APOS理論下的三角函數(shù)教學(xué)研究

摘 要：數(shù)學(xué)概念具有抽象、精確的邏輯以及廣泛的實(shí)際運(yùn)用等特征，成為中學(xué)生必須掌握的關(guān)鍵內(nèi)容.在對(duì)中國(guó)傳統(tǒng)變式教學(xué)理論和西方著名的 APOS 理論進(jìn)行深度探討后，筆者嘗試將這兩種理論融合，構(gòu)建出一種基于APOS理論的三角函數(shù)概念變式教學(xué)模型.這種模式的目標(biāo)是協(xié)助學(xué)生理解三角函數(shù)的概念，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情，并提升他們的數(shù)學(xué)運(yùn)用技巧，塑造他們的數(shù)學(xué)思維模式．

關(guān)鍵詞：APOS理論；變式教學(xué)；三角函數(shù)

APOS理論是從活動(dòng)（Action）、過程（Process）、對(duì)象（Object）、圖式（Schema）四個(gè)階段來體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的思維過程，構(gòu)建了一種建設(shè)性的學(xué)習(xí)模式，旨在借由實(shí)際操作協(xié)助學(xué)生領(lǐng)悟并熟練運(yùn)用知識(shí).^［1］在活動(dòng)過程中，學(xué)生能夠依照教師的引導(dǎo)，積極地去研究周圍的環(huán)境，進(jìn)而建立起基礎(chǔ)的理解.在這個(gè)過程中，學(xué)生能夠通過實(shí)踐，將已經(jīng)掌握的知識(shí)進(jìn)行融合，進(jìn)一步構(gòu)建出更為全面的理論.

1 教學(xué)模型分析

1.1 活動(dòng)階段的變式教學(xué)模型分析

在教學(xué)過程中，活動(dòng)階段不僅是開始，也是重要環(huán)節(jié).教學(xué)活動(dòng)階段，學(xué)生尚未能夠完全理解概念，他們必須借助以往經(jīng)歷以及實(shí)際的環(huán)境來深入感受和反思，并在此基礎(chǔ)上重新構(gòu)建現(xiàn)有的知識(shí).在此階段，教師應(yīng)通過構(gòu)建實(shí)際的生活情境來引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念有初步的理解.教師可以通過使用情境變式和活動(dòng)變式來增強(qiáng)教學(xué)情境的多樣性，使學(xué)生在各種場(chǎng)合下獲取更為明確的認(rèn)知，進(jìn)一步深化對(duì)知識(shí)的理解和掌握．

1.1.1 情境變式

情境變式涵蓋了真實(shí)的情境、數(shù)字的情境以及將真實(shí)和數(shù)字相融合的情境.構(gòu)建問題情境并非一蹴而就，需要教師依照教學(xué)目的、學(xué)生所處的真實(shí)環(huán)境以及他們現(xiàn)有的知識(shí)掌握水平，仔細(xì)篩選出可以使學(xué)生容易領(lǐng)悟的情境問題.

例如，在介紹任意角的概念之前，教師可以先展示體操比賽和齒輪運(yùn)作的視覺元素，然后讓學(xué)生觀察“540°前空翻轉(zhuǎn)體”和“720°后空翻轉(zhuǎn)體”的體育運(yùn)動(dòng)以及齒輪系統(tǒng)里驅(qū)動(dòng)輪和附加輪的逆向旋轉(zhuǎn)情況，以此來理解日常生活中角度的重要性.在此過程中，教師指導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟過去所學(xué)的0°～360°的視角并不能全面地總結(jié)出日常生活中的視角，所以必須將角度的概念進(jìn)行擴(kuò)展．

1.1.2 活動(dòng)變式

教師可以設(shè)計(jì)出各種類型的活動(dòng)，如探究式的問答、吸引人的歷史故事、實(shí)際操作的游戲等，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.尤其是在一節(jié)單調(diào)無聊的概念課中，這些活動(dòng)能幫助學(xué)生更深層次地理解知識(shí)，使得他們對(duì)概念的核心有更深的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步提升他們對(duì)知識(shí)的掌握程度.

