多維視角類比遷移，自我建構發展思維

摘 要：筆者從不同視角出發，經歷探究四邊形外角和的過程，類比遷移三角形內角和、外角和，四邊形內角和等知識，實現學生的自我建構，將碎片化知識連在一起，形成數學學習的知識體系，促進知識的同化順應，促使思維的高階發展.教師在教學中把課堂真正還給學生，提高學生數學學習的主動性和積極性，能在合作交流中獲得意外驚喜.

關鍵詞：多維視角；類比遷移；自我建構；外角和

課堂是學習的主陣地，是教學的重要環節之一.《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）中指出，教師應改進教學方式，激發學生學習數學的興趣，促進學生對數學概念的理解和數學知識的建構.^［1］引導學生思考是不變的宗旨，如何設計教學促進學生思考，是教師需要深入研究的話題.本文從不同的視角出發，依據學生的最近發展區，類比遷移已學知識，由未知轉化成已知，由陌生的內容轉化成熟悉的知識，從而發展學生的創造性思維和發散性思維，提高學生學習的主動性和積極性.學習，不是一個被動接受的過程，而是一個向上求取、積極主動的過程，筆者以“探究四邊形外角和”為例，進行課堂教學研究.

1 教學內容

1.1 內容分析

探究四邊形外角和屬于多邊形內角和與外角和的內容，學生在學習外角的定義和三角形的外角和后，進一步學習四邊形的外角和.學生之前研究過三角形外角和為360°，有一定的經驗，在此基礎上探究四邊形外角和，進行方法的類比遷移，發揮學生的主觀能動性，這是學生主動建構的過程，能夠較好地促進學生主動思考.四邊形的外角和推向一般的多邊形，如五邊形、六邊形等，繼續類比遷移，形成學習的知識體系.所以，探索四邊形的外角和這一部分起到承上啟下的作用，實現知識上的同化順應，也加深學生原有的認知結構，同時推動思維的進階發展.

1.2 教學目標

本節課的教學目標如下.

（1）經歷四邊形外角和的探究過程，類比遷移三角形外角和的證明過程，進行知識的整體建構.

（2）從不同視角出發，由已知到未知，進行類比遷移，發揮學生的主觀能動性，發展學生的幾何直觀和推理能力.

（3）在合作交流中，感悟研究的一般路徑，促進思維的發展.

1.3 教學重難點

本節課的教學重難點如下.

教學重點：探究四邊形外角和的證明過程，體會數學思想方法.

教學難點：學會分析和解決問題，建構學習的知識體系.

2 教學過程

2.1 開門見山，明確研究方法

師：這節課我們探究四邊形外角和，你會如何著手研究？

生1：探究四邊形外角和，我們可以類比四邊形內角和的探究思路，從三角形到四邊形，從已知到未知進行拓展.

師：我們在研究陌生的內容時，想想之前學過的知識、方法，類比遷移，從已知到未知不斷拓展，也是解決問題的途徑.其他同學還有想法嗎？

生2：探究四邊形外角和，也可以先特殊化，如果四邊形是長方形，每個外角都是90°，那么外角和就為360°，然后我們再研究一般的四邊形.

師：生2運用從特殊到一般的思想方法，在我們的學習中，有些問題第一眼看過去一籌莫展，強化條件，將其特殊化處理，也是解決問題的重要方法.

【設計意圖】點評學生的發言是課堂教學中的重要環節，對于發言者來說，是一種肯定，學生認真傾聽，本身也是一種學習，效果比“一言堂”好.數學教學需要深層次的評價，及時點評能加深學生的印象，使思維具有深刻性.學生能靈活運用數學思想方法，將其運用在具體問題中，是非常好的突破.

2.2 一題多解，切換不同視角

師：一般的四邊形外角和該如何研究？

生3：可以利用內角和進行證明.如圖1所示，求∠1+∠2+∠3+∠4的總和，∠1=180°-∠5，同理，∠2、∠3、∠4也可以轉化成內角，那么∠1+∠2+∠3+∠4=180°×4-（∠5+∠6+∠7+∠8）=180°×4-180°×2=360°.

師：通過外角的定義，將∠1、∠2、∠3、∠4轉化為內角，借助已學的多邊形內角和知識解決問題，是不錯的途徑.還有其他方法嗎？

生4：如圖2所示，連接AC，∠4是△ACD的外角，則∠4=∠5+∠7.同理，∠2=∠6+∠8，那么∠1+∠2+∠3+∠4=∠1+（∠6+∠8）+∠3+（∠5+∠7）=（∠1+∠5+∠6）+（∠3+∠7+∠8）=360°.

師：這種方法利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和的結論，將四邊形分割成兩個三角形，借助三角形的外角性質解決問題，在研究多邊形內角和時，就是采用此方法，這就是方法上的類比遷移.

生5：如圖3所示，延長線段AD、BC交于點M，∠1是△AMB的外角，則∠1=∠M+∠6，那么∠1+∠2+∠3+∠4=∠M+∠6+∠2+∠5+∠4=（∠M+∠4+∠5）+（∠2+∠6）=180°+180°=360°.

師：生5的想法很有意思，將四邊形補成三角形，∠1當成△AMB的外角，∠3轉化為∠5，通過三角形的內角和外角性質，靈活解決此題.思維很靈活，怎樣看待一個角，當成內角還是外角，視角不同，就會出現不同的思路，這就是我們需要的發散性思維.

生6：將∠1、∠2、∠3、∠4全看成內角.如圖4所示，連接EH、HG、GF、EF，∠1、∠2、∠3、∠4分別看成△AEH、△EBF、△CGF、△HDG的內角，借助四次三角形內角和及一次四邊形內角和解決問題.

