數學模型思想的內涵、價值及培養策略

模型思想，是初高中階段數學建模活動必不可少的指導思想，對于理解數學核心概念、思想方法以及解決數學問題都有著積極的促進作用。張奠宙認為，廣義地講，數學中各種基本概念和基本算法都可以叫作數學模型。數學核心概念承載著數學核心問題，是通向核心問題理解的“管道”，是發展模型思想所必備的抽象思維的有效載體。數學問題解決的過程實質上是將未解決的問題轉化為已經解決的問題。就某一數學問題進行反復思索并推進的過程實際上就是形成模型、推敲模型、優化模型的過程，這是科學地研究問題的思路，也是數學內容逐步完備化、模塊化、體系化的過程。

一、數學模型思想的內涵詮釋

從知識背景發掘到知識形成再到關系揭示的知識學習過程中，模型思想是貫穿知識發生發展過程的暗線，是知識生發邏輯觀照下的內隱性數學課程資源。［1］隨著數學內部與外部世界的頻繁交互，模型思想的本質特征（通過建構數學內部以探析數學外部）得到彰顯。

（一）模型思想的概念范疇

對于數學的本質和意義象征，數學家和哲學家更傾向于“數學是模式的科學”這一定義，因為模式（Pattern）是人們從生產經驗和生活經驗中抽象、概括出來的核心知識體系，是解決一類問題的方法論，并上升歸納到了理論的高度。模型（Model）是與模式較為接近又極容易混淆的概念，尤其是兩者同時出現時，多認為模型是從屬于具體事物或對象的，不具備模式所具有的普適性。通常我們認為，數學內部的數量關系和空間形式，或以數學的方式（包括數學符號語言和數學推理方式等）描述現實世界、事物的特征，都謂之數學模型。談及數學模型，我們總會聯想到它在其他學科和領域中的應用，而很少關注數學本身的發現和發展過程。實質上，從模型到模型思想的提煉過程不自覺地擴大了模型的概念外延。之所以強調模型思想而非模型方法，是因為盡管它們同屬于認識問題的不同層次，但思想一般被視為一般性的較高層次的方法，與數學思維緊密相關。模型，若視作一個概念，模型思想則是建構程序化、直觀化、可視化的概念體系的過程。于構建模式而言，模型能作為必備的前提條件；于問題解決而言，模型又能充當“粗糙”的表征形式。模型的價值得到了重賦，普適性得到了提升。《義務教育數學課程標準（2022年版）》在“課程內容”部分就明確提出了“初步形成模型觀念”，并指出模型觀念有助于開展跨學科主題學習，感悟數學應用的普遍性。［2］理解了數學模型的現實性特點，也就自然理解了“數學是模式的科學”這一觀點。

如上所述，模型思想本身可能提煉于現實世界，但對模型思想的再理解過程又反過來豐富了模型思想的內涵。模型思想之所以被認定為是最基本的思想之一，是因為數學的發生與發展依賴于它且學習過數學的人具有該思維特性。［3］模型思想絕不僅僅只體現在我們所熟知的數學建模中。數學建模是用數學抽象的方法去作用現實問題，再具象到解決問題，本質是一種模型方法。模型思想貫穿于數學學習的各個階段，包括數學的發現和發展過程，也包括非現實數學問題的解決過程。如解題是一種很重要的數學學習方式，解題教學本質上是運用模型思想概括得到新的數學模型的過程。解題不是毫無目的的，解題活動的演進過程尤其是回顧與反思環節能投射出模型的“真身”。

（二）模型思想的本質內核

自然科學研究的一般路徑方法為“確定研究對象→設定研究框架→對研究內容、過程、方法、結論、聯系和應用等做科學的探索”。這一路徑方法同樣可作為數學研究的方法論，但應突出數學的方式。任何數學思想方法的凝練都應以數學的方式進行，數學的方式不是片面意義上的符號化、公理化、形式化和邏輯化，也不是純粹的數學化過程。數學是連接世界的橋梁，數學的方式應是數學化與現實化的交織與平衡，而模型思想正是這一普適數學方式的典范。習得數學的認知方式，本質上是對數學模型及其建構方略的理解與掌握。［4］

