有序思考，從過程視角觀照小學生數學思維

【編者按】數學學科本身亦被稱為思維的體操。會用數學的思維思考現實世界，是數學核心素養的重要內涵。可見，發展學生的數學思維在數學教學中占有舉足輕重的地位。在實際教學中，數學思維往往是內隱的、不可見的，一般情況下教師難以準確把握學生的數學思維過程，疏于對其的考查，有效的教學活動推進便存在表面化的可能。為此，廣大一線教師嘗試著對學生的數學思維過程進行分析，總結出了若干值得借鑒的做法，本期專輯一起來探討。

【摘 要】對學生數學思維的培養是數學課程的關注重點。思維本身就是一個不斷生長的過程，但如何清晰地呈現這個過程并不容易。為此，我們放大思維的可見過程，從“教材結構”與“學習結構”兩個方面切入，條分縷析，嘗試打開學生思維“黑箱”，發現、建立、發展學生的數學思維過程，尋求實現小學生數學思維的全面提升。

【關鍵詞】過程視角 有序思考 數學思維過程

數學學習是學生知識獲取的過程，也是思維發展的過程。《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）明確了數學教育的素養導向。當數學思維與數學眼光、數學語言作為核心素養具體呈現時，我們對數學思維的理解和把握就需要有一個過程視角。在此基礎上，筆者提出有序思考的概念，希望放大數學思維的可見過程，引導學生按照一定的邏輯和順序進行分析、推理和表達，培養學生形成良好的數學思維品質。當然，要清晰把握數學思維過程并非易事，本文試從過程視角探析小學生數學思維培養，并厘清一些相關問題。

一、數學思維與過程視角的理性思辨

關于“思維”，《辭海》給了三個含義：①思考的過程，思維的基本形式之一；②理性認識或理性認識的過程，包含對事物本質特征的深入理解和理解過程；③意識、精神，強調思維是一種超越物質存在的心智活動。從對思維的解釋中我們可以了解到，思維的成長需要經歷知識形成過程、問題解決過程和素養提升過程，這其中體現了思維發展的有序性。基于這樣的認識，筆者將數學思維理解為：通過數學活動進行思考，按照一定的思維規律認識、理解并解決數學問題，提升抽象思維能力的動態全過程。

需要說明的是，在數學教學過程中的思維活動主要包括：數學家（編寫者）的思維活動（體現在教材內容中），教師的思維活動，學生的思維活動。在數學學習的過程中，我們很難割裂地關注單個方面的思維活動，而是需要將這三種思維活動和諧統一、不斷演進，從而真正調控學生的思維活動，促使學生形成良好的思維意識及思維品質。

再來看“過程視角”。“過程”是懷特海過程哲學的核心范疇，這種過程思想彰顯的是學習過程本身比結果更具有促進學生發展的價值。數學學習過程蘊藏著數學思維動態和持續發展的過程。進一步地，我們可以從數學思維的過程來探明學生的學習過程。這就要求教師在培養學生數學思維時需要有過程視角。

基于此，過程視角下的學生數學思維培養，是教師從過程視角出發，在教學活動的實施過程中系統把握教材結構、學習結構，以此推動小學生數學思維的有序發展。

二、從過程視角觀照小學生數學思維培養的要點

學生的數學思維過程與知識本身的結構有關，與學習的過程結構有關，與自己的認知過程有關。同時，學生的數學思維發展是需要經過引導，遵循規律、依據順序、循序漸進實現的。因此，我們需要在教材中梳理出專家的思維過程，在教學中梳理出學生的思維過程，才能真正培養學生的數學思維。

（一）基于教材結構，顯現專家的思維過程

專家思維一般通過演繹推理，將較為復雜的思維過程簡化為精煉的結論，并以書面形式呈現在教材中。這種方式是基于數學學科的特性及數學學習的實際需求確立的。然而，僅僅機械地模仿教材中簡潔的內容，會導致學生無法真正經歷完整的思維過程，他們的數學思維也會止步于一般的整理性思維層面。筆者認為，要讓學生經歷數學思維過程，首先，需要用知識鏈的方式聯結教材中的相關內容，幫助學生樹立整體意識和結構化思維。要做到這一點，就要求教師在教材解讀方面有統攝全局的意識和能力。其次，教師應深入了解知識中隱藏著的數學思維過程。這意味著教師不僅要關注知識的最終結果，更要關注知識是如何形成與發展的。在這一過程中，教師應盡量挖掘知識的數學原理和方法，努力讓學生通過實踐與體驗來感悟這些內容的深層意義。這樣可以幫助學生在更全面地理解知識的同時，提升數學思維水平。

