基于Matlab/Simscape的飛輪倒立擺仿真實驗教學設計

摘 要 針對自動控制原理硬件實驗安全性低、實驗成本高的問題，提出一種虛擬仿真實驗的方法，利用Simscape和Solidworks聯合搭建一個飛輪倒立擺系統，并設計PID控制器，實現對飛輪倒立擺系統的控制，通過仿真可直接觀察飛輪倒立擺的運動情況。教學實踐表明，該虛擬仿真實驗為學生提供了更好的學習體驗，改善了自動控制原理課程的實驗環境，提高了學生的學習興趣，對于提高教學質量具有重要意義。

關鍵詞 自動控制原理；Matlab/Simscape；Solidworks；飛輪倒立擺系統；仿真實驗

中圖分類號：G642.423 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2024）20-0-05

DOI：10.3969/j.issn.1671-489X.2024.20.125

0 引言

自動控制原理課程的單純硬件實驗因外部環境多變，使得結果偏差增加，同時受限于設備和實驗材料的成本，部分學校對實驗的完成度不高。這兩個因素的共同作用限制了該課程單純硬件實驗的精度和多樣性[1-2]。

基于以上問題，在現代化、信息化的大背景下，為提高自動控制原理課程單純硬件實驗的準確性和多樣性，國內眾多高校開始探索基于Matlab/Simscape的虛擬仿真實驗在教學中的應用[3]。Simscape利用基于數學方程的仿真方法，使得仿真過程更加高效，通過數值計算，還可以獲得更加準確的仿真結果，并以此評估系統的性能。Simscape與Solidworks的聯合仿真可以實現更全面的系統級仿真和設計。用戶在Solidworks中建立機械系統的三維模型，可通過Simscape Multibody Link插件將該三維模型直接導入Matlab/Simulink進行仿真和控制設計，極大地提高了工作效率[4]。

飛輪倒立擺是一種由慣性飛輪作為驅動裝置的一階倒立擺，其控制是一類經典的非線性不穩定系統的控制問題。在控制類課程中圍繞飛輪倒立擺開展教學實踐，有以下優勢：

1）飛輪倒立擺常被用來驗證控制算法的有效性和穩定性，并且物理結構簡單，易于仿真和物理實現，是理論指導實踐，指導學生學以致用較好的教學平臺；

2）飛輪倒立擺是一個具有明顯物理特征的實驗對象，學生可以直接觀察其運動狀態和變化，有助于理解控制系統的工作原理。

本文基于Matlab/Simscape仿真平臺，聯合Solidworks搭建飛輪倒立擺實驗教學仿真系統，同時開發PID控制器用以實現對倒立擺的仿真調控，仿真教學平臺可以為學生提供直觀的實驗效果，從而提高教學質量。設

1 飛輪倒立擺系統基本原理和

飛輪倒立擺系統是一種經典的非線性控制系統，常用于教育和研究領域。它由一個豎直安裝的飛輪、一個連接在飛輪上的倒立擺桿、底盤三部分組成。在飛輪倒立擺系統中，飛輪通過一個電機驅動，可以高速旋轉。倒立擺桿通過一個鉸鏈連接在飛輪上，可在豎直方向上旋轉。飛輪倒立擺系統是一種不穩定的系統，其控制的基本原理是依靠角動量守恒定律，通過調控高速旋轉的飛輪在豎直平面內形成的反力矩可使擺桿最終穩定在期望輸出位置，從而達到系統的動態平衡。飛輪倒立擺系統實物圖如圖1所示。

2 飛輪倒立擺的數學建模

為簡化數學模型，忽略飛輪倒立擺系統在運動過程中的空氣阻力，視擺桿為質量均勻的細長桿，飛輪為質量集中于邊緣的圓環，擺桿、飛輪均為剛體，且兩者在同一平面內。如圖2所示，在豎直平面上取直角坐標系O-XY。飛輪的質量為m1，重心為O1，位置坐標為（a1，b1），飛輪的旋轉角度為φ，飛輪的轉動角速度為ω，飛輪繞質心O1點的轉動慣量為P1。擺桿的質量為m2，重心為O2，其位置坐標為（a2，b2），擺桿可繞原點O進行轉動，轉動慣量為P2。擺桿與水平方向夾角為θ[5-6]，原點O到原點O2的距離為x1，原點O2到原點O1的距離為x2。

利用拉格朗日方程推導運動學方程[7-8]：

（1）

其中L為拉格朗日算子，q為系統的廣義坐標，T為系統的動能，V為系統的勢能。

系統的總動能：

T=TO1+TO2 （2）

式中TO1和TO2分別為擺桿和飛輪的動能。

飛輪的動能：

（3）

擺桿的動能：

（4）

飛輪的勢能：

VO1=m1g（x1+x2）cos θ （5）

擺桿的勢能：

VO2=m2gx1cos θ （6）

最終得出飛輪倒立擺系統的數學模型：

（7）

其中：a=m1x1+4m2x12+P2，b=（m1+2m2）gx1，c1為飛輪繞轉軸O1轉動的摩擦阻力矩系數，c2為擺桿繞轉軸O2轉動的摩擦阻力矩系數。

3 基于Matlab/Simscape的物理仿真模型

建立

Solidworks與Simscape的聯合仿真：首先在

Solidworks中對飛輪倒立擺系統進行三維建模，接

著在Solidworks中通過插件Simscape Multibody Link將飛輪倒立擺系統的三維模型導入Simscape，

建立物理仿真模型如圖3所示。

圖中RIGID模塊是一個用于剛體動力學仿真的軟件模塊，可以模擬剛體在力的作用下的運動和相互作用。RIGID模塊可以用于模擬各種物理系統，如機械系統、車輛運動、物體碰撞等。通過對剛體的運動和相互作用進行建模和仿真，可以幫助學生更好地理解和預測物體的行為。

