基于復雜網絡理論的地鐵網絡魯棒性研究

摘 要：地鐵網絡作為現代城市交通的重要組成部分，其運行的可靠性和穩定性對于城市的正常運轉至關重要。然而，地鐵網絡可能面臨各種干擾和故障，如設備故障、自然災害、人為破壞等，可能導致線路中斷、列車延誤和乘客服務中斷。因此，研究地鐵網絡的魯棒性，即系統在面對這些干擾時的恢復能力，對于提高地鐵網絡的可靠性和抗干擾性具有重要意義。文章基于復雜網絡理論，綜合考慮地鐵網絡的拓撲結構、節點重要性和客流分布等因素，對地鐵網絡的魯棒性進行定量分析。研究采用Space-L方法對杭州市地鐵網絡拓撲結構特性進行分析，并分析了網絡的度、介數、聚類系數和最短路徑長度等網絡特性指標。針對魯棒性分析，文章采用了隨機攻擊和蓄意攻擊的9種不同攻擊策略，并對杭州市地鐵網絡進行實例分析。研究結果表明，關鍵指標的變化對地鐵網絡的魯棒性產生顯著影響。通過分析不同攻擊策略下的網絡性能指標，可以揭示系統中的脆弱節點和脆弱路徑。這些分析結果對于提高杭州市地鐵網絡的魯棒性，增強其對干擾和攻擊的抵抗能力具有重要意義。

關鍵詞：Space-L方法；復雜網絡；魯棒性；聚類系數；介數

中圖分類號：F532；U231 文獻標志碼：A DOI：10.13714/j.cnki.1002-3100.2024.14.012

文章編號：1002-3100（2024）14-0059-05

Robustness Analysis of Subway Network Based on Complex Network Theory

SHI Baiying，CHENG Yuan，DING Dongyue，YANG Yulei，CUI Bowei

（Department of Transportation Engineering， Shandong Jianzhu University， Jinan 250101， China）

Abstract： As an important part of modern urban transportation， the reliability and stability of the metro network is crucial for the normal functioning of the city. However， metro networks may face a variety of disturbances and failures， such as equipment failures， natural disasters， and human damages， which may lead to line interruptions， train delays， and disruptions in passenger services. Therefore， it is important to study the robustness of metro networks， i.e. the ability of the system to recover in the face of these disturbances， to improve the reliability and anti-interference of metro networks. The paper quantitatively analyzes the robustness of the subway network based on complex network theory， taking into account the topology of the subway network， the importance of the nodes， and the distribution of passenger flow. This study uses the Space-L method to construct a passenger flow-weighted North Hangzhou metro network model， and analyzes the network characteristic indexes such as the degree， median， clustering coefficient， and shortest path length of the network. For robustness analysis， the article adopts nine different attack strategies of random attack and deliberate attack， and takes a case study of Hangzhou metro network . The results of the study show that the changes of the key indicators have a significant impact on the robustness of the subway network. By analyzing the network performance metrics under different attack strategies， vulnerable nodes and vulnerable paths in the system can be revealed. These analysis results are important for improving the robustness of Hangzhou metro network and enhancing its resistance to interference and attacks.

Key words： Space-L method; complex networks; robustness; clustering coefficient; median

0 引 言

地鐵網絡作為城市交通系統的核心組成部分，其可靠性和穩定性對于城市居民的出行和城市的正常運轉至關重要。然而，地鐵網絡面臨著各種干擾和故障的挑戰，如設備故障、自然災害、人為破壞等，這些干擾可能導致線路中斷、列車延誤和乘客服務中斷。因此，研究地鐵網絡的魯棒性，即其在面對這些干擾時的恢復能力，具有重要意義。

