數(shù)學(xué)中考知識(shí)點(diǎn)梳理

課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，注意使學(xué)生在獲得間接經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，也能夠有機(jī)會(huì)獲得直接經(jīng)驗(yàn)，即從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)踐、思考、探索、交流等，獲得數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促使學(xué)生主動(dòng)地、富有個(gè)性地學(xué)習(xí)，不斷提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。”

同時(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)養(yǎng)成也是學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)建立起來(lái)的認(rèn)識(shí)、理解和處理周圍事物時(shí)所具備的品質(zhì)，更是學(xué)生在今后學(xué)習(xí)和生活中所表現(xiàn)出來(lái)的思考方式和解決問(wèn)題的策略。結(jié)合平時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，如何恰當(dāng)滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，讓每一位學(xué)生得到不同程度的提高，并能從參與中得到情感升華，一直以來(lái)是許多老師共同關(guān)注的問(wèn)題。

本文借助習(xí)題課教學(xué)活動(dòng)，通過(guò)“一題多變”，讓學(xué)生體會(huì)幾何問(wèn)題的思考過(guò)程、解決途徑，感知數(shù)學(xué)抽象思維和提高邏輯推理能力。

一、呈現(xiàn)例題

（一）基本型：底和高都與坐標(biāo)軸平行

如圖1，已知二次函數(shù)[y=x2+bx+c]圖象過(guò)點(diǎn)A（1，0），C（0，-3）。

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）若在拋物線上存在一點(diǎn)P，使△APB的面積為10，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

分析 第一小問(wèn)直接利用待定系數(shù)法即可；第二小問(wèn)△APB的面積可以用AB當(dāng)?shù)走叄c(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值作高，進(jìn)而構(gòu)建等量關(guān)系。

解答 （1）將A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入

[y=x2+bx+c]，可得b＝2，c＝－3

∴ 此二次函數(shù)的解析式為：[y=x2+2x-3]

（2）令y＝0代入[y=x2+2x-3]，

求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－3，0）∴ AB＝4

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，[x2+2x-3]）

[∵] △APB的面積為10，

∴ [12AB?x2+2x-3]＝10

∴ [x2+2x-3]＝[±]5

①當(dāng)[x2+2x-3]＝5時(shí)，解得x＝－4或2，

∴ 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－4，5），（2，5）

②當(dāng)[x2+2x-3]＝－5時(shí)，方程無(wú)解，

∴ 點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－4，5），（2，5）

點(diǎn)評(píng)" 本小題求三角形的面積時(shí)，底和高都容易利用坐標(biāo)表示。特別是利用點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值表示圖形的高容易忽略。

（二）提高型：底和高都與坐標(biāo)軸不平行

（2018年婁底中考數(shù)學(xué)試題改編）

如圖2，拋物線[y=ax2+bx+c]與兩坐標(biāo)軸交于A（－3，0）、B（1，0）、C （0，3），點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。試問(wèn)是否存在點(diǎn)P使△APC的面積最大，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。

分析" 隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，△APC的形狀會(huì)發(fā)生變化。若用AC，PC，AP中的某一條線段作為底，該邊上的垂線段作為高。面積可以表示，但無(wú)法與點(diǎn)P的坐標(biāo)建立聯(lián)系。于是需要重新構(gòu)建底或者高。將△APC的面積轉(zhuǎn)化成便于和點(diǎn)P坐標(biāo)相聯(lián)系的圖形△APE與△EPC的面積和。

解答 （1）設(shè)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為：[y=a（x-x1）（x-x2）]，

分別將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得，

[y=-x2-2x+3]

（2）過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AC于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F。

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，[-x2-2x+3]）

經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)的直線解析式為：[y=ax+b]

將A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入[y=ax+b]得，y＝x＋3

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，x＋3），

則PE＝[（-x2-2x+3）-（x+3）]＝[-x2-3x]

∴ S△APC＝S△APE＋S△PEC＝[12（PE·AF+PE·OF）]

＝[12PE·OA]＝[32（-x2-3x）]=[-32（x+32）2+278]

∴ 當(dāng)[x=-32]時(shí)，△APC的面積最大，最大值為[278]

點(diǎn)評(píng)" 本題主要考查坐標(biāo)系中不規(guī)則圖形的面積。將圖形適當(dāng)進(jìn)行分割，轉(zhuǎn)化成與坐標(biāo)有關(guān)的圖形的面積。如何轉(zhuǎn)化是解決本小題的關(guān)鍵。

（三）拓展型：借助圖形的性質(zhì)

如圖3，二次函數(shù)[y=x2+bx+c]與直線：y=ax+b交于A（3，0），B（0，－3），交x軸于點(diǎn)C。

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）若點(diǎn)P（2，－3） 是直線 AB 下方拋物線上一點(diǎn)，試問(wèn)在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使 S△ABP＝S△ABM

