基于后繼運(yùn)算的新定義問題的一次命題實(shí)踐

摘 要：本文以一道基于后繼運(yùn)算的新定義問題為例，展示命題思路及命題過程，總結(jié)命題經(jīng)驗(yàn)與教學(xué)方法，并給出了與此背景有關(guān)的開放性的問題，以期為一線教師教學(xué)提供一些參考.

關(guān)鍵詞：后繼運(yùn)算；新定義；命題實(shí)踐

新定義試題是近兩年來各級各類考試的熱點(diǎn)，尤其在2024年高考中大放異彩.該題型以全新定義的數(shù)學(xué)對象或運(yùn)算方式為基礎(chǔ)，考查學(xué)生的思維能力，其形式新穎，考查功能顯著，降低了盲目做題和套路訓(xùn)練的收益，一定程度上能起到抑制題海戰(zhàn)術(shù)的作用，對落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維也有著積極的引導(dǎo)作用.基于以上背景，筆者在學(xué)校高二下學(xué)期期中考試中，命制了一道基于后繼運(yùn)算的新定義問題，并將命題過程、試題內(nèi)容、測試結(jié)果和命題反思等內(nèi)容整理成文，以期為教學(xué)提供指導(dǎo).

1 題目呈現(xiàn)

原創(chuàng)題 對于a，b∈N*，定義a⊙a(bǔ)=a+1，a⊙b=max{a+1，b+1}，其中max{x1，…，xn}=xi（i=1，…，n），xi為x1，…，xn中最大的數(shù).例如，max{1，1}=1，max{1，2}=2，max{1，2，5}=5.根據(jù)以上內(nèi)容，對于a，b，c∈N*，請回答下列問題.

（1）（（（a⊙a(bǔ)）⊙a(bǔ)⊙…）⊙a(bǔ)）⊙a(bǔ)n個(gè)a=""" （用a和n表示）.

（2）滿足（a⊙b）⊙c=4的有序數(shù)對（a，b，c）有幾個(gè)？

（3）滿足（a⊙b）⊙c=n的有序數(shù)對（a，b，c）有幾個(gè)？

（4）滿足（a⊙b）⊙c=a⊙（b⊙c）=n的有序數(shù)對（a，b，c）有幾個(gè)？

考查目標(biāo)：考查學(xué)生利用不等式和計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問題的能力，以及對新定義問題理解和分析的能力.

設(shè)計(jì)思路：本題是筆者為學(xué)校高二下學(xué)期期中考試命制的題目，基于已學(xué)知識，希望考查不等式、計(jì)數(shù)原理等主干內(nèi)容，并滲透分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.同時(shí)，本題是一道以符號語言為載體的新定義問題，學(xué)生需要通過閱讀材料提取信息，進(jìn)而完成解答，對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理等核心素養(yǎng)有著較高的要求．

2 命題背景

運(yùn)算等級是算術(shù)的基本概念之一，在算術(shù)運(yùn)算中，根據(jù)其運(yùn)算的難易程度劃分的運(yùn)算級別稱為運(yùn)算等級.例如，加法是一級運(yùn)算，乘法是二級運(yùn)算，乘方是三級運(yùn)算.

對于上述運(yùn)算，有時(shí)還采用高級運(yùn)算和低級運(yùn)算兩個(gè)相對概念來加以區(qū)分.例如，對于一級運(yùn)算來說，二級運(yùn)算是高級運(yùn)算，但對于三級運(yùn)算來說，二級運(yùn)算是低級運(yùn)算.

事實(shí)上，用來描述自然數(shù)的基本性質(zhì)和規(guī)律的皮亞諾公理中曾提到“后繼數(shù)”，即每一個(gè)確定的自然數(shù)a，都有一個(gè)確定的后繼數(shù)a′，a′也是自然數(shù)，其所代表的“后繼運(yùn)算”可以看成是比加法更低級的運(yùn)算.這樣的運(yùn)算在數(shù)論以及計(jì)算機(jī)語言中也有著廣泛的應(yīng)用.

基于以上背景，筆者考慮將一元后繼運(yùn)算推廣到二元和多元后繼運(yùn)算，以探究運(yùn)算律以及得到相同運(yùn)算結(jié)果的不同運(yùn)算方案為目的，設(shè)計(jì)了若干題目．

3 命題過程

3.1 初稿呈現(xiàn)

（1）（（（a⊙a(bǔ)）⊙a(bǔ)⊙…）⊙a(bǔ)）⊙a(bǔ)n個(gè)a=""" （用a和n表示）.

