巧用配速法解復(fù)合場問題

［摘 要］當(dāng)帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)既不是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，也不是勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，情況變得復(fù)雜，此時(shí)運(yùn)用配速法能有效解決問題。配速法基于運(yùn)動(dòng)的合成與分解原理，通過配速，將帶電粒子在復(fù)合場中的曲線運(yùn)動(dòng)分解為勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)。配速法一分為二、化繁為簡，有助于學(xué)生順利解決問題。

［關(guān)鍵詞］配速法；復(fù)合場；勻速直線運(yùn)動(dòng)；勻速圓周運(yùn)動(dòng)

［中圖分類號］ " "G633.7 " " " " " " " "［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ " "A " " " " " " " "［文章編號］ " "1674-6058（2024）29-0050-04

高中物理中，帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)問題是核心知識點(diǎn)，同時(shí)既是教學(xué)重點(diǎn)，又是高考熱點(diǎn)。這類問題具有綜合性、系統(tǒng)性和多樣性的特點(diǎn)，其解答常需融合力學(xué)、電磁學(xué)及數(shù)學(xué)知識，能夠全面考查學(xué)生的綜合能力。關(guān)于帶電粒子在復(fù)合場中因合外力為零而做勻速直線運(yùn)動(dòng)，以及電場力與重力平衡、洛倫茲力提供向心力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的情況，本文不再贅述。

若帶電粒子在磁場中除受洛倫茲力外，還受其他力，且其合力不為零，則帶電粒子的速度大小和方向會改變，進(jìn)而導(dǎo)致洛倫茲力和合外力也隨之變化，在這種情況下，帶電粒子將做復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)。為了分析和解決這一問題，本文采用速配法進(jìn)行思維引導(dǎo)和求解。

一、配速法的基本原理

配速法的基本原理是運(yùn)動(dòng)的合成與分解。在處理帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，其核心思想是將一個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)或多個(gè)較為簡單的分運(yùn)動(dòng)。具體分解方法如下：

（1）若帶電粒子的初速度為零，則將速度分解為兩個(gè)等大、反向的分速度（相當(dāng)于配設(shè)一對等大、反向的速度），使一個(gè)分速度對應(yīng)的洛倫茲力與復(fù)合場中的恒力平衡，帶電粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)；而另一個(gè)分速度對應(yīng)的洛倫茲力提供向心力，使帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖1所示，其中[v0=0，v1=v2]。

（2）若帶電粒子的初速度不為零，同樣配上一對等大、反向的速度[v1]和[v2]，如圖2所示。根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解，帶電粒子的速度仍然是[v0]，使其中一個(gè)速度（[v1]）所對應(yīng)的洛倫茲力與復(fù)合場中的恒力（重力或電場力或重力和電場力的合力）平衡，帶電粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)；另一個(gè)速度（[v2]）與初速度[v0]的合速度（[v]）所對應(yīng)的洛倫茲力提供向心力，帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。通過配速，除已經(jīng)平衡恒力的洛倫茲力所對應(yīng)的速度外，另一個(gè)分速度與初速度共線，若二者速度方向相同，則做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度為兩者之和，反之為兩者之差，如圖3所示。

帶電粒子在復(fù)合場中做復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡既不是直線也不是圓，而是類似向前勻速行駛的自行車輪胎邊緣上的一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡是一條擺線（一個(gè)圓沿一條直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，圓邊界上一定點(diǎn)所形成的軌跡），如圖4所示。通過合理配速，將帶電粒子在復(fù)合場中復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)簡單、常規(guī)且容易處理的勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)，方法簡便，思路清晰，既降低了問題的難度，又提升了解題的效率。

二、題型分析

根據(jù)復(fù)合場的存在形式與帶電粒子初速度的不同，可以分為以下四種常見題型。

（一）初速度為零，磁場與重力場（或電場）型

物理情境：帶電粒子的初速度[v0=0]，復(fù)合場為正交的磁場與重力場（或電場），如圖5所示。

思維方法：把初速度[v0]分解為一個(gè)向右的速度[v1]和一個(gè)向左的速度[v2]，且[v1=v2]，如圖6所示，使與[v1]對應(yīng)的洛倫茲力[F]洛1和重力G（或電場力）平衡，帶電粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)；而與[v]2對應(yīng)的洛倫茲力[F]洛2提供向心力，帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

（二）初速度為零，磁場、電場與重力場型

物理情境：帶電粒子的初速度[v0=0]，復(fù)合場為正交的磁場、電場和重力場，如圖7所示。

思維方法：把初速度[v0]分解為一個(gè)向右的速度[v1]和一個(gè)向左的速度[v2]，且[v1=v2]，如圖8所示，使與[v1]對應(yīng)的洛倫茲力[F]洛1和[F]（重力和電場力的合力）平衡，帶電粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)；而與[v2]對應(yīng)的洛倫茲力[F]洛2提供向心力，帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

