三角函數解題技巧探究

摘 要：三角函數是中學數學中非常重要的一個知識點，同時也是考試中的重要考點，在進行中學數學三角函數的教學過程中需要教師對這部分知識有足夠的重視.同時，三角函數的試題題型相對較為復雜，學生在解題的過程中很難對問題進行有效把握，對學生的邏輯思維能力有較高的要求.因此，教師在進行中學數學三角函數解題教學的過程中需要重視對學生解題技巧的培養.

關鍵詞：中學數學；三角函數；解題技巧

中學數學所學的三角函數的相關知識是三角函數知識中的入門內容，同時在

考試中處于重要的地位.因此，學生對三角函數知識的掌握情況對考試的成績起到了決定性的作用.教師在進行解題教學的過程中需要重視三角函數相關問題的教學.教師應通過教學來幫助學生對三角函數的知識建立起一個完整的體系，并掌握三角函數問題的解題技巧，從而幫助學生對三角函數難點實現有效突破.本文通過幾道三角函數試題來對三角函數試題的解題技巧進行分析，希望對三角函數的解題教學有一定的幫助.

1 直接法解決問題

例題 在△ABC中，已知tanA+B2=sin C，給出以下四個結論：①tanAtanB＝1；②1＜sinA+sinB≤2；③sin2A+cos2B＝1；④cos2A+cos2B＝sin2C，其中正確結論的序號是""" .

分析：本題的已知條件是

tanA+B2＝sinC，結論則是關于sinA、sinB、sinC、cosA、cosB、cosC之間的關系，所以需要對已知條件進行變形轉換，

tanA+B2＝sinA+B2cosA+B2＝2sinA+B2cosA+B22cos2A+B2＝sin（A+B）1+cos（A+B）＝sinC1+cos（A+B）＝sinC.

因為△ABC存在，所以得到cos（A+B）＝0.同時，對A+B的定義域進行判定可以知道0＜A+B＜π，從而就能夠得到A+B＝π2，這樣就能夠得到△ABC是以C為直角的直角三角形.這下就可以對4個結論分別進行判定.①tanAtanB＝1，通過這個結論就能得到tanA＝tanB，也就是，這個結論根據已知條件來進行推測是可能存在的，但不是一定存在，即①不正確；②1＜sinA+sinB≤2，根據A+B＝π2，所以sinA+sinB＝sinA+cosA＝2sinA+π4，同時，由A+B＝π2可以推斷出0＜A＜π2，所以1＜sinA+sinB≤2，即②正確；③sin2A+cos2B＝1，根據A+B＝π2可以推導sin2A+cos2B＝sin2A+sin2A＝2sin2 A，同時0＜A＜π2，所以A的值不能確定，即③不正確；④cos2A+cos2B＝sin2C，因為A+B＝π2，所以④正確.綜上，本題的正確答案是②④.

回顧：本題考查了學生對三角函數的相關公式的掌握情況.本題需要充分利用正弦、余弦等相關公式之間的轉換來將已知條件中的函數關系進行轉換，得到sinC1+cos（A+B）＝sinC這樣的關系式，然后就能夠確定cos（A+B）＝0的情況，進一步確定了△ABC為直角三角形，從而實現對后續結論的判定.從本題可以看出在進行三角函數問題求解的過程中需要通過利用三角函數的相關公式來對試題中的三角函數關系進行變形，所以教師在進行三角函數知識以及解題教學的過程中需要對學生強調三角函數中公式的重要性，只有對公式進行掌握，并能夠對三角函數的公式進行熟練應用，才能夠實現對三角函數相關問題的解決.

2 巧用正弦、余弦函數解決問題

例1 如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝25，E是BC的中點，將△ABE沿直線AE翻折，點B落在點F處，連接CF，則cos∠ECF的值為（" ）.

A. 23

B. 104

C. 53

D. 255

分析：本題可以根據題目中存在的已知條件來對相關的線段長度進行計算.由于E是BC的中點，所以就可以得到BE＝EC＝EF這樣的等量關系，并且通過BC＝25，就能夠得到BE＝EC＝EF＝5，同時還能夠得到關于角的等量關系，然后再根據AB＝2，BC＝25，可以得到AE＝22+（5）2＝3.根據角的關系可以知道∠AEB+∠AEF+∠FEC＝180°，∠FEC+∠EFC+∠ECF＝180°，所以就能夠得到∠AEB+∠AEF＝∠EFC+∠ECF，所以就可以推斷出∠AEB＝∠ECF，從而將求cos∠ECF轉化為求cos∠AEB.根據三角函數余弦的定義就可以知道cos∠AEB=BEAE=53，所以正確的選項是C.

回顧：本題中主要對三角函數中余弦的定義進行了考查，在一個直角三角形中，非直角的余弦值是其相鄰直角邊與斜邊的比值.同時，也對矩形對折以及等腰三角形的相關性質進行了考查.因此，在進行三角函數的解題過程中需要充分利用三角函數余弦的相關定理和定義，從而實現對問題的有效解決.