模型思想的精髓在于建模，從加強建模思想的角度深入思考，有助于發揮學科內容教學的育人價值。［5］具體地，建模思想的介入能使得籠統的、不太確定的教學過程變得有機相連、層層遞進，科學的解釋性和精確性也能得到充分的體現。［6］模型思想對應著應用能力，即不能孤立地看待學科內容及現實背景。學科內容根植現實背景（也包括其他學科背景），故此，弗賴登塔爾提出數學化的概念。他認為，按照層次劃分，數學與現實世界的關聯方式有兩種：一種是把情境問題表述為數學問題的直接聯系（即水平數學化），另一種是繼此之后的對已經符號化了的問題的進一步抽象化處理（即垂直數學化）。前者得到的數學模型是現實的、經驗的，后者得到的模型則是構造的、完善的。弗賴登塔爾認為數學起源于現實，也必須應用于現實，同時提出了現實化數學教育原則，即認定現實材料是學生認知結構中不可或缺的一部分。

模型是由數學內部走向外部世界的抽象，故模型本質上就是對具體（如問題解決、應用過程或學科體系）的抽象。［7］如此，鞏固了抽象的核心地位，也凸顯了模型的內涵。建立模型和模型運用是踐行模型思想的關鍵步驟，因而要對數學化和現實化過程同等重視，才能樹立正確的模型觀，這也是模型思想的本質內核。值得注意的是，模型雖是有效的數學認知方式或工具，但若泛用亦會損害數學的科學價值（如數學推理、數學證明、數學思維、數學理性等）［8］，不利于正確的數學觀的形成。

二、數學模型思想的價值解析

從數的概念的產生到如今龐大的現代數學體系的構建，數學模型填充了數學多彩的理性世界。數學建模驅使數學的車輪滾滾向前，讓數學與現實世界有效融通。基于數學模型對數學內部發展的積極促進作用，數學模型的教育功能也日漸凸顯。

（一）知識價值之充分彰顯

一百多年前斯賓塞對“什么知識最有價值”已有明確應答，那便是科學知識。赫斯特超越知識的表層分類，指出最有價值的知識是人類理解世界時形成的獨特的、基本的和邏輯上明確的認知知識的形式。這表明，知識的內在結構及聯系決定著知識的價值。數學作為一門研究數量、結構、變化及空間模型等的科學，一直是其他自然科學的語言與思維工具，數學概念、公式及理論等都已滲透到各學科中。較長一段時間里，數學被認為是真理、理性的化身，數學知識總被當作客觀與永恒。真理主義數學知識觀認為數學知識具有客觀性和確定性。數學知識源于經驗事實，數學發現與結論經邏輯推理而得。數學模型作為確定的、高度抽象化的數學知識，向人們傳遞著“以數學的方式說理”的信號，讓大家感受到數學模型內蘊的理性精神。依存于知識產生、發展的數學建模全過程承載著知識的獨特性、發展性、關聯性及功用性［9］，呈現了知識價值化的教育啟示。

知識的產生還源于人腦的主動創造。科學知識以實驗實證為主，更需要大腦的主觀參與。可誤主義數學觀對數學知識的真理性持批判態度，它認為一切知識包括科學知識都是學習者通過新舊經驗之間雙向的、反復的相互作用建構產生的。隨著學習者經驗的逐步積累及認識水平的提高，知識的價值會以認識上的確定性樣態變化顯現出來，如在已有確定性的基礎上思考不確定性從而建構新的確定性。從知識學習的階段上看，“知識之后”（Beyond Knowledge）體現出對符號知識的超越和追問，是對知識所隱含的思想、意義、思維方式的深層次追問。［10］綜合數學的學科特征以及知識的本質屬性來看，數學知識兼具確定性和不確定性。數學知識的不確定性主要體現在數學認知過程的差異性、階段性、模糊性、開放性以及數學結論不確定。數學建模基于對客觀存在的確定性對象的抽象或理想化，對不確定性的過程予以數學化的表征，體現了確定性與不確定性的辯證統一。