近年來，越來越多的研究關注地鐵網絡的魯棒性分析，并將客流加權作為重要考慮因素。加權客流考慮了不同站點和線路的乘客流量和乘客需求差異，更準確地反映了地鐵網絡的實際運行情況。基于加權客流地鐵網絡的魯棒性分析旨在評估地鐵網絡在面對節點故障、線路中斷或乘客需求突變等干擾時的表現，揭示系統中的脆弱性。在魯棒性分析中，研究者通常使用復雜網絡理論和網絡科學的方法，綜合考慮地鐵網絡的拓撲結構、節點重要性和客流分布等因素。網絡中斷實驗和脆弱性分析是常用的方法，用于評估地鐵網絡在不同干擾情景下的恢復時間、服務可用性和乘客滿意度等指標。通過定量分析，可以量化地鐵網絡的魯棒性水平，并識別系統中的脆弱節點和脆弱路徑。

目前，國內外已有很多學者將其應用于城市軌道交通系統中。對于地鐵系統的拓撲，曲迎春等[1]對城市軌道交通系統的脆弱性進行了研究；Deng等[2]對南京市城市軌道交通進行了實證研究，發現城市軌道交通系統存在著“小世界”與“無尺度”特征；高鵬等[3]利用權重法對城市軌道交通系統的健壯性進行了分析；Latora等[4]對波士頓地鐵系統的特點進行了研究；Sun等[5]將城市軌道交通系統作為一個整體來分析其脆弱性；Angeloudisa等[6]對城市軌道交通系統的抗毀性進行了研究。沈犁等[7]通過構建地鐵-公共交通復雜網絡的數學模型，研究復雜網絡的抗毀性，并對其級聯失效進行模擬。陳峰等[8]從無權限和授權權限兩個角度，對杭州市軌道交通路網中的復雜參數進行了研究，并對其在連續故障情況下的可靠性進行了研究。張鐵巖等[9]利用耦合鏡像柵格技術，對地鐵網絡中的失效進行了建模，并對其蔓延特性進行了研究。賴強等[10]建立了城市公共交通網絡拓撲模型，對該方法的穩健性進行了研究，并對其進行了優化；張振江等[11]對多種攻擊方式下鐵路快速運輸網絡相繼故障的穩健性問題展開了深入的研究。

研究結果表明，加權客流地鐵網絡的魯棒性受到節點重要性和客流分布的影響。關鍵節點的故障或重要線路的中斷可能對地鐵網絡的整體性能產生顯著影響。此外，客流分布的變化也可能引起運營效率下降和服務質量下降。

1 杭州市地鐵網絡的特征指標及復雜特性分析

1.1 網絡模型構建

構建地鐵網絡模型是研究地鐵網絡魯棒性的關鍵步驟。采用Space-L方法構建拓撲結構特（如圖1所示）。

杭州地鐵運營線路共12條，共設車站241座（換乘站不重復統計），換乘車站46座。本文中研究的杭州市地鐵網絡包括地鐵1至10、16、19號線，在這個模型中，有241個站點，可以構建一個241×241的鄰接矩陣。當兩個站點相鄰時，矩陣中對應的元素為1，反之為0。這種方法能夠更真實地反映乘客的出行路徑長度，從而更準確地描述地鐵網絡的拓撲結構。采用Space-L方法，我們可以得到一個具有復雜連接關系的杭州市地鐵網絡模型，如圖1所示。

模型構建說明如下。

a.每一個結點代表一個站點，一個邊代表一條路線。

b.考慮到換乘站與常規站的不同，將每個換乘站視為其自身線路上的車站，采用一個虛擬車站連接起來，換乘站的運行過程如圖2所示。

c.沒有考慮列車運行時間和車站間隔等影響。

d.以上、下段客流總和為邊權值，構造了一種基于無向權的無向賦權法。

在地鐵網絡客流分配中，乘客通常會選擇最佳路徑出行。在可供選擇的繞行路徑中，一般情況下成本會高于最短路徑成本。因此，在地鐵網絡客流分配中，全有全無分配方法具有一定的適用性。本文假設乘客都選擇最短路徑出行，并且采用廣義出行費用函數。通過改進的Dijkstra算法搜索各起點—終點（OD）之間的最短路徑集，將OD需求按照最短路徑集分配到地鐵網絡上，從而得到各斷面的客流量。廣義出行費用函數的具體形式可參見公式（1）。

