解決多面體截面問題的兩種視角

多面體的截面問題是立體幾何的常見問題之一，要求學(xué)生借助正方體直觀圖，根據(jù)已知條件結(jié)合空間想象，同時建立形與數(shù)的聯(lián)系，是具有挑戰(zhàn)性的一類問題；解決截面問題的過程中，又綜合運(yùn)用平面基本性質(zhì)、線面平行的性質(zhì)定理和面面平行的性質(zhì)定理等多方面的立體幾何知識，同時又有利于進(jìn)一步發(fā)展提升學(xué)生的空間想象能力、數(shù)形結(jié)合能力和幾何作圖能力.

一、案例呈現(xiàn)

例1.正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點(diǎn)，則（ """"）

A.直線B1C與直線AF垂直

B.平面AEF截正方體所得的截面面積為

C.三棱錐F－AGE的體積為2

D.點(diǎn)A1與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等

例2.已知邊長為3的正方體ABCD－A1B1C1D1（如圖1），現(xiàn)用一個平面α截該正方體，平面α與棱AA1、AB、BC分別交于點(diǎn)E、F、G.若A1E=2EA，AF=2FB，CG=2GB.

（1）求面α與面ABCD所成銳二面角的余弦值；

（2）請在答題卷的第2個圖中作出截面α與正方體各面的交線，用字母標(biāo)識出交線與棱的交點(diǎn).

二、案例解析

（一）幾何法的分析與畫法

例1選項B.分析：首先直接連接多面體面上兩點(diǎn)A，E和E，F(xiàn)就得截面與多面體的面的兩條交線；其次，根據(jù)平面的無限延展性，三角形AEF只是截面的一部分.

（1）根據(jù)“不在一條直線上的三點(diǎn)唯一確定一個平面”，A，E，F(xiàn)分別為正方體不同側(cè)棱上的點(diǎn)，顯然三點(diǎn)不共線，于是截面在平面AEF上；

（2）根據(jù)“若兩個平行平面同時和第三個平面相交，則它們的交線平行”，截面與平面AD1、平面BC1都相交，且平面AD1//平面BC1，于是交線平行；在平面AD1內(nèi)，過點(diǎn)A的AD1滿足AD1//EF.

畫法：連A，E，連E，F(xiàn)，連A，D1，連D1，F(xiàn)，則等腰梯形AEFD1即為所求截面（如圖2）.

例2題（2） 分析：除了直接連線得截面與多面體的面的兩條交線，還需根據(jù)“面面相交得線，線線相交得點(diǎn)”來延長線段得交點(diǎn).

（1）連G，F(xiàn)，則GF為截面與平面AC的交線，令GF∩DA=P1；

（2）根據(jù)“三個平面兩兩相交得到三條直線，若其中兩條相交于一點(diǎn)，則第三條也經(jīng)過這點(diǎn)”，截面，平面AC與平面AD1兩兩相交，而有平面AC∩平面AD1=DA，截面∩平面AC=GF，GF∩DA=P1，于是截面與平面AD1的交線必過點(diǎn)P1，即P1E必為截面與平面AD1的交線，令P1E∩D1D=P2；

（3）同理，令FG∩DC=P3，截面，平面AC與平面DC1兩兩相交，而有FG∩DC=P3，于是截面與平面DC1的交線必過點(diǎn)P3，令P2P3∩C1C=P4.

畫法：連G，F(xiàn)，并延長與DA的延長線交于點(diǎn)P1；連P1，E，與D1D交于點(diǎn)P2；將延長與DC的延長線交于點(diǎn)P3；連P2，P3，與C1C交于點(diǎn)P4；則五邊形EFGP4P2即為所求截面（如圖3）.

雖然問題（2）不要求理由與過程，只要求作出截面α與正方體各面的交線，但就學(xué)生本身而言還是非常有必要弄清楚獲得截面多邊形各頂點(diǎn)的來龍去脈，對“如何確定這些交線？如何確定交點(diǎn)？”等核心問題要知其所以然.

（二）向量法的分析與畫法

由上述例1、例2的幾何法解析可以發(fā)現(xiàn)，求過多面體表面上的三點(diǎn)作多面體的截圖，關(guān)鍵在于尋找截面多邊形的頂點(diǎn)——截面與多面體棱的交點(diǎn)，而這種幾何上的位置關(guān)系可以通過數(shù)量關(guān)系來確定.

例1選項B. 解：分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz.