例如，在介紹弧度制時(shí)，鑒于學(xué)生是第一次接觸弧度來描述角的大小，所以教師可以先通過一連串的活動(dòng)來幫助他們理解“弧度制”的存在.具體活動(dòng)設(shè)計(jì)如下.

活動(dòng)一：在我們的日常生活里，一些數(shù)值可以通過各種不同的標(biāo)準(zhǔn)來衡量，其表示的意義也不同.請(qǐng)舉例說明.

活動(dòng)二：我們通常使用的計(jì)數(shù)單位為十進(jìn)制，那么，我們是否也可以使用其他的進(jìn)制單位，比如六十進(jìn)制，來測(cè)定角的大小？

活動(dòng)三：介紹歐拉闡述弧度概念的故事，理解其內(nèi)涵有助于精簡(jiǎn)角的運(yùn)算．

1.2 過程階段的變式教學(xué)模型分析

在過程階段，學(xué)生必須把實(shí)際的數(shù)學(xué)行為轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)思維，以便更有效地理解概念的基本特征.此步驟并非只涉及一個(gè)情境的切換，還需要學(xué)生進(jìn)行長(zhǎng)期且深度的反思.當(dāng)教師有效地應(yīng)用過程階段，并采取過程性的轉(zhuǎn)化思維方法，他們

就可以通過“變化的”行為去指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對(duì)“不變的本質(zhì)屬性”深入探索.

例如，當(dāng)研究“任意角”的概念時(shí)，教師可以利用網(wǎng)絡(luò)畫板資源來改變最終邊的位置，從而在這個(gè)過程中引導(dǎo)學(xué)生確立正角、零角、負(fù)角的概念．

1.3 對(duì)象階段的變式教學(xué)模型分析

在對(duì)象階段，教師需要從之前的行為和操作中提煉出重要信息，并將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)明確的總結(jié)對(duì)象，進(jìn)而獲取抽象概念的基本特性.在這個(gè)階段，教學(xué)的重心是深化學(xué)生對(duì)抽象概念的理解.教師通過引入概念性的轉(zhuǎn)換，不僅能夠幫助學(xué)生提煉出概念，還能夠極大地刺激他們的認(rèn)知過程.^［2］利用非概念變式的輔助，能夠降低概念內(nèi)部的非核心特征的影響.在這個(gè)階段，教師通過引入概念變式和非概念變式來識(shí)別概念的核心部分，消除誤導(dǎo)性的元素，使其能夠有效地協(xié)助學(xué)生深入掌握數(shù)學(xué)概念．

1.4 圖式階段的變式教學(xué)模型分析

在圖式階段，教學(xué)目標(biāo)是將學(xué)生在對(duì)象階段所形成的抽象概念與已有的概念相結(jié)合，以便更好地應(yīng)用和鞏固這些知識(shí)，進(jìn)而建立穩(wěn)定的心理圖式.為實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，教師可以通過構(gòu)建概念性題組來設(shè)計(jì)變式題，并通過這些變式題來指導(dǎo)學(xué)生去探索各個(gè)概念之間的關(guān)聯(lián)和差異.教師還可以通過思維導(dǎo)圖、概念圖、表格等方式對(duì)四個(gè)階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，從而推動(dòng)學(xué)生從多個(gè)角度理解概念，并形成一個(gè)完備的概念結(jié)構(gòu).

例如，當(dāng)學(xué)生掌握了“三角函數(shù)的單調(diào)性”的理論之后，教師可以選取例題并構(gòu)建一套變式問題來加強(qiáng)對(duì)同類型函數(shù)特性的理解.

例題 求函數(shù)f（x）=sin12 x+π6的單調(diào)區(qū)間．

變式1 求函數(shù)f（x）=sin12 x+π6在（-2π，2π）上的單調(diào)區(qū)間.

變式2 求函數(shù)f（x）=sin-12 x+π6在（-2π，2π）上的單調(diào)區(qū)間.