（二）學生發展之堅實奠定

作為重要的數學基本思想，模型思想承載了獨特、鮮明的學科育人價值，是名副其實的學科核心素養。［11］教學必須借助知識，通過學科知識發展學生的學科核心素養和學科關鍵能力，這是學科育人的根本訴求。作為一種重要的學科實踐活動，數學建模能促進知識向核心素養轉化。建模過程是由現象到本質、由模糊到精確的逐步明朗化過程，學生能通過觀察、分析、抽象與概括等數學活動收獲積極的情感體驗。建模中通過對現實進行解讀與剖析，數學知識的應用價值得以體現，學生能深刻感受到數學模型與現實世界的連通關系，如定量化分析與建模可用于現代化戰爭，數論用于信息的加密與解密，生命現象可利用數學模型進行研究等。于此角度看，數學模型可作為認識、理解甚至改造現實世界的途徑或手段。

數學模型思想的滲透和運用能增進數學理解，發展學生的數學思維。模型的適用性和普適性往往受制于知識的理解程度。斯根普將理解的類型劃分為工具性理解和關系性理解，后者指向知識的應用、概念間的聯結以及新問題的解決，有利于數學思想方法的揭示與提煉以及學習者自身認知結構的形成。［12］因而，模型思想有利于促進學生的數學理解。屬性上的存同性表明任一事物都可作為另一事物的模型，模型思想的普適性涵蓋所有學科和一切知識，這與吉哈德·格爾布曼提出的“可模型化性”（Modellability）概念高度一致，即萬物都可模型化。作為一種靜態的、抽象概括的結論，模型思想實現了自我增值與超越，既是學生獲取數學知識的主觀手段，又是數學學習的思維方式和行為方式。模型化的過程本質上是一種數學化的過程，有助于結構性思維的形成，能夠促進思維能力逐步提升和思維水平動態發展。

三、數學模型思想的培養策略

數學模型思想隸屬于數學思想方法范疇，其培養與發展有賴于教學中的相機滲透。模型思想作為數學思想方法之一，可沿用數學活動中滲透、反思總結中概括、運用訓練中鞏固、相互聯系中發展［13］的培育策略，主要體現在以下方面：

（一）概括經驗，完備數學模式思維

作為一種目的明確性、范圍約束性及過程簡縮性的較為穩定的思維樣式，數學模型思想為數學模式思維的完備提供了意識和方法上的準備。數學模式思維，是指數學知識結構、數學思維方式、數學思維方法及特定數形關系相互統一、有機組合的認知圖式的動態系統。［14］概括地說，數學模式思維的完備要借助認知工具及方式作用于知識載體，數學思維活動經驗尤為重要。那么，經驗從何而來、如何積累？

學生學習數學過程中的體驗、感悟，以及運用的學習方式、養成的學習習慣等都屬于學習經驗的范疇，它們也應是思維及認識的源頭。杜威認為，只有當前后相關經驗連續作用，直接經驗與間接經驗產生交互時，經驗才具備教育價值。僵死的經驗在一定程度上制約了學生的學習發展上限，故經驗需要活化。因而數學課程標準將早前的“雙基”發展為“四基”，增加了基本思想和基本活動經驗。基本活動經驗是個體在經歷了具體的活動之后留下的，具有個體特色的內容，既有感覺知覺的內容，也有反省之后形成的經驗。［15］此外，學生要從已有經驗出發，積累和歸納基本活動經驗。因此，培養學生的抽象能力和問題提出能力是發展模型思維的第一步。［16］經驗得以活化還不夠，因為此時的經驗仍是雜亂無章的，是難以直接調用的，所以還需要歸納與概括。依據個別對象的表面特征想象、概括并推斷類似對象的同性特征，是概括的常用手段。經驗的概括過程是一個不斷修正結論的過程，是一個加深理解的過程，而非一個“命題為真”的概括過程。