例2 已知在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，且c＝53，若關于x的方程（53+b）x2+2ax+（53-b）＝0有兩個相等的實數根.又方程2x2-（10sin A）x+5sin A＝0的兩實根的平方和為6，求△ABC的面積.

分析：本題需要求三角形的面積，根據題中的已知條件以及三角形的面積計算公式S△ABC＝12·bcsinA可以知道，需要通過已知條件來計算出這個三角形中sinA、b的值.根據關于x的方程（53+b）x2+2ax+（53-b）＝0有兩個相等的實數根這個已知條件就可以知道，這個方程的根的判別式Δ＝4a2-4（75-b2）＝0，從而就可以得到a2+b2＝75，由于c＝53，所以就能夠得到a2+b2＝c2，所以這個三角形是以∠C為直角的直角三角形.同時，根據方程2x2-（10sin A）x+5sin A＝0的兩實根的平方和為6，可以設這個方程的兩個根分別是x1、x2，則x1+x2＝5sin A，x1x2＝5sin A2，所以x21+x22＝25sin2A-5sin A＝6，解得sinA＝35或sinA=-25，由于三角形ABC為直角三角形，且∠A為銳角，所以sinA＝35，所以根據三角函數正弦定理就可以得到a＝33，根據a2+b2＝75，就可以得到b＝43，所以根據S△ABC＝12bcsinA，就可以得到△ABC的面積為S△ABC＝12bcsinA＝12×43×53×35＝18.

回顧：本題主要是對一元二次方程根的判別式、三角形面積計算方式、勾股定理以及三角函數的正弦定理進行了考查.通過本題可以發現，中學數學中三角函數問題可以與其他知識點進行有效結合，從而能夠有效地實現不同知識點之間的聯系.在本題中，通過第一個方程根的判別式能夠得到一個關于△ABC中a、b、c的一個等量關系，從而可以對三角形的形狀進行判定，再根據另一個方程確定sinA＝35，結合正弦定理來對三角形的邊長進行計算實現對問題的求解.因此，教師在進行三角函數的解題教學過程中需要讓學生對三角函數相關問題進行有效掌握的同時，還需要注重將三角函數問題與其他問題進行有效結合，從而提升學生對問題的處理能力.

3 巧用勾股定理解決問題

例題 已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，已知關于x的方程x2-（c+4）x+4c+8＝0.

（1）若a、b是方程的兩個實根，求證：∠C＝90°.

（2）若在題（1）的這個直角三角形中，滿足25a·sinA＝9c，求a、b、c.

分析：第（1）問知道三角形的邊長關系，需要證明三角形的一個角為90°，最簡單的方式就是根據勾股定理來進行證明.那么就需要構造一個關于三角形三條邊的等量關系，所以根據題意知x2-（c+4）·x+4c+8＝0這個方程的兩個實根為a、b，所以根據一元二次方程的求根公式可以得到a+b＝c+4，ab＝4c+8.通過這兩個關系就能夠得到a2+b2＝（a+b）2-2ab＝（c+4）2-2（4c+8）＝c2，所以就得到a2+b2＝c2，所以三角形是以c為斜邊的直角三角形，就可以對結論進行證明.第（1）問知道三角形為直角三角形后，需要通過25asinA＝9c這個等量關系來對三角形三條邊的長度進行計算.可以直接將式子中的三角函數進行轉換，由sinA＝ac，原等式就轉換為25a2c＝9c，對式子進行整理就能夠得到a2＝925c2，所以b2＝1625c2，從而就可以得到a＝35c，

b＝45c.根據（1）中得到的關系a+b＝c+4就可以對c的值進行計算，得c＝10，從而就能計算出a＝6，b＝8.

回顧：本題主要考查的是勾股定理與三角函數的相關知識.通過一元二次方程來進行三角形三邊關系的構建，從而證明△ABC為直角三角形.然后在直角三角形的情況下將式子25asinA＝9c進行轉化為邊的關系，從而實現對三角形邊長的計算.通過本題可以發現，在三角函數相關問題中，勾股定理是解決問題的一種特殊的解題技巧.教師在進行三角函數解題教學的過程中需要對勾股定理解決三角函數問題的方式進行講解，從而讓學生在進行解題的過程中能夠對勾股定理進行有效應用，從而提升學生的解題能力.

4 結語

本文通過中學數學中幾道三角函數例題來對三角函數的解題技巧進行了說明.通過這些例題可以發現三角函數相關的問題需要有效掌握三角函數的定理、定義及公式，對其進行靈活應用是解決三角函數問題的關鍵.同時，勾股定理在三角函數相關問題中也有著重要的作用.因此，教師在進行解題教學的過程中需要讓學生對三角函數的定理、定義及公式進行掌握并靈活應用，從而有效提升學生三角函數問題的解題能力.