（三）初速度不為零，磁場與重力場（或電場）型

物理情境：帶電粒子的初速度[v0≠0]，復(fù)合場為正交的磁場與重力場（或電場），如圖9所示。

思維方法：配設(shè)一對等大、反向的速度[v1]和[v2]，如圖10所示，使與[v1]對應(yīng)的洛倫茲力[F洛1]和重力G（或電場力）平衡，帶電粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)；而與[v0]和[v2]的合速度[v]（若[v0]和[v2]在同一直線上，則同向相加，反向相減；若[v0]和[v2]不在同一直線上，則用平行四邊形定則求解）對應(yīng)的洛倫茲力[F]洛2提供向心力，帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

（四）初速度不為零，磁場、電場、重力場型

物理情境：帶電粒子的初速度[v0≠0]，復(fù)合場為正交的磁場、電場和重力場，如圖11所示。

思維方法：配設(shè)一對等大、反向的速度[v1]和[v2]，如圖12所示，使與[v1]對應(yīng)的洛倫茲力[F]洛1與重力和電場力的合力[F]平衡，帶電粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)；而與[v0]和[v2]的合速度[v]（若[v0]和[v2]在同一直線上，則同向相加，反向相減；若[v0]和[v2]不在同一直線上，則用平行四邊形定則求解）對應(yīng)的洛倫茲力[F]洛2提供向心力，帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

三、應(yīng)用舉例

［例1］如圖13所示，平面直角坐標(biāo)系[xOy]位于豎直平面內(nèi)，[x]軸方向水平向右，[y]軸豎直向上，坐標(biāo)系[xOy]所在的空間有一正交的勻強(qiáng)電磁場，勻強(qiáng)電場方向豎直向下，場強(qiáng)大小為[E]；勻強(qiáng)磁場方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為[B]。一個(gè)電荷量為[q]、質(zhì)量為[m]的帶正電的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），以大小不同的初速度從坐標(biāo)原點(diǎn)[O]沿[x]軸正方向?qū)?zhǔn)[x]軸上的[A]點(diǎn)射出。不計(jì)空氣阻力，重力加速度為[g]。（1）若小球做直線運(yùn)動(dòng)通過[A]點(diǎn)，求此時(shí)小球的初速度大小[v0]。（2）若小球的初速度大小[v′0≠v0]，射出小球后，小球會經(jīng)曲線運(yùn)動(dòng)通過[A]點(diǎn)，求[A]點(diǎn)的坐標(biāo)值[xA]。（3）若小球從[O]點(diǎn)由靜止釋放，求小球運(yùn)動(dòng)過程中可達(dá)到的最大速率[vm]和小球到[x]軸的最大距離[H]。

解析：（1）因小球沿直線運(yùn)動(dòng)通過[A]點(diǎn)，根據(jù)平衡條件有[qv0B=qE+mg]，解得[v0=qE+mgqB]。

（2）若小球的初速度大小[v′0≠v0]，則小球在豎直平面內(nèi)做曲線運(yùn)動(dòng)，給小球配設(shè)一對等大、反向的速度[v1]和[v2]，如圖14所示，[v1]水平向右，所對應(yīng)的洛倫茲力與電場力和重力的合力平衡，小球沿[x]軸向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

根據(jù)平衡條件[qv1B=qE+mg]，得[v1=qE+mgqB]。

水平向左的分速度[v2]與初速度[v0]的合速度[v=v2-v0]，所對應(yīng)的洛倫茲力提供向心力，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

若[v=v2-v0gt;0]，則其方向向左，對應(yīng)[x]軸下方的逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)；

若[v=v2-v0lt;0]，則其方向向右，對應(yīng)[x]軸上方的逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

則根據(jù)[qvB=mv2r]和[T=2πrv]得勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期[T=2πmqB]。

要使小球通過[A]點(diǎn)，則有[t=nT]（n=1，2，3…）。

小球沿[x]軸正向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有[xA=v1t]，解得[xA=2nπm（qE+mg）q2B2]（n=1，2，3…）。

（3）小球從[O]點(diǎn)由靜止釋放后的運(yùn)動(dòng)可視為沿[x]軸正方向速度為[v0]和沿[x]軸負(fù)方向速度大小為[v0]的合運(yùn)動(dòng)，前者對應(yīng)的洛倫茲力與電場力和重力的合力平衡，根據(jù)平衡條件[qv0B=qE+mg]，得[v0=qE+mgqB]。

后者對應(yīng)的洛倫茲力提供向心力，在[x]軸下方做逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律[qv0B=mv20r]，得[r=m（qE+mg）q2B2]。

