ChatGPT對中學數學建模教育的重構

在人工智能技術背景下，中學數學建模教育正遭遇前所未有的革新和挑戰．人工智能的迅猛發展，特別是生成式人工智能技術的興起，如ChatGPT的問世，已經開始重塑數學建模的教育理念和方法．這種技術以其友好的交互性和強大的學習能力，不僅吸引了廣泛的社會關注，也在教育領域引發了深入的探討[1]．一些教育工作者已經將ChatGPT應用于材料科學[2]、職業英語[3]、臨床醫學[4]、計算機編程[5]、數學教育[7]等學科的教學，盡管對此技術的接受程度不盡相同，但是將人工智能技術應用于學科教學往往被認為是可行且有效的[7]．在數學建模教育中，ChatGPT等工具的應用理應成為一種創新的教學資源，能夠為學生提供更為直觀、互動的學習體驗[9]．隨著這些技術在教育領域的深入應用，預計將進一步推動數學建模教育的發展，帶來更加深刻和持久的教育變革．

近年來，在人工智能背景下的數學建模教育，特別是將人工智能技術融入數學建模教學中，因其創新性和實用性受到越來越多教育工作者的重視[8，9]．然而，教師融合人工智能開展數學建模教學，常面臨如何有效整合人工智能技術和數學思想方法的挑戰．在這種背景下，考慮運用ChatGPT等人工智能工具來輔助教學設計，探索其在提升教學效果上的潛力是一種有益的嘗試[10，11]．

本文選擇中學數學“鉛球投遠”的數學建模問題作為嘗試對象，該問題涉及到物理學、運動學和數學等多學科知識，是考察學生應用數學建模解決實際問題能力的一個良好實例．通過“鉛球投遠”的數學建模案例，可以發現一方面將ChatGPT應用于數學建模教學是可行的，它可以在數學建模的各個過程中為師生提供有用的參考，有效提高了建模的效率；另一方面完全依靠ChatGPT目前是不可能的，ChatGPT的建議經常包含知識性錯誤和推理錯誤，而且不會就這些錯誤信息提供提示，不過在不斷質疑后ChatGPT通常可以提供合理的解答．由此可見，在質疑和批判中使用ChatGPT解題，可以培養師生的批判性思維和創新精神，最終實現“立德樹人”的教育目標，推動傳統數學教學方式的變革．

1 數學建模的教學流程

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，數學建模對于培養中學生的數學核心素養具有無法替代的重要作用，在中學階段創設與現行教材同步的數學建模案例和實踐活動是一個嶄新的教學研究課題．中國的課程教學改革強調發展學生的核心素養，旨在培養學生的綜合能力，尤其是在解決實際問題、批判性思維、創新思維和終身學習能力方面．數學建模作為一種將數學知識與實際問題相結合的學習方法，對于培養中學生的數學核心素養具有重要作用．

一般認為，數學建模的教學流程應該包括：

（1）提出問題．從實際問題和情景入手，激發學生的興趣和好奇心．

（2）建立模型．使用數學的方法和工具來表示問題，這一階段包括變量的選擇、假設的建立和方程的構建．

（3）模型求解．應用各種數學知識、結構和技巧，求解數學模型，這可能包括符號計算、計算機編程、結果展示等方法．

（4）模型驗證．將數學模型的結果應用于建模問題或者實際生活中，衡量建模結果的有效性，必要時對模型的假設進行調整和優化．

（5）結果解釋．分析模型求解的結果，討論其在實際問題中的應用，以及模型的局限性和可能的改進方向．

（6）形成報告．將建模工作形成科學規范的學術論文，包括模型建立、求解過程和結論，同時評價模型的優缺點．

通過上述教學流程，數學建模不僅能夠深化學生對數學知識的理解和應用，還能有效地提升學生的核心素養，為他們的終身學習和未來職業生涯奠定堅實的基礎．

2 基于ChatGPT的數學建模——以鉛球擲遠為例

2.1 問題描述

鉛球擲遠起源于14世紀歐洲炮兵推擲炮彈的游戲和比賽，早在1896年第1屆奧運會上就被列為比賽項目．鉛球擲遠可以看作是一個優化問題，其目標是最大化鉛球的飛行距離．需要考慮的主要因素包括投擲角度θ、鉛球的初速度v以及投擲者的出手高度h．重力加速度g等其他因素是固定的參數．為簡化模型，忽略在短暫的飛行中鉛球所受的阻力．顯然，投擲角度θ、鉛球的初速度v以及投擲者的出手高度h對鉛球的飛行軌跡和最終落點有顯著影響．運動員投擲鉛球的初速度和出手高度短期很難改變，因此投擲距離可以看作是投擲角度的函數（）dθ．

2.2 數學建模

向ChatGPT提出“一個1.8米的人扔鉛球，出手角度要多大，才能使得鉛球扔得足夠遠”的問題，得到如下回答：“扔鉛球的最遠距離與出手角度有關，理論上，忽略空氣阻力和其他外部因素時，理想的出手角度通常認為是45度．這是因為在這個角度，鉛球的初始速度被均等地分配到了水平和垂直方向，從而最大化了鉛球的水平位移．”

進一步追問：“忽略空氣阻力，如何證明45是最優的？”ChatGPT給出了正確的解答：要得到拋體運動的最遠距離公式，我們可以從基本的運動方程出發，考慮到拋體運動可以分解為水平方向和垂直方向的兩個獨立運動．以下是推導過程：

如圖1所示，斜拋運動的基本定律是

x=vtcosθ，y=h+vtsinθ-1/2gt2，其中cosvθ是出手速度的水平分速度，sinvθ是出手速度的豎直分速度．

水平運動：在沒有空氣阻力的理想情況下，水平方向的速度vx=vcosθ是恒定的；

垂直運動：垂直方向的運動受到重力的影響，可以使用運動學方程來描述．投擲物返回地面的時間t可以通過求解方程vt sinθ-gt2/2=0來獲得（不考慮初始高度），解得t=2vsinθ/g.