師：生6的視角是將四個目標角都當成內角看，大膽地構造圖形.我們心中有什么，將會看到什么，變換思維，美妙的解法應運而生，思維的廣度就此打開.

生7：如圖5所示，過點D作DE∥AB，DH∥CB，可以得到∠1=∠5，∠2=∠EDH，∠3=∠6，從而∠1+∠2+∠3+∠4就是一個周角，即四個角和為360°.

師：生7的作法非常巧妙，借助平行線，將四個外角“搬”到一起，形成一個周角.平行線的作用如此之大，我們看到這一章學習的框架，三角形內角和、外角和都是建立在平行線的基礎上生長出來的，大家能觸類旁通、類比遷移、回顧反省，在頭腦里形成知識框架，這就是自我建構、主動學習.

2.3 類比遷移，建立知識結構

在探索完四邊形外角和之后，教師繼續帶領學生繼續思考以下兩個問題.

（1）五邊形外角和是多少？六邊形外角和呢？

n邊形外角和呢？

（2）回顧四邊形外角和的證明思路，總結思路方法.

【設計意圖】由三角形外角和為360°的證明方法遷移至四邊形，促使學生不斷回顧、反思、總結，不僅要回顧外角的相關知識，還能為之后的證明提供圖形語言，動手操作，探索研究，溫故知新.繼續類比遷移到五邊形、六邊形、n邊形，得出多邊形外角和都是360°的一般性結論，學生能建立知識之間的聯系，將碎片化知識拼成一張圖，將知識結構化，在潛移默化中發展學生的思維.

2.4 閱讀材料，拓展思維廣度

張景中院士在《數學家的眼光》這本書里提到以下一個直觀的例子.

如圖所示，設想一只螞蟻在多邊形的邊界上繞圈子，每經過一個頂點，它的前進方向就要改變一次，改變的角度恰好是這個頂點處的外角.爬了一圈，回到原處，方向和出發時一致了，角度改變量之和恰好是360°.^［2］

【設計意圖】如何直觀地解釋多邊形外角和為360°，張景中院士在這本書里給出了答案，有趣形象，耐人尋味.站在一定高度上看問題，更能看清問題的全貌，思維的廣度就此打開，思維也在無形中得到發散和生長.

3 教學反思

3.1 立足聯系，多維視角看問題

教師要從生命的高度看課堂教學，讓課堂煥發出生命的活力，讓課堂成為學生生命有意義的構成部分.在問題探索的過程中，教師適時追問啟發學生，幫助學生建構新舊知識之間的聯系，由未知轉化為已知，由陌生的知識轉化成熟悉的內容，使知識銜接得自然、流暢，思維自然地發散、生長.

在探索四邊形外角和的過程中，生3將外角都轉化為內角，生4全部看成三角形的外角，生5將外角和內角綜合運用，生6全部看成內角，生7借助平行線將角都“搬”在一起，環環相扣，用不同的視角看問題，四邊形外角的身份可以自由切換，當成內角或者外角，方法也多樣化，實現一題多解.最后的思維拓展，用一只螞蟻的視角直觀地解釋多邊形外角和，可讀性很強，引起學生的興趣.一道題的不同視角，給學生帶來啟發，解釋知識的本質內涵.

3.2 自我建構，類比遷移促思考

建構主義理論一直強調，數學的意義在于學習者的自我建構，課堂教學中最重要的是創設有效的學習環境.^［3］基于此，數學學習是學生自我建構的過程，在最近發展區內教學，深化學生的認知結構.

生1和生2提到類比思想、從特殊到一般、轉化等數學思想方法，是研究問題的通性通法.在探究四邊形外角和的過程中，類比遷移三角形外角和、四邊形內角和的研究過程，引導學生有意義建構知識，思維在知識的同化和順應中得到發展.求n邊形外角和，其實是方法思路的類比遷移，對于學生來說，已不是問題.數學追求的不僅僅是結果，過程和結果同樣重要，在過程中探索發現、交流討論，自我搭建“腳手架”，從而做到真正的數學理解，激發出學生主動學習的內驅力.

3.3 相信學生，集思廣益獲驚喜

《課標（2022年版）》指出：“有效的教學活動是學生學和教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者.”^［4］教師應相信學生，把課堂真正還給學生，營造主動思考、積極討論的氛圍，激發學生頭腦風暴，建立新舊知識之間的聯系，建構知識體系.

課堂的時間是寶貴的，許多教師會顧慮教學任務無法完成，將知識“教”給學生，學生處于被動學習的狀態，思維并沒有得到較大的提升和發展.探究四邊形外角和看似只是一道題，其實是之前思想方法的總和，將前面所學的知識打通，串成一條線，將碎片化的知識緊密聯系在一起，如果由學生主動聯系，看似在此消耗的時間變多了，實際上鍛煉了學生的思考能力，在以后類似的問題上找到了解決問題的方法，學生有成功的體驗，就會有信心將方法沿用下去，無形中培養了學生的學習能力，促使學生深度思考，將核心素養落地生根.教學中不能僅僅強調題目的數量，而忽略題目的質量，講透一道題比講十道題更有效果，大膽讓學生嘗試，由學生說，由學生思考，才是教學真諦所在，收獲諸多驚喜.四邊形外角和的證明過程豐富多彩，學生看問題的視角不同，思考的過程也不一樣，大家進行分享交流，從而讓學生會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界.

參考文獻

［1］［4］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］ 張景中.數學家的眼光［M］.北京：中國少年兒童出版社，2007.

［3］ 陳安琪.初中數學翻轉課堂的教學策略研究［D］.西寧：青海師范大學，2023.