（2）求證：（a⊙b）+c=（a⊙c）+（b⊙c）.

（3）（a⊙b）⊙c=a⊙（b⊙c）一定成立嗎？做出判斷并給出證明.

（4）滿足（a⊙b）⊙c=4的有序數(shù)對（a，b，c）有幾個(gè)？一般地，滿足（a⊙b）⊙c=n的有序數(shù)對（a，b，c）有幾個(gè)？

（5）滿足（a⊙b）⊙c=a⊙（b⊙c）=4的有序數(shù)對（a，b，c）有幾個(gè)？一般地，滿足（a⊙b）⊙c=a⊙（b⊙c）=n的有序數(shù)對（a，b，c）有幾個(gè)？

（6）若a，b，c≤5，滿足（a⊙b）⊙c=a⊙（b⊙c）的有序數(shù)對（a，b，c）有幾個(gè)？一般地，若a，b，c≤n，滿足（a⊙b）⊙c=a⊙（b⊙c）的有序數(shù)對（a，b，c）有幾個(gè)？

3.2 命題思路及修改過程

在命題時(shí)，為了揭示后繼運(yùn)算是比加法運(yùn)算更低級的運(yùn)算，筆者設(shè)計(jì)了第（1）問.從運(yùn)算原理上看，第（1）問的本質(zhì)是多次后繼運(yùn)算，可以用加法運(yùn)算簡化；從考查目標(biāo)上看，第（1）問可以引導(dǎo)學(xué)生通過閱讀材料理解新定義運(yùn)算的實(shí)際意義，為解決后續(xù)問題做鋪墊.

初稿中的第（2）問和第（3）問是為了引導(dǎo)學(xué)生通過證明發(fā)現(xiàn)，該新定義運(yùn)算滿足分配律但不滿足結(jié)合律，其推導(dǎo)過程會對后續(xù)復(fù)雜問題的處理帶來啟發(fā).同時(shí)，其獨(dú)特的性質(zhì)也會引起學(xué)生探究新知的欲望，讓試題活起來，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)驅(qū)力.

在磨題的過程中，組內(nèi)教師討論認(rèn)為初稿中的第（2）問比較簡單，且受限于試題篇幅，故將其刪去.另外，由于第（4）問和第（5）問的存在，學(xué)生已經(jīng)能從題干中猜到該運(yùn)算不滿足結(jié)合律，故初稿中的第（3）問無需單獨(dú)出現(xiàn)，可以蘊(yùn)藏在后兩問中，讓學(xué)生在解決問題的過程中自行發(fā)現(xiàn)并探究.

最終決定將初稿中第（4）問的特殊情形和一般情形分別作為定稿的第（2）問和第（3）問，既給予了學(xué)生適當(dāng)?shù)奶崾?，也體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)推理方法；將初稿中第（5）問的一般情形作為定稿的第（4）問，作為對定稿第（3）問的升華，同時(shí)也作為該運(yùn)算不符合結(jié)合律的一個(gè)例子，讓學(xué)生在考試結(jié)束后仍有興趣去思考和探究，希望能起到以考促學(xué)的效果，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)全過程學(xué)習(xí).

初稿中的第（6）問想說明的是，在此新定義運(yùn)算的基礎(chǔ)上，可以通過增加參與運(yùn)算的變元個(gè)數(shù)或改變變元取值范圍等方法，生成一系列有關(guān)問題，從而體現(xiàn)了該命題背景的開放性和可延展性.基于以上特征，本題可以作為教師專題教研或?qū)W生自主探究模板的題目，可起到拋磚引玉、以點(diǎn)及面的效果．

4 試題分析

4.1 第（1）問試題分析

分析：由題意，相同元素a與a之間每作一次⊙運(yùn)算都等價(jià)于在前一次運(yùn)算結(jié)果的基礎(chǔ)上加1，n個(gè)a依先后次序共運(yùn)算了n-1次，故結(jié)果為a+n-1.本題也可對a和n取特殊值，進(jìn)而歸納得到結(jié)果.從閱卷情況來看，有很多學(xué)生選擇這種做法.在面對新情境問題時(shí)，由特殊到一般通常是一種有效的分析方法，在日常教學(xué)中也可多向?qū)W生滲透此方法.