例如，在面積單位相關的教學內容中，平方千米是學生在小學階段學習的最后一個面積單位。教師在備課時需關注通過回顧和整理，讓學生能夠掌握面積單位之間的轉換關系：在具體的引導和理解過程中，需要讓學生意識到公頃與平方米之間的轉換率具有獨特性。另外，還可以通過補充概念，以知識鏈的形式彌補學生認知體系中的盲點，解決認知過程中的疑惑點，進一步完善從平方米到平方千米的認知體系。（如圖1所示）

實際上，教師在開展單元整體教學視域下的學習活動時，可以嘗試建立一條完整、直觀的知識鏈。這種方式有助于學生構建結構化的思維模式，從而在一定程度上推動他們整體觀念的形成。因此，教師在設計教學活動時，全面考慮并幫助學生構建一個相對全面的聯系體系顯得尤為重要。

再來看這個例子，3的倍數特征從表面看，與2、5的倍數特征不一樣，2、5的倍數特征只需看個位，3的倍數特征看的是各個數位上數的和，但從除法本質上看，這幾個數的倍數特征反映的都是各個數位上分得的余數情況。在解讀、設計這一課時，應將重點放在讓學生在一系列的數學活動中進行觀察、猜想、操作、驗證，豐富對“倍數特征”的感知上。具體可以細化為以下三個層次：（1）用1～2顆珠子擺數并判斷是否為2、3、5的倍數，作為復習鞏固知識的手段，進一步豐富學生對除法內涵的經驗。（2）用3顆珠子擺數判斷是否為2、3、5的倍數，作為學生自我建構知識的過程，積累構造3的倍數特征模型經驗。（3）用任意顆珠子擺數判斷是否為2、3、5的倍數，作為學生經歷數學建模的過程，進一步溝通、豐富對2、3、5的倍數特征的經驗。

上述案例中，每個獨立的“環”是具體的某一個數學知識點，“環環相扣”是幫助學生挖掘知識的本質，要學會舉一反三，觸類旁通。解讀專家的思維過程實際上是讓學生回歸知識本位去開展學習，領悟知識背后的內涵，追溯本源，為深度思考打下基礎。

（二）基于學習結構，凸顯學生的思維過程

在《課程標準》中，我們認識到對學生數學思維的培養是一個比較全面的過程，而讓學生經歷自身的數學思維過程是數學學習中最有意義的部分，因為專家或教師的思維過程最終都代替不了學生自己的思維過程。只有在教學實踐中充分展示學生思維，有效突出學生的思維過程，從而彰顯有序思考的重要性，才能幫助他們在學習中形成更為規范和系統的思維習慣。

1. 拉長探究過程，讓學生思維從“已知”到“可知”。

突出數學學習過程的思考性，讓學生思維處于比較活躍的狀態，不僅能實現對知識內容的整體認識，還能高效地提升學生的思維水平。從這個角度來看，教師要有意識地放大學生解決問題的關鍵過程，為學生獲得更為豐富的思維體驗提供有力的幫助。

例如，無論是長度、面積還是體積，都是在表達相應度量單位的累加。一般像“計量單位認識”的課例，教師往往容易窄化學生的探究過程，將重點放在識記單位之間的進率轉化上，導致學生對計量單位的認知淺，抽象、邏輯等思維水平沒有得到有效提升。此時如果拉長探究過程，效果便完全不同。

在教學人教版三上“噸的認識”時，教師可以放緩探究“1噸有多重”這一環節的腳步，讓學生進行從多個維度解釋“1噸有多重”的學習活動，具體感受“1噸”的大小。教師提供學習素材：1桶汽油重100千克；1個學生的體重25千克；1個蘋果重200克。要求學生在探究后用多種方式記錄思考過程。（如圖2所示）生1：“10桶汽油合在一起的質量是1噸。”生2：“2個學生的體重是50千克，4個就是100千克，而10個100就是1000千克，是1噸。”生3：“5個蘋果是1千克，5個蘋果為一組，1000組就是1000千克，所以1000×5=5000，5000個蘋果就是1噸。”

1噸有多重，學生如果只知道1噸=1000千克，很明顯并沒有建立對“噸”這一計量單位的認識。像上述教學設計，看似是一個簡單的畫、寫與算的過程，實際上是拉長學生對“1噸有多重”的探究過程。解釋大計量單位，學生嘗試借助小計量單位的累加來完成，多維度的經歷其實就是在逐漸實現數學思維從“已知”向“可知”的邁進，逐步形成有序的思維方式。

