種含義，一種是表示“沒有”，是基數的含義，一種是起點，是序數的含義。

（三）把數的組成納入加減法的結構

把數的組成納入到加減法的結構，使得加減法成為數的組成的表達形式之一，可以更好地溝通與理解數的組成與加減法的意義與運算之間的內在聯系[3]。重構后的教學分成兩個課時：第一課時在學習2-4數的組成的基礎上，學習用加法的形式表示數的分與合；第二課時則是利用數的分與合的學習經驗，結合現實情境的變化，學習減法表示數的分與合。

1.創設分物情境學習數的分與合

再次依據“農家小院”中的情境，選擇其中的2個籮筐和4朵向日葵這兩個信息，創設問題情境：向日葵成熟了，張奶奶把它們裝在2個籮筐里，可以怎樣裝，有哪些不同的裝法？教師示范其中的一種情況以及記錄方式后，請學生畫圖，并用連線圖的方式記錄分的過程。完成后交流反饋，形成表達形式（見圖8）。

教學中，學生發現第1種分法與第3種分法是左右兩個數交換了位置，第2種分法左右兩個數相同，依據學生的回答，教師板書同樣多。再引導學生整體觀察三個連線圖的變化規律，學生發現左邊的數每次少1，右邊的數每次多1。依據上述經驗，教師進一步創設情境，讓學生經歷3與2的分與合。

2.再讀連線圖勾連與加法的聯系

教師一邊讀圖8的分與合，先讀分的過程，寫出加法算式：4=1+3，請學生說一說與連線圖有什么聯系。學生可以發現，都出現了4、1、3這幾個數，“=”相當于連線圖中的兩條線，“+”相當于說話中的“和”字，也有學生表示就是“合并”起來的“合”。

根據學生理解，從下往上讀出，并寫成1+3=4。說一說與前面的式子有什么相同的地方與不同的地方。依據學生的回答，教師進一步說明“+”叫做“加號”，表示“合并”，“4”表示1和3合并的結果，并指出這就是加法算式，并且一般寫成第二種形式，讀作“一加三等于四”。完成這一系列學習之后，教師請學生依據這樣的思路，用第二種形式把余下的幾個連線圖轉化成加法算式。

3.結合情境變式學習減法

加法的基本含義是“合并”，減法則是“去掉”，兩者意義相反，又互相聯系。因此，在具體教學中我們通過情境變式引出減法。

如圖9，學生指出：樹枝上有3只松鼠，又跳上來了2只，一共有5只。教師依據學生的回答，寫出3個信息，并請學生分別用連線圖與加法算式表示出來。學生獨立完成后交流，形成相應的表達形式。

接著，教師出示如圖10的（跑走的改為1只）松鼠圖，請學生說出信息并與上題比較有什么區別怎樣表示出這3個信息之間的關系呢？學生先嘗試，然后反饋評析，形成不同的表達形式，并重點解釋“5-1=4”中各部分的含義，特別指出“-”表示去掉，“4”表示去掉后的結果。接著，教師把算式改為“5-4=1”，讓學生說一說又是什么意思，“5-2=3”“5-3=2”又是什么意思？在回答的過程中，教師出示相應的圖示，并用連線圖表示，完善了“5的組成”的4種情況。

通過整體設計與實踐給我們以啟示：《義務教育數學課程標準（2022年版）》把原來的“數的認識”和“數的運算”兩個板塊合并成一個板塊，就是要體現兩者的內在聯系，在分析教材現有編排特點的基礎上，進行適度重構，更好地體現“數的四則運算”的意義是用運算的形式記錄兩個數量之間的關系，而運算的過程就是對已知信息進行合情推理，獲得新的信息的過程。

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022：18-20.

[2] 許衛兵.小學數學整體建構教學的意義及評價簡析[J]. 江蘇教育，2021（43）.

[3] 邵漢民，錢亞芳，陳芳.小學數學整體設計的思與行：小學乘法教學[M].上海：上海教育出版社，2022：262-263.

編輯/趙卓然