4.2 第（2）問試題分析

分析：借助定義中的max符號計(jì)算（a⊙b）⊙c的結(jié)果，有（a⊙b）⊙c=max{max{a+1，b+1}+1，c+1}=max{a+2，b+2，c+1}.該表達(dá)式是本題的題眼，在第（3）問和第（4）問的推理過程中也起到至關(guān)重要的作用.

（a⊙b）⊙c=4，即max{a+2，b+2，c+1}=4時(shí)，對a，b，c的取值進(jìn)行分類討論，得到（a，b，c）共有10個(gè).在解題時(shí)，需要注意c=1或2時(shí)，對（a，b）中重復(fù)元素進(jìn)行剔除.

4.3 第（3）問試題分析

分析：由第（2）問分析可知，（a⊙b）⊙c=n，即max{a+2，b+2，c+1}=n時(shí)，對a，b，c的取值進(jìn)行分類討論，得到（a，b，c）共有3n2-13n+14個(gè).在解題時(shí)，需要注意c=1，…，n-2時(shí)，對（a，b）中重復(fù)元素進(jìn)行剔除.

4.4 第（4）問試題分析

分析：借助定義中的max符號計(jì)算a⊙（b⊙c）的結(jié)果，有a⊙（b⊙c）=max{a+1，max{b+1，c+1}+1}=max{a+1，b+2，c+2}.對比（a⊙b）⊙c的結(jié)果可知，（a⊙b）⊙c和a⊙（b⊙c）不恒相等，即該運(yùn)算不滿足結(jié)合律.

第（4）問要解決的問題是計(jì)算（a⊙b）⊙c和a⊙（b⊙c）恰好都等于n，即滿足max{a+2，b+2，c+1}=max{a+1，b+2，c+2}=n的（a，b，c）的所有可能.事實(shí)上，由第（3）問的推理過程可知，第三類中的所有情況均不成立，只需要在第一類和第二類中考慮，最終得到（a，b，c）共有n2-3n+1個(gè).在解題時(shí)，需要注意b=1，…，n-3與b=n-2兩種情況之間已經(jīng)沒有重復(fù)元素.

5 測試結(jié)果及分析

5.1 測試數(shù)據(jù)

本題為本校高二下學(xué)期期中考試第17題，分值設(shè)置為“3+3+6+3”，測試對象為全體高二學(xué)生，共收到665份有效試卷.學(xué)生得分情況統(tǒng)計(jì)表（見表1）、各分值人數(shù)統(tǒng)計(jì)圖如下（如圖1）.

5.2 結(jié)果分析

筆者獨(dú)自完成了此題的批閱工作，并結(jié)合閱卷實(shí)況和測試數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果做簡要分析．

5.2.1 從特殊到一般

由表1可知全體平均分為5.72，十分接近前兩問的總分6分.從圖1中也能夠發(fā)現(xiàn)，有70%左右的學(xué)生只能拿到前兩問以內(nèi)的分?jǐn)?shù).筆者閱卷時(shí)發(fā)現(xiàn)，前兩問都做對的學(xué)生中有很多也是使用的枚舉法，缺少有條理的分類討論流程.這種情況說明在有限的考試時(shí)間內(nèi)，學(xué)生對新定義問題的處理能力還停留在表層階段，即通過取特殊值或找規(guī)律等方法得到具體的數(shù)字結(jié)果.

該結(jié)果提示教師，在帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)和探索新定義問題的解題策略時(shí)，一方面，要幫助學(xué)生掌握本題中所體現(xiàn)的從特殊到一般的推理方式，即通過取特殊值或找規(guī)律的方法先拿到一部分結(jié)果，從而得到一定的過程分；另一方面，需要協(xié)助學(xué)生構(gòu)建從具體數(shù)字推理上升到抽象符號推理的橋梁，尋找特殊和一般之間的聯(lián)系，步步為營，先敢于，再善于使用字母和符號推理，得到一般情形下的結(jié)果.在這一過程中，學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)將得到有效提升．

5.2.2 符號語言規(guī)范化

筆者將本題高分段和低分段的代表性答卷進(jìn)行對比后發(fā)現(xiàn)，獲得高分甚至滿分的學(xué)生，絕大部分都能夠較為規(guī)范地使用符號語言進(jìn)行邏輯推理和分類討論，其卷面整潔，運(yùn)算過程和結(jié)果清晰.相反，得分較低的學(xué)生卷面書寫較為隨意，究其原因，可能與沒有充分理解題意以及題目中所給的符號有關(guān).