Revolute模塊是一個用于模擬旋轉關節的軟件模塊，可以模擬旋轉關節的運動和力學特性，以及與其他物體的相互作用。通過該模塊，可以對旋轉關節的運動進行建模和仿真，以便更好地理解和預測機械系統的行為。Revolute模塊通常用于機械工程、機器人學和物理仿真等領域。

圖3中，x1_RIGID模塊、x1_RIGID1模塊、x2_RIGID模塊分別代表飛輪倒立擺系統的底座、擺桿、飛輪三部分，它們之間分別通過鉸鏈模塊Revolute1、Revolute連接。

模塊Mechanism Configuration表示飛輪倒立擺機構配置僅受均勻引力，設置重力加速度為g=9.806 65 m/s2。

通過Simscape導入Solidworks制作的三維模型后生成的可視化仿真實驗平臺如圖4所示，該模型可以動態顯示倒立擺的姿態和飛輪的旋轉狀態，并可與外界信號進行交聯。

4 PID控制仿真實驗

比例—積分—微分（PID）控制是一種經典的自動控制算法。PID控制理論簡單、穩定性好、精確性高[9]，它通過對系統的誤差信號進行比例（P）、積分（I）和微分（D）的運算，產生相應的輸出，達到預期目標。在PID控制中，比例項可以提供快速的響應和較小的超調量，積分項能夠消除靜態誤差并增強系統的穩定性，微分項則能夠抑制系統的振蕩并提高系統的響應速度。PID控制器的輸出公式為：

（8）

其中：Kp是比例增益，Ki是積分增益，Kd是微分增益。e（t）是期望值與實際值之間的差異。

合理地調節Kp、Ki、Kd這三個參數，可以實現對系統動態特性的優化，使得系統更好地滿足控制要求。在Matlab/Simulink環境下，搭建飛輪倒立擺系統PID平衡控制仿真模塊如圖5所示。

PID控制器根據系統的輸出值與期望值之間的誤差信號，使用比例、積分和微分運算產生控制輸出，作用于飛輪倒立擺系統，進而影響系統的行為，使系統的輸出角度逼近期望值。令飛輪倒立擺系統的輸出角度為δ，當δ=90°時系統響應曲線如圖6所示。

當δ=95°時系統響應曲線如圖7所示。

由以上仿真結果可知，基于PID控制能很好地實現飛輪倒立擺系統的平衡。且飛輪倒立擺輸出角度δ=95°相比于δ=90°，擺桿在迅速向平衡位置靠攏的過程中，最大超調量更小，峰值時間更短，即系統的響應更加平穩和快速。

PID控制器的設計和參數整定在自動化類課程中一直是知識的重難點。通過本仿真系統，學生可以自行調整控制參數，并實時看到實際的控制效

果[10]。同時，對于線性系統來說，需要輸入指令在小角度下才能滿足線性化要求，當輸入指令超出可線性化范圍后，系統出現失穩現象，因此該系統還能借助物理可視化效果幫助學生對線性系統產生直觀認識。不同輸入指令下，飛輪倒立擺系統控制案例可視化效果如圖8所示。

5 結束語

為了提高自動控制原理課程的教學質量，將基于Matlab/Simscape的自動控制虛擬實驗系統應用于教學實踐，利用Solidworks與Simscape的聯合仿真建立飛輪倒立擺物理仿真模型并向學生展示基于PID控制器的飛輪倒立擺系統在不同輸入指令下的實際控制效果。相比于傳統的圖解法，這種教學方式的可視化效果更好，學生可以直觀地觀察擺桿、飛輪的運動狀況，還可以改變仿真參數得到不同的運動參數變化，有利于學生對課程知識的理解和

掌握。

6 參考文獻

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[9] 高晉，李暉，楊秀建.7自由度半主動懸架整車模型PID

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1108.1554.020.html.

[10] 金晶，梁宗輝，路登明.PID算法在電液執行機構中的應用研究[J].液壓氣動與密封，2023，43（10）：50-54.

*項目來源：內蒙古科技大學教學改革項目“‘一核兩課四融合’驅動的機械類項目案例式‘結點課程’課程思政育人新范式研究”（JY2023020）；第三期廣州中望龍騰軟件有限公司供需對接就業育人項目（2024010594552）；內蒙古自治區教育科學研究“十四五”規劃課題（NGJGH2022373）；教育部產學合作協同育人項目“工程教育和新工科建設背景下機電液一體化教師能力培養計劃”（230803122172127）。

作者簡介：孫國鑫，博士，副教授。