（1）

其中：表示i與j之間的有效路徑為k條；表示所有乘客進站總時間；表示乘客候車時間，這個時間為線路發車頻率的一半；表示各個區間內的全部運行時間；取1.86，表示為換乘懲罰系數；表示乘客在車站換乘的全部步行時間；表示乘客總體候車時間，這個時間為線路發車頻率的一半。

1.2 復雜網絡特性指標

1.2.1 節點度ki

節點度（Node Degree）表示復雜網絡中某一節點與另一節點間的連通性。在一個無向網中，一個結點的個數等于和這個結點有直接連接的邊數。在有向網絡中，將結點的度劃分為內向度和出度度，其中，內向度是指到這個節點的邊數，而出度度是指從這個節點離開的邊數，度的計算公式如下。

（2）

其中：表示站點的度；若站點與站點連通，則=1，否則=0。

1.2.2 平均最短路徑長度

平均最短路徑長度（Average Shortest Path Length）是復雜網絡分析中的重要指標之一，用于描述網絡中節點對之間的平均最短路徑的長度。最短路徑指的是兩個節點之間連接最短的路徑，即通過最少的邊進行傳遞的路徑。通過計算網絡中所有節點對之間的最短路徑長度，并取其平均值，可以得到平均最短路徑長度，平均最短路徑長度的計算公式如下。

，其中：表示網絡的總站點數量。 （3）

1.2.3 聚類系數

聚類系數衡量的是一個節點的鄰居節點之間形成閉合三角形的概率。具體來說，對于一個節點，它的聚類系數可以通過計算其鄰居節點之間的連接來確定。如果一個節點的鄰居節點之間有很多連接，則說明它們更有可能形成閉合的三角形結構，其聚類系數就會較高。反之，如果一個節點的鄰居節點之間的連接較少，則說明它們很少形成閉合的三角形結構，其聚類系數就會較低，聚類系數的計算公式如下。

，其中：Ei表示邊數。 （4）

1.2.4 介數

介數通常使用介數中心性（Betweenness Centrality）來衡量節點或邊的介數大小。介數中心性可以通過計算節點或邊的介數與所有可能的節點對之間的最短路徑數之比來確定。介數中心性較高的節點或邊在網絡中被認為是具有重要的中介地位和影響力的，介數的計算公式如下。

（5）

其中：表示站點與站點之間的最短路徑數目；為在站點與站點的最短路徑中經過站點的路徑數目。

2 杭州地鐵的魯棒性仿真說明

2.1 魯棒性測量指標

2.1.1 連通度

連通度是指網絡中節點之間能夠通過路徑相互到達的程度。網絡的連通性越強，說明網絡中的節點更容易相互通信和交流。常用的連通性指標包括網絡的平均最短路徑長度和網絡的直徑。連通度的計算公式如下。

（6）

2.1.2 最大連通子圖相對大小

最大連通子圖的相對大小是其收到攻擊后最大連通子圖中的結點數目與開始時整個網絡結點數目的比值。最大連通子圖相對大小計算公式如下。

（7）

2.1.3 網絡效率

網絡效率是指網絡中節點之間信息傳遞的速度和效率。在一個高效的網絡中，節點之間能夠快速傳遞信息，而不會因為節點的故障或干擾而導致信息傳遞的延遲或中斷。網絡效率計算公式如下。

