不等式恒成立求參數范圍問題的解題方法

［摘 要］求解不等式恒成立時參數的范圍，首要策略為將參數和變量剝離，即參變分離，進而簡化為求解變量所屬函數的最值。然而，新高考題型多變，僅憑參變分離難以有效解決問題。文章通過多角度分析題目，歸納出隱零點法、分類討論法、指對數切線不等式放縮法、同構法、必要性探路法等解題方法。

［關鍵詞］不等式恒成立；參數范圍；參變分離

［中圖分類號］ " "G633.6 " " " " " " " "［文獻標識碼］ " "A " " " " " " " "［文章編號］ " "1674-6058（2024）29-0021-04

利用導數研究不等式恒成立求解參數的范圍問題，是高考導數部分的重難點，要求考生具備解決復雜問題的思維能力和綜合分析能力。此類問題主要考查分類討論、函數與方程、轉化與化歸、數形結合等數學思想，以及數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算等核心素養。本文以2020年高考全國Ⅰ卷第21題作為實例，由于該題無法直接運用參變分離法進行求解，故深入探討了六種在無法參變分離時常用的解題方法，旨在為解決此類問題尋找最優策略。

一、試題呈現

（2020年高考全國Ⅰ卷第21題）已知函數[f（x）=aex-1-lnx+lna]。

（1）當[a=e]時，求曲線[y=f（x）]在點（1 ， f（1））處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

（2）若不等式[f（x）≥1]恒成立，求[a]的取值范圍。

分析 本題第（1）問求解切線方程與兩坐標軸圍成的三角形的面積，其解法常規，故不詳述。第（2）問聚焦不等式恒成立求解參數范圍，此類問題在日常練習中較為常見，可先讓學生嘗試常規解法，如若遇阻，再考慮探索其他解決途徑，以確保問題得以順利解決。

二、解法探究

（1）略。

（2）解法1：隱零點法

點評：本題先通過分離參數，但分離后的函數比較繁雜，含有[ex]和[lnx]，因此想到根據已知條件進行適當放縮（或利用常見放縮結論），對原不等式同解變形，從而實現化繁為簡。

通過探究上述問題的解決方法，我們總結出利用導數解決不等式恒成立求參數范圍問題的基本途徑。此舉旨在幫助高考復習中的學生系統掌握各類解題方法，從而提升解題效率。

（責任編輯 黃春香）