隨著有意義的經驗細節的填充，學科的結構也終將“浮現水面”，這是發現式學習的建構模式，同時也是模式化思維的形成機制。模式化思維，通常我們將它近似于結構化思維。結構化思維是指一個人在面對工作任務或者難題時能從多個側面進行思考，深刻分析問題出現的原因，系統制訂行動方案，并采取恰當的手段使工作得以高效率開展，取得高績效。結構化思維是人為地對研究對象進行結構上的劃分，如簡單地拆分與組合，使研究對象不存在結構上的特征。結構化思維的主要方式是歸納法與演繹法的組合運用。結構化思維通過直接作用于思維的序列狀態，使思維更加有序、深刻和全面。一般來說，模型越簡潔精煉，結構化程度越高，模型的生命力也就越旺盛。

（二）善用教材，深化數學應用意識

在教材中尋找現實材料作為理解數學知識的支撐已成為不爭的事實，因為教材中的材料具有豐富的現實意義。通常，教學內容離學生生活越近，作用效果最好；反之，學生的學習興趣不能被喚起，知識就難以被理解與掌握。教材精選了具有廣泛應用性、實踐性的核心主干知識，尤其重視數學知識的應用性。如教材每一章的序言，通常都選用實際問題作為引子，以體現知識的實用價值；教材的例題、習題中的實際問題的占比也較高，尤其是“探究與發現”“閱讀與思考”“信息技術應用”等欄目。利用已有數學模型解決實際問題，模型要符合反應性原則，即能返回解釋現實原型問題的解，或者說要理解實際問題與模型。學生走進教材，便是將自己的數學世界與現實數學世界融通，“用數學”的意識才會自覺增強。

除與生活實際直接相關聯的現實模型，教材中更多的是抽象性更高的數學模型，如三個基本初等函數模型（指數函數、對數函數、冪函數）、特殊數列模型（等差數列、等比數列）、以周期性為特色的三角函數模型、兩種等可能概率模型（古典概型、幾何概型）等。有些數學概念的得到便是一個建模的過程，如函數與導數的概念；甚至有些例題、習題的問題背景都是表征十分明顯的模型，如立體幾何中四個面都是直角的三棱錐模型等。

值得注意的是，杜威的“教材心理化”警示我們，在數學應用層面，教師應讓學生看到教材經驗只是學生經驗的一部分，不是將教材強行塞給他們，而是指導他們主動走向教材。總而言之，教師只有立足于課堂，全方位審視教材內容，注重模型的示范和警示作用，學生的模型觀才會日益增強，數學理解水平才能真正提升。

（三）提升素養，夯實數學建模基礎

數學建模屬于高階數學思維活動，是模型思想的終極輸出。數學建模始于情境解讀（重要的數學建模素養評價指標［17］），而對已有模型的選用、優化或修正，皆離不開堅實的數學基礎以及邏輯推理等素養。高中數學六大核心素養與其他一般素養（或非核心素養）存在區別，因而還要重視一般性的學科觀念，如“套路意識”與“聯變意識”。

創新從來不是從無到有，“不破不立”也必須存在“破”的對象，因此需要對已有的材料有清醒的認識并加以模式化，這便是“套路”。王尚志曾對數學建模進行了這樣的概括：路徑為“實物情境—實際問題—數學問題—數學模型—數學結果”，要判斷結果是否合乎實際，不符合實際則需要進行反復修正。章建躍提出，注重“基本套路”才是好的數學教學。“基本套路”的歸納與概括依據所研究的數學對象而定，旨在節約研究的成本，形成思維習慣，并為創造新思路、新方法奠定基礎。“基本套路”也同樣適用于解題。解題需要有優先意識，優先考慮解題的思路與方向，如定性優先于定量研究，估算優先于精算，挖掘隱含條件優先于運用顯性條件，梳理幾何關系優先于代數表達。對優先的考量實際上遵循一種“基本套路”——先特殊性質再一般性質，因為前者的適用范圍較后者窄，針對性更強。加之，“套路”是對數學學習過程中思路、方法等的概括，本身需要較強的抽象能力；“套路”作為教學示范材料，具有可遷移性，是新的“套路”的先行組織者。

知識的價值在于能釋義、證實或證偽，能互相轉化。知識不能也絕不應成為孤島，聯通知識不僅僅靠知識本身，還要靠知識背后的思想方法。對于數學建模而言，探索用知識A解決問題的過程，往往要借助知識B作為轉化橋梁或分析工具，聯想到數學思想方法C又會將問題的研究方向帶到另一細節甚至是其他數學分支。從這個意義上講，多元聯系、多維轉化是數學建模的思維工具。

參考文獻：

［1］喻平.論內隱性數學課程資源［J］.中國教育學刊，2013（7）：59-63.