∵AD=2，E，F(xiàn)分別為BC，CC1中點(diǎn)，由A（2，0，0），E（1，2，0）， """"F（0，2，1），則=（－1，2，0），= （－2，2，1）.設(shè)面AEF的法向量為=（x，y，z），則·=0·=0，即－x+2y=0－2x+2y+z=0.

令y=1，則x=2，z=2， ∴=（2，1，2）.

設(shè)截面在棱DD1上的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，設(shè)P（0，0，λ），則AP=（－2，0，λ），由·AP=0，則－4+2λ=0，有λ=2.∴點(diǎn)P即為點(diǎn)D，四邊形AEFD1即為所求截面（如圖4）.

注：上述解答過程中，“截面在棱DD1上的頂點(diǎn)為點(diǎn)P”的假設(shè)是關(guān)鍵，這需要學(xué)生發(fā)揮空間想象力，猜想平面在空間延展時將會與多面體的哪一條棱相交而產(chǎn)生截面多邊形的頂點(diǎn).本題中λ=2，所以截面為等腰梯形AEFD1；若所求λlt;2，則截面為四邊形AEFP（如圖5）；若所求λgt;2，則截面為五邊形AEFMN（如圖6）.

例2題（2）解：分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz.

∵AD=3，A1E=2EA，AF=2FB，CG=2GB.由F（3，2，0），E（3，0，1）， G（2，3，0），則=（－1，1，0），=（0，－2，1）.

設(shè)面EFG的法向量為=（x，y，z），則·=0·=0，即－x+y=0－2y+z=0.令y=1，則x=1，z=2， ∴=（1，1，2）.

設(shè)截面在棱DD1上的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，設(shè)P（0，0，λ），則=（－3，－2，λ）.由·=0，則－3－2+2λ=0，有λ=.

同理，設(shè)截面在棱CC1上的頂點(diǎn)為點(diǎn)M，設(shè)M（0，3，μ），則= "（－3，1，μ）.

由·=0，則－3+1+2μ=0，有μ=1.

∴五邊形EFGMP即為所求截面（如圖7）.

注：上述解答過程中，根據(jù)“截面多邊形的頂點(diǎn)一定在多面體的棱上”和平面的延展，分別通過計算λ和μ，明確點(diǎn)P為線段DD1的六等分點(diǎn)，點(diǎn)M為線段CC1的三等分點(diǎn)，從而確定了截面多邊形.

用向量法解決多面體的截面問題，與用向量法解決空間角問題類似，按部就班地通過坐標(biāo)運(yùn)算求解面的法向量等，形式單一易懂，只要明確所要求解目標(biāo)的本質(zhì)內(nèi)涵就能快捷迅速得到最終正確結(jié)論.

三、教學(xué)啟示

1.如上述兩個案子，立體幾何題目不一定附帶直觀圖，這就需要學(xué)生們根據(jù)已知作出符合題意的圖像，且在解題過程中還需要數(shù)形結(jié)合以發(fā)現(xiàn)解題的關(guān)鍵.因而，在日常教學(xué)中應(yīng)有意識多示范如何作圖，多提供畫圖的機(jī)會給學(xué)生.

2.避免因講題而講題，使得學(xué)生重現(xiàn)“聽得懂，不會做”的情境.因此，在用幾何法解決多面體截面問題時，不能僅僅展示怎樣作圖，而因分析清楚幾何法的理論依據(jù)及前因后果，說明為什么這樣作圖，怎樣想到要這樣作圖，讓學(xué)生在遇到類似問題時能憑借理論、方法和已有的解題經(jīng)驗實現(xiàn)熟練正確地解題.

3.用幾何法解決案例2的多面體截面問題時，都有一個共同的出發(fā)點(diǎn)——將線段延長相交，這個作圖手法行之有效，能使解題即刻“柳暗花明”.此外，多面體的截面作圖問題可以歸結(jié)為確定截面多邊形的頂點(diǎn)問題，也就是截面與多面體棱的交點(diǎn)問題.

4.應(yīng)有意識地讓學(xué)生多復(fù)習(xí)并儲備平面幾何知識，高中立體幾何的正確解答也需要平面幾何知識的輔助，如案例1中等腰梯形面積的求解，案例2中的等分點(diǎn)和相似三角形的邊長.

5.上述三個案例中幾何法和向量法的解答各有優(yōu)勢：幾何法直觀簡潔，但思維要求較高；向量法形式規(guī)整統(tǒng)一，但對計算能力要求較高.所以教學(xué)時要做到這兩種方法兼顧，將數(shù)與形有機(jī)結(jié)合，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生幾何直觀、空間想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，提升學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

責(zé)任編輯"邱"麗