（8）

2.1.4 圈數率

圈數率（Cyclomatic Complexity）是一種用于衡量軟件程序復雜性的指標，用于評估程序中的決策路徑數量。圈數率的計算公式如下。

= （9）

2.2 攻擊策略

不同的攻擊策略會體現出網絡系統抗毀性的不同程度，為了更好地反映網絡的抗毀性，本文從隨機攻擊、蓄意攻擊以及是否需再計算網絡屬性等角度，將攻擊策略劃分為9類。

a. IWB攻擊策略：根據加強介數的高低對初始網絡中站點進行攻擊。

b. RD攻擊策略：每一次對網絡中具有最大度的站點進行攻擊。

c. RB攻擊策略：每一次對網絡中具有最大介數的站點進行攻擊。

d. RS攻擊策略：每一次對一個最密集的網站進行攻擊。

e. R攻擊策略：任意選擇攻擊站點。

f. ID攻擊策略：根據站點的重要性對初始的網絡進行攻擊。

g. IB攻擊策略：針對最初的網路，根據網站的介數大小來攻擊網站。

h. IS攻擊策略：對初始網絡按站點強度的大小攻擊站點。

i. RWB攻擊策略：每一次襲擊網路中具有最高權重的站點。

3 實例分析

杭州地鐵是以中國浙江省杭州市為中心的軌道交通體系，它的第一條杭州地鐵1號線在2012年11月24日正式運營，杭州也因此成為華東第四座和浙江省第一座開通地鐵的城市。截止到2023年2月，杭州軌道交通共有12條線，241個車站和46個轉乘站。該線路的總長度為516km。

3.1 網絡特性指標分析

利用MATLAB編程計算杭州市軌道交通網絡的網絡特性指標，匯總結果如表1所示。從表1中可以看出，杭州市地鐵一共有241個站點，270條邊，網絡中站點的平均度為2.241，表示網絡中每個站點平均與2.241個站點連接；平均最短路徑長度為13.972，表示起始站與目的站需要經過13.972個站點才能實現連通，生成一個與杭州市地鐵網絡規模相當的隨機網絡，并進行比較，可以發現杭州市地鐵網絡具有小世界網絡特性。與同規模的隨機網絡相比，杭州市地鐵網絡的平均最短路徑長度和平均聚類系數都較大，這意味著杭州市地鐵網絡中的站點之間具有相對較短的平均距離和較高的群聚性。

杭州地鐵網絡的度分布圖（圖3）顯示了站點之間的連接方式和重復率的特征。其中，約4.61%的站點是首末站，它們的度為1，表示它們與一個相鄰站點直接連接，較為獨特。約76.15%的站點的度為2，表示與兩個相鄰站點直接連接，這是網絡中最普遍的情況。換乘站點共有46個，占17.69%的比例，它們的度大于3，起到連接不同線路的重要作用。僅有0.72%的站點具有最大度值5，這些站點在網絡中扮演著樞紐角色。綜合而言，杭州地鐵網絡中的度分布特征揭示了站點連接方式的多樣性和重復率的降低。

如圖4所示，地鐵網絡站點的介數分布較為集中，大多數站點的介數值較小，表明站點的重要性相差不大。絕大多數站點的介數值分布在[0，0.1]之間，這表示大部分站點在網絡中的中介性較低，不扮演重要的中轉節點角色。只有少數站點的介數較大，可能是地鐵網絡中關鍵的中轉或連接站點。綜合而言，地鐵網絡中站點的介數分布特征表明了站點之間的連接方式和重復率降低，大部分站點在網絡中起到類似的作用，而只有少數站點具有更高的重要性。

如圖5所示，杭州市地鐵網絡的站點累計度分布服從冪律分布，擬合系數為R2=0.732 73，擬合度較好。擬合函數F（K）=1.086 78×k-1.071 3表明網絡中存在少數高度連接的站點，而大部分站點的連接度相對較低。這表明杭州地鐵網絡具有無標度網絡特性，其中少數站點起到關鍵的連接作用，而大部分站點的重要性相對較低。

如圖6所示，杭州市軌道交通的平均最短路線大致符合泊松分布，有35.5%的線路比平均最短路徑長度要小，超過了64.3%，說明大多數車站之間的最短路徑距離都比較大，最大網絡直徑是41。

