基于跨學科學習的初三數學測量方案的探究性學習

1 我們應該怎么跨學科

崔允漷教授指出，跨學科主題學習是以素養培育為指向，整合兩種或兩種以上學科的知識、觀念、思維方式與方法等學習主題，考查與探究主題之下問題的一種兼具綜合性與探究性的學習方式．其既可以應用在學科課程中以推進對學科特定育人價值的實現，也可以應用在綜合實踐活動課程或其他校本課程中推進學生綜合素養的發展，無論哪種形式，都要牢牢把握數學的核心知識結構、關鍵能力形成以及學科思維發展．因此，筆者選擇以福建省2023年中考第23題為例，開展測量的跨學科探究性學習．具體開展過程如下：

1.1 設置問題驅動

古希臘數學家泰勒斯被國王提問：“你能測出金字塔的高度嗎？”在古希臘還沒有互聯網，也沒有精確的測量儀器，泰勒斯是如何測量的呢？在同學們的生活中，校園里的地標建筑到底有多高呢？樹影的長短與方向能告訴我們一些什么？從古至今，人們一直在探索測量高度的方式，其實我們完全可以運用自己現有的知識來尋找這些問題的答案．

設計意圖 經過學生對問題驅動的回答與交流，進一步了解學生對于測量的知識儲備量，形成初步的知識結構，及時了解和掌握學情，以及帶著問題思考如何進行測量以及怎樣建立數學模型解決問題．

1.2 創設真實情境

（2023年福建省中考·23改編）閱讀下列材料，回答問題：

任務 測量一個扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度AB遠大于南北走向的最大寬度，如圖1．工具：一把皮尺，皮尺的功能是直接測量任意可到達的兩點間的距離（這兩點間的距離不大于皮尺的測量長度）；

思考 如果不能直接測量AB的長度，請問你可以設計出怎樣的測量方案求出AB的長度？

設計意圖 在跨學科探究性學習中，教師提供學生可供閱讀，旨在激發興趣，提升動力，以終為始的問題情境，創設符合探究發現，評價創新的問題情境，學生明確問題，發現目標，合作探究．

1.3 引領合作探究

師 情境中的問題是什么？皮尺的功能是什么？

生 是間接測量兩點間的距離，而皮尺的功能只是測量．

師 你有什么方法可以進行測量？模型是什么？核心知識是什么？

生1 可以根據線段相等的數量關系，模型是全等三角形，即構造全等三角形ΔAOB≌ΔCOD（如圖3），即得AB=CD，可直接測出CD，完成任務——測量AB的長度；

生2 還可以根據線段之間的比值計算，構造相似三角形ΔACB∽ΔMCN（如圖4），線段MN與線段AB成相似比，通過計算求出AB的長度．

設計意圖 在測量工具確定的情況下，分析明確工具的功能，然后再提問學生如果不能直接測量，那我們可以轉化為先測量什么？然后根據推理得到結論？學生根據所學，提取全等以及相似等相關知識點應用于測量，并形成解決問題的活動經驗，不僅要確定問題的求解方向，還要提問測量的具體要求和步驟，并根據不同的幾何模型，畫出基本示意圖，并運用線段相等或比值計算、推理進行求解．既解決問題，又為后續內容的探究打好基礎、做好鋪墊．教師提問兼顧對初中核心知識的梳理，即全等三角形的性質與判定、相似三角形的性質與判定，其目的不僅能夠將初中階段有關的測量問題進行串聯，還能鍛煉學生在設計方案、選擇方案、模型求解的綜合能力，培養學生發散思維能力．

1.4 變式反思修改

（2023年福建省中考·23（1））工具：現在更換了一把皮尺（測量長度略小于AB），如圖5，其他要求不變；小明利用皮尺測量，求出了小水池的最大寬度AB，其測量過程如下：

（?。┰谛∷赝膺x點C，如圖6，測得AC= a（m），BC＝b（m）；

（ⅱ）分別在AC，BC，上測得CM=ａ／3（m），CN=b／3（m）；測得MN＝c（m），請求AB的長度．

設計意圖 引導學生審題過程中發現測量工具功能的變化，能夠類比學習選擇適當的方案，運用相似三角形的性質與判斷，設計對應的模型進行求解．并且在類比該測量方案的同時，完善具體的答題過程．每一個方案都包含核心知識，教師通過引領知識結構化探究，啟智潤心增慧，培養理性思維和創新精神，在變式教學中，進一步明確問題，猜測探求數學規律，解釋證明數學結論，促進主動、探索、求真意味的實踐能力提升．

1.5 實施知識遷移

（2023年福建省中考·23（2））小明在任務2的工具上新增了工具測角儀，測角儀的功能是測量角的大小，即在任一點O處，對其視線可及的P，Q兩點，可測得∠POQ的大小，如圖7～8．在任務2中小明僅利用皮尺，通過5次測量，求得AB．請你同時利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識求小水池的最大寬度，寫出你的測量及求解過程．要求：測量得到的長度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示；測量次數不超過4次（測量的幾何量能求出，且測量的次數最少，才能得滿分）．

設計意圖學生在閱讀完知識遷移中的問題后，明確測角儀的工作原理，結合皮尺進行測量方案的設計，感受到條件變化后帶來的核心知識的變換和測量方法的變化，又一次跨越學科知識，提升核心素養．教師通過學生的閱讀思考表達交流，洞見學生思維意思，引導分析、明理促悟、引發沖突，進一步在概念迷失和求知若渴的狀態下開展探究新知活動．