分析" 圖中的二次函數(shù)和直線的解析式都容易獲得，但△ABP，△ABM的面積單純利用底和高不容易獲取答案。觀察發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)三角形可以看成公共底邊，高相等的兩個(gè)圖形，根據(jù)到直線距離相等的點(diǎn)在已知直線的平行線上，可得M、P所在的直線與AB兩點(diǎn)所在的直線平行。于是利用待定系數(shù)法求出直線PM解析式，然后與直線AB組成方程組，便可以求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。

解答 （1）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)解析式[y=x2+bx+c]，可得b＝－2，c＝－3

∴[y=x2-2x-3]

（2）分別將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線解析式

y＝ax＋b可得，a＝1，b＝－3

∴ y=x－3

①當(dāng)點(diǎn)M在直線AB下方時(shí)，

點(diǎn)M所在直線EF∥AB，

可設(shè)直線EF的解析式為：y=x＋b

將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入可得，b=－5， ∴ y=x－5

則點(diǎn)M的坐標(biāo)可以看作是方程組[y=x-5y=x2-2x-3]的解。

∴[x=2y=-3]，[x=1y=-4]，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，－4）

②當(dāng)點(diǎn)M在直線AB上方時(shí)，點(diǎn)M所在的直線GH∥AB，[∵]直線EF可以看作是直線AB向下平移2個(gè)單位而得到的，∴直線GH也可以看作直線AB向上平移2個(gè)單位而得到，∴直線GH的解析式為：y＝x－1，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為方程組[y=x-1y=x2-2x-3]的解。

∴[x=3+172y=1+172][x=3-172y=1-172]

即點(diǎn)M的坐標(biāo)為：

（[3+172]，[1+172]）或（[3-172]，[1-172]）

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（1，－4），

（[3+172]，[1+172]），（[3-172]，[1-172]）

點(diǎn)評(píng)" 本小題兩個(gè)三角形的同底等高，面積的等量關(guān)系表面上看沒(méi)有直接與坐標(biāo)相聯(lián)系，但利用圖形的性質(zhì)，得到直線的解析式，再利用兩個(gè)圖象的交點(diǎn)，間接求出點(diǎn)的坐標(biāo)。

二、例題設(shè)計(jì)理念

（一）知識(shí)目標(biāo)：二次函數(shù)與幾何圖形相結(jié)合有兩個(gè)方面，一是以函數(shù)為重點(diǎn)，通過(guò)圖形的性質(zhì)構(gòu)建數(shù)量關(guān)系；一是以圖形為重點(diǎn)，利用函數(shù)觀點(diǎn)建立內(nèi)在聯(lián)系。二次函數(shù)與幾何圖形相結(jié)合完美地展現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，本節(jié)課重點(diǎn)關(guān)注的是：二次函數(shù)與三角形面積的綜合題。解決問(wèn)題的途徑是適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行圖形變化，如分割、組合。轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)是借助坐標(biāo)來(lái)表示線段，垂線段的長(zhǎng)，再利用圖形性質(zhì)構(gòu)建等量關(guān)系。

（二）技能目標(biāo)：為提升數(shù)學(xué)分析與運(yùn)用能力，提高學(xué)生的思維水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。本文通過(guò)研究二次函數(shù)與三角形面積的習(xí)題案例，體會(huì)“以數(shù)解形”的解題方法。

（三）情感目標(biāo)：例題課教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)層層遞進(jìn)的方式，設(shè)計(jì)有坡度的問(wèn)題串，讓不同層次的學(xué)生都能從中獲取不同程度的提高。

三、教學(xué)反思

本節(jié)是一節(jié)專題復(fù)習(xí)課，學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的基礎(chǔ)上，對(duì)二次函數(shù)與幾何知識(shí)的運(yùn)用有了一定的了解，初步具備了把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)之間的關(guān)系的能力。在本節(jié)課中提前預(yù)設(shè)了基本面積問(wèn)題，讓學(xué)生感知轉(zhuǎn)化過(guò)程。然后改變問(wèn)題背景，使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知上的沖突，激發(fā)了學(xué)生探索的欲望。通過(guò)問(wèn)題的分析、解決，再一次認(rèn)識(shí)到，問(wèn)題變化而思考途徑幾乎沒(méi)有改變，感知數(shù)學(xué)“化歸思想”和知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，基本建立起這類問(wèn)題解決的模型。本節(jié)課的后兩個(gè)問(wèn)題，是讓學(xué)生帶著前面問(wèn)題解決經(jīng)驗(yàn)，再一次提升分析，思考。通過(guò)步步深入，螺旋式上升，達(dá)到漸漸提升能力的目的，同時(shí)讓所有學(xué)生都有收獲。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程，實(shí)際上是問(wèn)題的解決過(guò)程，學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中的表現(xiàn)，可以反映出學(xué)生思維的深度與廣度。本節(jié)課教學(xué)時(shí)，恰當(dāng)?shù)匕盐樟诉@一點(diǎn)。