［2］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022：10.

［3］史寧中. 漫談數學的基本思想［J］. 數學教育學報，2011（4）：8.

［4］弗賴登塔爾. 作為教育任務的教學［M］. 陳昌平，唐瑞芬，等編譯. 上海：上海教育出版社，1995.

［5］章建躍，李柏青，金克勤，等. 體現函數建模思想 加強信息技術應用：“函數y=sin（[ωx+φ]）”的修訂研究報告［J］. 數學通報，2015（8）：1-8.

［6］周龍虎，劉師妤. 對模型教學以及探求建模的一些思考［J］. 數學通報，2017（9）：30-34，54.

［7］鄭義富. 關于數學精神、數學思想與數學素養的辨析［J］. 課程·教材·教法，2021（7）：112-118.

［8］楊騫，涂榮豹. 略論數學教育的科學價值［J］. 中國教育學刊，2002（4）：33-35.

［9］徐章韜. 數學單元小結課的認識及其教學設計［J］.課程·教材·教法，2016（12）：61-65.

［10］郭元祥. 論深度教學：源起、基礎與理念［J］. 教育研究與實驗，2017（3）：1-11.

［11］曹培英. 從學科核心素養與學科育人價值看數學基本思想［J］. 課程·教材·教法，2015（9）：40-43，48.

［12］任偉芳，偶偉國，龔輝，等.“工具性理解”“關系性理解”和“創新性理解”［J］. 數學教育學報，2014（4）：69-73.

［13］吳增生. 數學思想方法及其教學策略初探［J］. 數學教育學報，2014（3）：11-15.

［14］曹平. 數學模式思維探析［J］. 中國教育學刊，1992（4）：34-37.

［15］孔凡哲. 基本活動經驗的含義、成分與課程教學價值［J］. 課程·教材·教法，2009（3）：33-38.

［16］楊慧娟，柴曉龍，馬勇軍. 如何發展學生的數學模型思想：一節數學探究課引發的深思［J］. 數學通報，2016（10）：33-35，61.

［17］蘇圣奎，陳清華. 發揮評價導向功能，促進創新人才培養：以高中生數學建模素養評價指標體系構建為例［J］.中國教育學刊，2022（3）：59-63.

（責任編輯：潘安）

【摘 要】數學模型是指用數學符號語言近似地刻畫或概括現實世界的結構化手段，數學模型思想則是內蘊其中并促使研究對象抽象化、結構化的一般化思想方法。作為數學與現實世界的“連通器”及數學與其他自然學科發展的“推進器”，數學模型的社會價值和教育價值日漸凸顯。在數學教學中滲透、培育數學模型思想能有效彰顯數學知識的價值并奠定學生終身發展的基石。概括經驗以助推模式化思維，立足教材以深化數學應用意識，提升素養為建模夯實基礎等策略可科學有效地培養學生的數學模型觀，發展學生的學科核心素養，為未來發展奠定基礎。

【關鍵詞】模型思想；數學建模；內涵詮釋；價值解析；實踐策略

【作者簡介】劉師妤，講師，主要從事數學教育與教師教育研究；孫虎，高級教師，主要從事數學教學論研究；周龍虎，在讀博士研究生，華中師范大學第一附屬中學教師，主要從事數學教學論研究；徐章韜（通訊作者），教授，博士生導師，主要從事數學教育及教師知識研究。

【基金項目】教育部人文社會科學研究規劃基金項目“中小學核心素養測評的模型建構與實證研究”（19YJA880012）；中國教育學會2021年度教育科研中小學德育專項課題“中小學數學學科德育教學：方法與路徑”（21DY090618ZB）；湖北省2023年教育科學規劃一般課題“基于項目式學習的高中數學主題式教學研究”（2023GB077）