1.6 聚焦成果展示

師 你有什么方法？

生1 畫圖，如圖10，在線段AB外任意找一點C得到三角形ABC，確定可以測量的量只有三角及兩邊，根據三角形的內角和為180°可以進行優化，實際只需測量4個量（∠A=β，∠B=α，AC=b，BC=a）．

師 根據題意要求用字母表示數，你能夠寫出AB的長度的表達式嗎？

生1 AB+=AD+BD=ACcosβ+BCcosα．

師 你居然發現了高中的射影定理，非常了不起哦！

還有更優化的測量方法嗎？

生2 老師，我覺得可以在線段AB外任意找一點C構成任意三角形，觀察能夠測量∠C的大小，以及再用皮尺測量AC，BC長度，就能求出AB的長度，因為它符合三角形全等的SAS定理，確定三角形只需要三個要素，所以只需要3次測量就可以，即測量b，c和∠C=α，但是我不會表示AB的長度．

師 你回答得非常好，目前雖然不能求出線段AB的大小，但是你考上高中以后，就能用高中的知識解決了，……（一石激起千層浪，學生紛紛效仿其他可以求出AB的測量方案……）

生3 根據邊長與角度的關系，聯系銳角三角函數和勾股定理，只需測量3個量，即∠A=β，∠B=α，AC=b或AC=b，BC=a，∠A=β這兩種方案都可以計算出AB的長度．

設計意圖 通過活動的設計和實際的測量將實際問題轉化為數學問題，引導學生用解直角三角形的知識來求解AB的長度．學生在實際操作過程中會有不一樣的想法，追問能否將條件進行優化，使得測量次數更少？課堂過程展示對比方案的不同，分析不同的優勢，精心預設，精彩生成，使得該活動更能夠落實核心素養，達到活動育人的目標．

學生經過設計測量方案、模型建立、模型求解的過程后，展示對比優化條件，歸納任意構造的三角形，能夠已知3個確定的量即能求出所有的量，將初中的解直角三角形與高中的解三角形有效銜接，實現跨學段式的跨學科，為高中的知識作鋪墊，實現跨學科課堂的創造性的育人價值．

2 我們跨得如何

創設意境深遠新穎的問題情境，設置與之相關聯的問題驅動，實施跨學科知識遷移，調取解決問題的主體核心知識，引領開展小組合作探究，求變反思證明實施方案，解釋證明探究結論，展示跨界探究成果等等是開展跨學科學習的實施策略，那么，本節課跨學科學習跨得怎么樣？以及體現了怎樣的跨學科學習特征呢？

2.1 深度理解數學知識，體現跨學科主題學習的整合性

傳統的學科學習，專注于本學科知識點的歸納與整理，不重視不同學科之間的聯系，難以讓學生在創造性地解決問題過程中整合理解數學知識，因而，根據初三下學期學生的學情，創設以終為始的測量兩點間距離的跨學科主題學習活動，串聯初中階段較為常見的幾種測量方案，有助于復習全等三角形的性質與判定，復習相似三角形的性質與判定，復習線段與角度之間的邊角關系，并結合銳角三角函數或者勾股定理，系統復習有關解直角三角形的相關知識，還能夠通過優化整合，加深學生對核心知識的理解與運用，體現跨學科學習的價值．

2.2 綜合解決實際問題，體現跨學科主題學習的實踐性

跨學科主題學習要基于真實情境開展真實的實踐，獲得個性特征的活動經驗．本節經過任務式的課堂活動，學生掌握了以上幾種測量方案的同時，學以致用于實際生活中處處存在需要解決的數學問題．運用全等三角形的性質與判定的方案，測量方案的次數5次，數值對應相等；運用相似三角形的性質與判定的方案，測量方案的次數5次，但是測量的數據值進行了優化，數值變??；運用銳角三角函數或者勾股定理，結合解直角三角形的知識，測量次數可以降為4次，優化后只需3次．學生們在深刻理解本節課的內容后，明確實際問題中的測量工具的功能及其使用，舉一反三，觸類旁通，將復習的知識應用遷移到不同的實際問題當中，提升綜合解決實際問題的能力，體現跨學科主題學習的實踐性．

2.3 提升數學核心素養，體現跨學科學習的開放性

活動過程能夠培養學生通過合作，分析和比較不同解題方法的優劣，進而選擇合適的方法解決問題．教師在主題學習中，不斷調整設計與實施過程中的靈動資源，學生產生新的問題、提出新的方案．

這樣的學習能夠聯結其他學科或是促進初高中學習的銜接．通過任務驅動的教學方法，學生在解決實際問題的過程中不僅能夠理解和鞏固所學的數學知識，還能培養他們的問題解決能力、合作意識和創新思維．此外，跨學科探究性學習也能提升學生對數學學習的興趣和動力，有效地獲取知識與鞏固知識并形成結構化，實現了跨學科主題學習方式和育人方式的變革，體現跨學科學習的開放性．

參考文獻

[1]崔允漷，王少非，楊澄宇，等．新課程關鍵詞[M]．北京：北教育科學出版社，2023

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（本文系廈門市第二批名師工作室立項課題“基于核心素養落實的中學數學探究性學習實踐研究”（課題編號：XMMS2022031）的研究成果之一）