變式3 若函數(shù)f（x）=sinω x+π6（ωgt;0） 在0，π3上單調(diào)，求ω的取值范圍.

變式4 若函數(shù)f（x）=cosω x-π6是區(qū)間-π2，0上的增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)ω的取值范圍.

變式5 若函數(shù)f（x）=cosω x+π6（ωlt;0） 在π2，π上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)ω的取值范圍.

變式6 若函數(shù)f（x）=sinω x+π6（ωgt;0） 對(duì)任意x∈R，都有f（x）≤fπ3，并且f（x）在區(qū)間-π6，π3上不單調(diào)，求ω的最小值．

通過以上6個(gè)變式題的逐步深化，學(xué)生已經(jīng)掌握了正弦和余弦函數(shù)的單調(diào)特性.教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過類比來研究這些函數(shù)的單調(diào)特性.這樣既符合學(xué)生的思維成長(zhǎng)模式，又可以顯著增強(qiáng)他們的問題處理技巧．

2 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的教學(xué)過程設(shè)計(jì)

三角函數(shù)能夠揭示現(xiàn)實(shí)世界的循環(huán)變化，并且在實(shí)踐中擁有非常關(guān)鍵的應(yīng)用意義.在學(xué)生掌握了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的形狀之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生深入研究三角函數(shù)的特性.在前幾節(jié)課的基礎(chǔ)研究后，學(xué)生已經(jīng)掌握了任意角、三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式等相關(guān)知識(shí).^［3］在這一章節(jié)里，學(xué)生將會(huì)對(duì)三角函數(shù)的特性進(jìn)行深度研究，首要學(xué)習(xí)的便是它的周期性.學(xué)生經(jīng)過本節(jié)課的學(xué)習(xí)可以提升自己的數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推斷和數(shù)學(xué)建模的能力．

2.1 活動(dòng)階段——情境引入，活動(dòng)變式

活動(dòng)一：周而復(fù)始的現(xiàn)象在自然界和日常生活中都十分常見，同學(xué)們能舉一些具體的例子嗎？

活動(dòng)二：現(xiàn)在的時(shí)間是上午10點(diǎn)，那么24個(gè)小時(shí)后是什么時(shí)間？今天是星期一，那么七天之后是星期幾？

【設(shè)計(jì)意圖】在日常生活中，存在許多周期性的事件.為了讓教學(xué)的主題與日常生活緊密相連，教師設(shè)計(jì)活動(dòng)一和活動(dòng)二來引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)真實(shí)世界的直接情境.教師引導(dǎo)學(xué)生觀察自然界中的循環(huán)現(xiàn)象，激起他們對(duì)循環(huán)的基礎(chǔ)理解，構(gòu)筑知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，以此來增強(qiáng)他們的總結(jié)和推斷技巧.

活動(dòng)三：請(qǐng)仔細(xì)研究圖1，看看它們是否存在某種相似的模式？

【設(shè)計(jì)意圖】將教學(xué)內(nèi)容由實(shí)際事物轉(zhuǎn)向函數(shù)圖象，激勵(lì)學(xué)生運(yùn)用他們的視覺感知技巧，將實(shí)際情況轉(zhuǎn)變?yōu)槌橄罄碚摚源说於▽?duì)周期函數(shù)理論及三角函數(shù)周期特征的理解．

2.2 過程階段——概念辨析，過程變式

過程一：通過幾何畫板繪制正弦和余弦函數(shù)圖象（如圖2）.

過程二：通過分析正弦曲線，能夠得到正弦函數(shù)的什么特性？如何看待圖象的演變方向？

過程三：無論是正弦函數(shù)還是余弦函數(shù)，都具有“周期性”.如何用數(shù)學(xué)公式來抽象地描述它們的“周期性”？

【設(shè)計(jì)意圖】通過使用幾何畫板，學(xué)生能夠清楚地看到自變量增加或減少2π的過程中，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的數(shù)值持續(xù)反復(fù).此外，這個(gè)轉(zhuǎn)變具備一定的規(guī)則，并遵循特定的周期.