該結(jié)果提示教師，一方面，在日常課堂教學(xué)中要規(guī)范解答題的書寫過程，給學(xué)生做好典范；另一方面，在帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行新情境問題的專項(xiàng)訓(xùn)練時(shí)，可多換位思考，站在學(xué)生的角度與其一起剖析相關(guān)問題，引導(dǎo)學(xué)生善用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將陌生情境化為能用熟悉的知識點(diǎn)解決的情境，從而實(shí)現(xiàn)對創(chuàng)新型試題的有效突破.^［1］

6 命題反思與體會

6.1 理論指導(dǎo)與反思

數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題是指依據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念和要求，依托一定數(shù)學(xué)命題原理和技術(shù)，在題目背景、題目形式、解題方法等方面具有新穎性和獨(dú)特性的數(shù)學(xué)題.數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題能夠較好地診斷和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識與能力，有效提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，在各級各類考試中都有著重要的地位.^［2］

常見的數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題包括引入新定義、融入數(shù)學(xué)史、滲透高觀點(diǎn)等類型.本次命題成果屬于引入新定義型創(chuàng)新試題，這類創(chuàng)新題的運(yùn)算規(guī)則通常面向集合、向量、函數(shù)等數(shù)學(xué)對象，并選取一些不常見的特殊符號作為運(yùn)算符號.學(xué)生在面對此類問題時(shí)往往具有強(qiáng)烈的陌生感和恐懼感，并在解題的過程中出現(xiàn)概念理解不透徹、運(yùn)算準(zhǔn)確度不夠高等問題，究其原因，還是在數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)方面有所欠缺.教師在日常教學(xué)中應(yīng)重視對學(xué)生有關(guān)能力的培養(yǎng).

此外，作為命題者，一方面，要在命題過程中對學(xué)生可能遇到的困難做出預(yù)判，以此為依據(jù)設(shè)置恰當(dāng)?shù)膯栴}或做出適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和鋪墊；另一方面，要在題目實(shí)測后及時(shí)收集數(shù)據(jù)，與有關(guān)學(xué)生和教師交流得到反饋，從而積累命題經(jīng)驗(yàn)，不斷提升命題水準(zhǔn)．

6.2 個(gè)人心得與體會

考試后筆者與學(xué)生交流考試感受，尤其是關(guān)于本題的想法，學(xué)生給出的反饋主要有以下兩點(diǎn)：一是在考場上被新定義嚇到，無從下手；二是考試結(jié)束后訂正試卷時(shí)又覺得題目很有趣，題目本身難度不大，但是很鍛煉思維能力.借此機(jī)會，筆者鼓勵學(xué)生可以仿照本題自己設(shè)計(jì)新定義問題，與同學(xué)相互切磋琢磨，學(xué)生興趣高漲，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性得到了提升.

經(jīng)歷了這次從命題、閱卷到與學(xué)生互動得到反饋，教師帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行自主命題的數(shù)學(xué)探究活動的完整過程，教育形成了閉環(huán).在這一過程中，教師拓寬了自己的專業(yè)視野，提升了自己的業(yè)務(wù)能力；學(xué)生體會到了命題者的思想，甚至自己成為命題者，感知題目的溫度，在提升自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時(shí)，感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣.

由此，筆者認(rèn)為命題和解題不僅是教師必備的職業(yè)技能，也是教師和學(xué)生深入交流的一種方式.教師應(yīng)充分利用這一方式構(gòu)建與學(xué)生友好交流的紐帶和橋梁，讓考試結(jié)果不再是冰冷的分?jǐn)?shù)，而是鼓勵學(xué)生繼續(xù)探索新知的動力．

參考文獻(xiàn)

［1］沈健.賞析數(shù)學(xué)競賽中的新定義型試題［J］.數(shù)學(xué)通訊，2022（8）：58-60+62．

［2］宋燕伶，羅荔齡，彭剛.例談高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題的命制策略［J］.數(shù)學(xué)通訊，2022（24）：44-48+53．