經(jīng)半個(gè)周期，小球在最低點(diǎn)兩個(gè)分速度相同，對應(yīng)的合速度最大，最大運(yùn)動(dòng)速率[vm=2v0=2m（qE+mg）qB]。

小球到[x]軸的最大距離為圓的直徑，即[H=2r=2m（qE+mg）q2B2]。

點(diǎn)評：本題第（1）問比較基礎(chǔ)，第（2）（3）問有一定的難度，需要利用第（1）問的平衡知識和配速法，將復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)分解為勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)來處理。通過練習(xí)，體現(xiàn)了用配速法解決帶電粒子在復(fù)合場中的復(fù)雜曲線運(yùn)動(dòng)問題的一般思維方法。

［例2］如圖15所示，第一象限內(nèi)存在水平向左的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度大小為[E]（[E]未知），第二象限內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，第三象限內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場及豎直向下的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度大小為[2E]?，F(xiàn)有一電荷量為[q]、質(zhì)量為[m]的帶正電粒子從[x]軸上的[A]點(diǎn)以初速度[v0]垂直[x]軸射入電場，經(jīng)[y]軸上的[P]點(diǎn)進(jìn)入第二象限。已知第二、三象限內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小均為[B=Ev0]，[A]點(diǎn)的橫坐標(biāo)為[L 2]，[P]點(diǎn)的縱坐標(biāo)為[L]，不計(jì)粒子重力。求：（1）電場強(qiáng)度[E]的大小；（2）粒子進(jìn)入第二象限的磁場區(qū)域后，第一次經(jīng)過[x]軸的位置到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離；（3）粒子第一次在第三象限運(yùn)動(dòng)過程中與[x]軸的最遠(yuǎn)距離。

解析：（1）粒子在第一象限電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，如圖16所示。豎直方向有[L=v0t]，水平方向有[L2=vx2t]，解得[vx=v0]，又[vx=qEmt]，解得[E=mv20qL]。

（2）設(shè)粒子離開電場時(shí)，速度大小為[v]，方向與[y]軸正方向的夾角為[θ]，則速度大小[v=v20+v2x]，解得[v=2v0]。由幾何關(guān)系得[tanθ=vxv0]，解得[θ=45°]。

設(shè)粒子在第二象限磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為[r1]，由牛頓第二定律得[qvB=mv2r1]，解得[r1=2L]，則粒子在第二象限運(yùn)動(dòng)軌跡圓心恰好落在[x]軸上。粒子第一次與[x]軸相交時(shí)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離[d1=r1+r1cos45°]，解得[d1=（2+1）L]。

（3）由圖16可知，粒子進(jìn)入第三象限時(shí)的速度大小為[v3=v=2v0]，方向豎直向下，可在水平方向上配設(shè)水平向左的速度[v1]和水平向右的速度[v2]，使[v1]所對應(yīng)的洛倫磁力與電場力平衡，滿足[qv1B=2qE]，由題可知[B=Ev0]，解得[v1=v2=2v0]，[v3]與[v2]的合速度大小為[v4=v23+v22=2v0]，[v4]與[x]軸方向的夾角為[α=45°]。

所以粒子進(jìn)入第三象限后在以[v4]對應(yīng)的洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，以[v1]向左做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

設(shè)粒子在第三象限做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為[r2]，由牛頓第二定律有[qv4B=mv24r2]，解得[r2=2L]。由幾何關(guān)系得[d2=r2+r2cos45°]，解得[d2=（2+2）L]。

點(diǎn)評：本題物理過程復(fù)雜，對考生能力要求較高。從物理情境來看，包含三個(gè)主要過程：一是帶電粒子在純電場中的類平拋運(yùn)動(dòng)；二是帶電粒子在純磁場中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)；三是帶電粒子在復(fù)合場中的一般運(yùn)動(dòng)。針對每個(gè)過程，需應(yīng)用相應(yīng)的物理規(guī)律列出方程，并結(jié)合題設(shè)條件及運(yùn)動(dòng)軌跡求解。其中，第（3）問帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)較為復(fù)雜，可通過運(yùn)動(dòng)的合成與分解，運(yùn)用配速法進(jìn)行分析和解答。

經(jīng)過對問題進(jìn)行深入討論與分析發(fā)現(xiàn)，利用配速法解決帶電粒子在復(fù)合場中的一般曲線運(yùn)動(dòng)問題，可概括為兩步：一是進(jìn)行配速，依據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解原理，為帶電粒子配設(shè)一對等大、反向的速度；二是進(jìn)行分解，通過合理分配速度，將帶電粒子的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)分解為勻速直線運(yùn)動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)來分別處理。此方法能條理化綜合問題，簡單化復(fù)雜問題，實(shí)現(xiàn)既快捷明了又科學(xué)高效地解答問題。

（責(zé)任編輯 " "黃春香）