2.3 對(duì)象階段——概念生成，概念性變式

為了精確描繪正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期特征，需要引進(jìn)一個(gè)全新的理念——周期函數(shù).

對(duì)象一：周期函數(shù)的概念.對(duì)于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，也就是f（x+T）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫作周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫作這個(gè)函數(shù)的周期．

教師可以設(shè)計(jì)如下概念性變式.

變式1 若存在非零常數(shù)a，使函數(shù)f（x）在定義域上滿足f（x+a）=-f（x），那么f（x）是周期函數(shù)嗎？若是，其周期是什么？

變式2 若存在非零常數(shù)a，使函數(shù)f（x）在定義域上滿足f（x+a）=1f（x），則f（x）是周期函數(shù)嗎？若是，其周期是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】借助兩個(gè)概念性變式，讓學(xué)生掌握利用周期函數(shù)的屬性來確定函數(shù)的周期性以及尋找函數(shù)的周期，從而提高他們對(duì)于周期函數(shù)的認(rèn)識(shí).

對(duì)象二：不管是正弦函數(shù)還是余弦函數(shù)，都被歸類為周期函數(shù).2kπ（k∈Z，k≠0）的存在，標(biāo)志了這些函數(shù)的周期性，即最小正周期均是2π.

教師可以繼續(xù)設(shè)計(jì)如下概念性變式.

變式3 sin（x+π）=sinx，π可以被視是函數(shù)y=sinx的最小正周期，這個(gè)結(jié)論是否正確？

變式4 cos（x+0）=cosx，所以0可以被視為y=cosx的周期，這種說法正確嗎？

變式5 sin（30°+120°）=sin30°是否成立？能否說120°是正弦函數(shù)y=sinx的一個(gè)周期？

【設(shè)計(jì)意圖】在此階段，學(xué)生對(duì)正弦和余弦函數(shù)的周期性有所理解.借助于繼續(xù)創(chuàng)造概念性變式3、4、5，希望能夠幫助學(xué)生從多個(gè)角度深化對(duì)三角函數(shù)周期性的理解，進(jìn)一步提升他們對(duì)概念對(duì)象的理解.此環(huán)節(jié)可以幫助學(xué)生以相對(duì)的視角去領(lǐng)悟概念，進(jìn)一步深化對(duì)三角函數(shù)周期性含義的理解.

2.4 圖式階段——概念鞏固，形成圖式

問題 如何計(jì)算y=sin2x的最小正周期？

變式1 求y=cos2x的最小正周期？

變式2 求f（x）=Asin（ωx+φ）的最小正周期？

變式3 計(jì)算以下各函數(shù)的周期.

（1）y=sin2x3.

（2）y=cos（-4x）.

（3）y=3cosx3+π4.

【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)本階段時(shí)采納了回溯理念與全局觀念，同時(shí)融入了轉(zhuǎn)換法與比較法.通過把y=sin2x的函數(shù)問題變形成y=sinx的最小正周期，可以計(jì)算出y=sin2x的最小正周期.在此基礎(chǔ)上，對(duì)特定的問題進(jìn)行了普遍化處理，并計(jì)算出f（x）=Asin（ωx+φ）的最小正周期.

3 結(jié)語

APOS理論的三角函數(shù)變式教學(xué)方法給教學(xué)注入了新的活力，使得學(xué)生能夠在一個(gè)輕松快樂的環(huán)境下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，使教學(xué)的氣氛更加熱烈，學(xué)習(xí)也變得更具吸引力．

參考文獻(xiàn)

［1］潘麗虹，陳算榮.APOS理論下“任意角的三角函數(shù)”教學(xué)重構(gòu)［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2024（13）：1-4．

［2］王娜.APOS理論下的三角函數(shù)單元教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2023（26）：20-22．

［3］欒兆輝.基于APOS理論的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)［J］.教育觀察，2023（35）：107-109．

*基金項(xiàng)目：貴港市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2024年度課題“新高考背景下縣域高中數(shù)學(xué)函數(shù)模型教學(xué)的研究”（項(xiàng)目編號(hào)：202442002B）.