水平位移（距離）：水平位移可以通過水平速度vx乘以時間t得到：

這個公式表明，投擲距離d依賴于sin2θ．最大化d在2θ=90°時發生．因此，在理想情況下，45度的投擲角度會使得拋體達到最遠距離．

ChatGPT給出如圖1所示情景的正確解答．這說明ChatGPT可以根據問題情景給出恰當的數學模型．此外，ChatGPT還可靈活處理求解一元二次方程、三角函數變換等基本數學運算．ChatGPT這些能力減輕了人們尋找模型和符號計算的負擔，和這些能力相比，判斷模型的適用性顯得尤為重要，而這可能是ChatGPT目前還無法勝任的．

2.3 模型改進

進一步提出要求：“上述推導必須考慮扔鉛球的出手高度”，ChatGPT給出了如圖2所示的正確解答：

垂直運動考慮到出手高度h，垂直運動方程為h+vt sinθ-gt2/2=0，則

水平位移（距離） 水平位移可以通過水平速度vx乘以時間t得到：

這個公式比忽略出手高度時的公式更加復雜，因為它包括了初始高度和初始速度方向的影響．由于包含了平方根，這個公式不容易直接分析得出最優角度．然而，可以通過數學軟件或編程方法來數值求解這個公式，找出在特定初始速度和出手高度下使距離最遠的出手角度．如果需要，我可以幫助進行這種數值求解，以找到在給定條件下的最優角度．

ChatGPT給出了最優投擲距離關于d（θ）的函數表達式，但是卻指出“公式不容易直接分析得出最優角度”，轉而建議我們進行數值求解．這說明ChatGPT的邏輯分析能力還略顯不足，而編寫程序解決問題是ChatGPT的強項．為了讓ChatGPT通過解析方法，而不是數值方法求出最優角度，還需要進一步與ChatGPT交互．

2.4 模型求解

提示ChatGPT“直接計算d（θ）關于θ的導數”，ChatGPT立刻理解了用戶的需求，即通過求解d（θ）的一階導數并令之為0，通過求解該方程來計算最優出手角度．ChatGPT進行了符號運算，并且正確地計算了

它隨后指出：這個表達式包含了三角函數、平方根以及它們的組合，這使得方程d'（θ）=0的解非常復雜．為求解這個方程，可能需要借助數值方法．

考慮到d'（θ）中θ均以sinθ的形式出現，因此進一步提示ChatGPT“如果以sinθ為未知數，能求出sinθ嗎？”ChatGPT能夠理解用戶的提示，詳細列出了求解的過程，最終得到

將這個結果代入d（θ）的表達式，并適當提醒ChatGPT進行化簡，最終ChatGPT給出了最優的投擲距離

由此可見，ChatGPT在處理數學運算時，只能采用機械的算法求解關于自變量的方程，并且更加傾向于利用具有現成模式的編程算法解決問題，未能根據方程的特殊之處，例如將某個關于自變量的表達式視為整體，隨機應變地解答問題．而這種能力恰恰是人類最可貴的思維品質．

3 人工智能對數學建模教育的影響

綜上，類似ChatGPT這樣的人工智能工具在數學建模過程中能夠為學習者提供較大幫助，但存在較大的局限性．對此，我們需要注意：第一，在反思中選擇ChatGPT提供的解題框架．面對海量的互聯網知識，學習者往往難以迅速找到與解題相關的模型，而ChatGPT擁有強大的數據庫使得它能快速為學習者提供恰當的模型．學習者可以根據ChatGPT給出的解答，系統閱讀相關文獻，進而根據自己的理解，指導ChatGPT提供更加準確的模型．第二，在批判中改進ChatGPT的解答．ChatGPT可以高效地提供解答，但也存在形式機械、缺少個性化等問題．因此，教師在利用ChatGPT解答時，應該發揮個人的主觀能動性，根據題目的特殊性加入個人的理解，為ChatGPT提供可行的解題路徑．

教育的本質是創新，教師與ChatGPT最大的區別正在于創新．ChatGPT可以成為學習者開展數學建模活動的好幫手，幫助學習者更快地搜索已有的研究材料，確定解題路徑．學習者則應該將精力集中在路徑創新和思維突破，重構式地設計建模過程，最終與ChatGPT形成合力，完美完成數學建模過程．

參考文獻

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（本文系福建省教育科學“十四五”規劃2023年度“協同創新”專項課題“基于多學科融合和四位一體的師范生數學建模課程體系建設”（課題編號：Fjxczx23-376） 、2023年本科高校教育教學研究項目（課題編號：FBJY20230201）、泉州師范學院國家級大學生創新創業訓練計劃項目資助（課題編號：202310399004）和高等學校大學數學教學研究與發展中心項目（課題編號：CMC20240622）的研究成果之一）