3.2 魯棒性分析

魯棒性是城市軌道交通系統在遭受外部攻擊或失效時，仍能保持正常運行的能力。

本文擬以杭州軌道交通為研究對象，通過隨機和蓄意攻擊兩種方法，分別用上述9種攻擊方案進行攻擊，并在網絡效能差異方面進行對比分析。

從圖7，圖8可知：網絡效率在蓄意攻擊的情況下所受到的影響比隨機攻擊要更大一些，通過對R、ID兩種攻擊方式進行比較，在刪除50個站點時，網絡的效率僅為0.037、0.009，而最大連通子圖的比率為0.5、0.061。這說明早期的攻擊主要針對的是網絡中的關鍵節點，如果刪除了這些節點，其他節點就會變成孤立節點，從而對整個網絡產生很大的影響。研究結果表明，杭州市軌道交通系統具有良好的抗隨機攻擊能力，并且對蓄意攻擊表現出脆弱性。

a.度攻擊。使用RD（隨機度）攻擊策略移除132個站點將導致地鐵網絡徹底崩潰，而使用ID（重要度度）攻擊策略則需要移除更多的198個站點才能達到同樣的效果。這說明RD攻擊對地鐵網絡的影響更為顯著，即使只移除少量的站點，也能對網絡造成致命的破壞。相比之下，ID攻擊策略需要更多的站點才能對網絡產生類似的破壞效果。因此，RD攻擊策略對地鐵網絡的魯棒性影響更大，這意味著地鐵網絡對于隨機攻擊相對脆弱。

b.介數攻擊。在移除40個站點后，RB（介數度）攻擊策略導致地鐵網絡的效率下降至0.015，而IB（介數重要度）攻擊策略導致網絡效率下降至0.006。此外，RB攻擊策略下的地鐵網絡最大聯通子圖比例為0.164，而IB攻擊策略下為0.019 4。這表明RB攻擊策略對地鐵網絡的破壞程度高于IB攻擊策略。

c.強度攻擊。根據RS攻擊策略和IS攻擊策略的結果，在移除33～49個站點時，兩種攻擊策略下的降低趨勢是相同的。然而，當網絡完全崩潰時，RS攻擊策略需要移除164個站點，而IS攻擊策略需要移除208個站點。這表明RS攻擊策略對網絡的魯棒性影響較大，高于IS攻擊策略。

d.加權介數攻擊。根據RWB攻擊策略，杭州市地鐵網絡在面對隨機攻擊時表現出較強的魯棒性，但對蓄意攻擊則表現出脆弱性。因此，地鐵運營部門需要特別關注網絡中的關鍵站點，以防止它們受到破壞并對整個網絡的正常運行產生影響。這包括采取措施保護關鍵站點的安全性，加強監控和安全措施，以及建立應急響應機制，以便在遭受攻擊時能夠快速應對和恢復網絡功能。通過這些措施，地鐵運營部門可以提高地鐵網絡的整體魯棒性，確保乘客的出行安全和便利。

4 結 論

對杭州市地鐵網絡拓撲特性進行研究后發現，其具有無標度網絡、小世界網絡特性。

杭州市地鐵網絡在面對隨機攻擊時表現出較強的魯棒性，但對蓄意攻擊則表現出脆弱性。因此，地鐵運營部門需要特別關注網絡中的關鍵站點，以防止它們受到破壞并對整個網絡的正常運行產生影響。這包括采取措施來保護關鍵站點的安全性，加強監控和安全措施，以及建立應急響應機制，以便在遭受攻擊時能夠快速應對和恢復網絡功能。通過這些措施，地鐵運營部門可以提高地鐵網絡的整體魯棒性，確保乘客的出行安全和便利。

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收稿日期：2023-12-12

基金項目：“交通設計”課程教學案例庫建設（SDYAL2022158）

作者簡介：時柏營（1976—），男，山東濟南人，山東建筑大學交通工程學院，副教授，碩士生導師，研究方向：智能交通；程 遠（1998—），本文通信作者，男，山東泰安人，山東建筑大學交通工程學院碩士研究生，研究方向：道路交通運輸。

引文格式：時柏營，程遠，丁東玥，等．基于復雜網絡理論的地鐵網絡魯棒性研究[J]．物流科技，2024，47（14）：59-63.