2. 對數學概念的延伸，促進學生從單一思維向多元思維進發。

對數學概念的理解與掌握不能僅依賴于對相關文字的認知，更需要借助多元思維進行深入把握。這種理解應該體現在對數學概念進行多方探索與分析，以促成學生對概念的全面認知，促進思維的多元發展。概念延伸包括對現有知識的深入理解，還涉及將它們應用于新的情境中，以解決更為復雜的問題。

以人教版四下“三角形的認識與分類”教學為例，如何設計含有數學思維活動的學習任務讓學生充分體驗從一般到特殊的認識過程尤為重要。教師可以“從角的維度來認識三角形”為核心目標設計思維活動。（如表1）

角的概念是學生在二年級學習的基礎內容，他們在掌握“角的認識”后，將概念逐步延伸到四年級“三角形的認識”，這體現了概念的逐步深化。從理解“一個角”開始，學生可以進一步認識到“兩個角相等”所對應的等腰三角形，接著通過“兩個角相等”延伸到“三個角相等”來了解等邊三角形。通過層層深入的思考，學生在想象與驗證的過程中，能夠將對圖形的理解從形象化提升到抽象化層次，再從抽象轉化為直觀的體驗。因此，概念的延伸為學生思維的多元化發展提供了契機，促進了他們從單一思維向多元思維的轉變。在參與思維活動的過程中，學生體驗到有序思考的重要性，解決問題能力得以提升，學生的思維方式亦更加豐富。

3. 豐富數學表達，體現學生思維過程從“無痕”到“有痕”。

數學表達是用數學語言（包括符號、文字、圖形等）來描述和解釋數學概念、關系和過程。要實現“讓數學思維看得見也抓得住”的目標，就需要通過直觀的表達方式顯現學生的思維過程。一段時間以來，許多教師都在探尋數學思維的可視化途徑，引導學生將隱性的思想方法和思維過程進行顯性化表達，其根本目的是幫助學生累積活動經驗，實現思維生長，鍛煉與提升數學思維能力。

“計算經過時間”是人教版三上第一單元的學習內容，其中與時間相關的數學表征有：（1）通過觀察鐘面和直觀演示，把直觀觀察和線路圖對應起來；（2）出示時間軸，讓學生在上面標出出發時刻和到達時刻，將抽象的時刻與直線上的點對應起來。看來，如何將“無痕的時間”用“有痕的方法”直觀呈現，是學生思維發展的關鍵，也是這節課的核心目標。我們不妨在教學核心環節設計“計算8：45到9：20共經過多少時間”這一任務，用以觀察學生的數學表達。具體情況如表2所示。

從總體看，對于“計算經過時間”這一課的教學目標不應僅局限于計算時間，還需要讓學生結合生活實際體驗時間的長短。學生體驗的過程可以通過直觀的感知，借助具體的操作活動來實現，這是一種形象化的學習方式。書面表達則更側重于思維的抽象，要求學生將直觀感知的內容轉化為數學符號或表達式。鐘面數格、時間尺數段，都是將抽象的時間變得直觀，并且能讓學生充分感受時間疊加，為“經過時間”表象的建立積累經驗，顯化數學思維過程。教師引導學生將自身的思維過程由“無痕”轉變為“有痕”，不僅能夠提升他們的數學表達能力，還能夠對錯綜復雜的信息進行有效數學化提煉，顯現出思維的系統性、邏輯性與條理性，有效促進有序思考的形成。

當然，不管是教材結構，還是學習結構，每一個教學維度的考量都應以學生思維為重。如何實現“有意義的學習與保持”，除了在課堂上創設思維空間和智力背景外，過程評測也是一種選擇。筆者針對“周長”概念的教學就設計了一套過程測評題組，旨在通過前認知的前置性測評、學習過程中的結構性測評以及學習后的延展性測評，實現對學生有關周長概念學習情況的全面掌握。總體來看，前置性測評展現學生思維的原有結構，體現了學生思維的基礎性。結構性測評呈現學生思維的發展結構，體現了學生思維的發展性。延伸性測評關注學生思維的應用結構，體現了學生思維的靈活性。以上幾方面均是學生思維發展過程的具體表現。

如果把學生的思維培養比作學習探究之旅，專家思維過程就是旅行的科學規劃過程，也指向旅行的目的地；學生的思維過程就是旅行的實踐過程；而測評過程就是旅行過程中對方向的精準指認。有了明確的目的地與科學規劃，有了旅行途中的充分實踐，有了方向的精準指認，學生一定能夠順利地到達目的地。

（作者單位：浙江省嘉興經開實驗教育集團）

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參考文獻：

［1］李亞群. 助推學生“量感”培育的過程性測評設計——以“周長”概念測評題為例［J］. 新課程評論，2023（10）：90-97.