隨機時滯復Ginzburg-Landau方程的遍歷性

摘要：討論定義在整數集上的隨機時滯復Ginzburg-Landau方程的遍歷性.當非線性漂移項和擴散項是局部Lipschitz連續時，運用一致估計、二分法、Arzela-Ascoli定理建立有限維到無限維連續函數空間內解的概率分布的胎緊性，從而證明不變測度的存在性.當非線性飄移和擴散項的Lipschitz系數足夠小時，證明不變測度的唯一性.

中圖分類號：復Ginzburg-Landau方程; 遍歷性; 不變測度; 時滯; 一致估計

中圖分類號：O175.29

文獻標志碼：A

文章編號：1001-8395（2025）01-0122-10

doi：10.3969/j.issn.1001-8395.2025.01.012

0 引言

本文研究定義在整數集Z上的Ito隨機時滯復Ginzburg-Landau方程

dun（t）-（1+iα）（un-1（t）-2un（t）+un+1（t））dt+λun（t）dt+

（1+i）|un（t）|2pun（t）=

（fn（un（t-ρ））+gn）dt

+∑∞k=1（hk，n+σk，n（un（t）））dWk（t）， tgt;0，

（1）

初始值

un（s）=ξn（s）， s∈[-ρ，0]，

（2）

其中，u=（un）n∈Z是一個未知復值隨機序列，ξ=（ξn）n∈Z是一個給定的序列，α，β，λ，p和ρ都是正常數，g=（gn）n∈Z和h=（hk，n）k∈N，n∈Z是l2上給定的復值確定序列.fn，λk，n是C→C的局部Lipschitz連續函數并對所有的n∈Z和k∈N都成立，（Wk）k∈N是完備概率空間（Ω，F，{Ft}t≥0，P）上滿足通常條件的獨立標準維納過程.

格點系統被廣泛的應用于描述圖案的形成，神經脈沖的傳播和電路的形成，可以參考文獻[1-6].文獻[3，7-10]中研究了確定格點系統的解以及長期動力學.隨機格點方程的隨機動力學在文獻[11-18]中有研究.近年來，文獻[19]證明了帶有一般加性噪聲的分數階復Ginzburg-Landau方程解的存在性與唯一性，文獻[20]研究了帶有時滯的隨機Schrdinger格點系統的周期測度，文獻[21-22]中研究了隨機時滯格點系統的不變測度.然而，文獻[19]中的非線性項是全局Lipschitz連續的，而本文研究的隨機時滯復Ginzburg-Landau方程中的非線性漂移項和擴散項是局部Lipschitz連續的，所以要用停時來處理這些非線性項.

因為本文研究的Ginzburg-Landau方程是帶有時滯項的，所以需要用一致估計，二分法和Arzela-Ascoli定理來建立解在C（[-ρ，0]，l2）上概率分布族的胎緊性，可參考文獻[19-20].

接下來將從以下4個部分進行介紹.在第一部分中，討論隨機時滯復Ginzburg-Landau方程（1）和（2）解的存在唯一性.第二部分討論了解的一致估計包括解的一致尾估計.在第三部分中，證明了方程（1）和（2）關于局部Lipschitz飄移和擴散項的不變測度存在性.在最后一個部分中，進一步證明了不變測度的唯一性.

本文用l2表示復值平方可加序列空間，用（·，·）和‖·‖表示它的內積和范數.用‖·‖Cρ表示空間C（[-ρ，0]，l2）上的范數.

1 解的存在唯一性

本節討論隨機時滯復Ginzburg-Landau方程（1）和（2）在l2上解的存在唯一性.為此，需要將問題（1）和（2）重新表述為l2上的抽象方程.

為了方便，令u=（un）n∈Z∈l2，使B，B*和A為l2到l2上的線性算子，定義如下：

（Bu）n=un+1-un， （B*u）n=un-1-un，

n∈Z

和

（Au）n=-un-1+2un-un+1， n∈Z.

可得A=BB*=B*B和對所有u，v∈l2，

（B*u，v）=（u，Bv）.

對于（1）和（2）式中給定的序列g=（gn）n∈Z和h=（hk，n）k∈N，n∈Z假設

‖g‖2=∑n∈Z|gn|2lt;∞，

‖h‖2=∑k∈N∑n∈Z|hk，n|2lt;∞.

（3）

很容易證得：存在一個常數cgt;0，使得

||s1|2ps1-|s2|2ps2|≤c（|s1|2p+|s2|2p）|s1-s2|，

s1，s2∈C.

（4）

對于（1）和（2）式中的非線性時滯項，假設fn：C→C是局部Lipschitz連續的，那么對C上任意一個緊子集I，存在一個常數SIgt;0使得

|fn（s1）-fn（s2）|≤SI|s1-s2|，s1，s2∈I， n∈Z.

（5）

〖=D（〗任 蝶，等：隨機時滯復Ginzburg-Landau方程的遍歷性

假設fn：C→C是線性增長的，即對任意的n∈Z，存在正常數ηn和γ0使得

|fn（s）|≤ηn+γ0|s|， s∈C，

（6）

（ηn）n∈Z屬于l2.

同樣地，對于（1）和（2）式中的非線性擴散項，假設λk，n：C→C是局部Lipschitz連續的，即對于C上任意一個緊子集K，存在一個常數Skgt;0使得

|σk，n（s1）-σk，n（s2）|≤Sk，K|s1-s2|，s1，s2∈K， n∈Z， k∈N，

（7）

序列（Sk）k∈N屬于l2.

同樣地，假設σk，n：C→C是線性增長的，對任意的k∈N和n∈Z，存在正常數δk，n和γk使得

|σk，n（s）|≤δk，n+γk|s|， s∈C，

（8）

（δk，n）k∈N，n∈Z和（γk）k∈N屬于l2.

為了方便，設

η=（ηn）n∈Z， S=（Sk，K）k∈N，γ=（γk）k∈N， δ=（δk，n）k∈N，n∈Z，

和

‖η‖2=∑n∈Z|ηn|2， ‖S‖2=∑k∈N|Sk，K|2，‖γ‖2=∑k∈N|γk|2，

‖δ‖2=∑k∈N∑n∈Z|δk，n|2.

對任意的u=（un）n∈Z∈l2，令

〖JZ〗|u|2pu=（|un|2pun）n∈Z，

由（4）式可知，對任意的Rgt;0，存在一個常數G=G（R）gt;0，對所有的u，v∈l2，‖u‖≤R和‖v‖≤R，

‖|u|2pu-|v|2pv‖≤G‖u-v‖.

（9）

對任意的u=（un）n∈Z∈l2，令f（u）=（fn（un））n∈Z.由（5）式可證得f是l2到l2上的局部Lipschitz函數；即對任意的Rgt;0，存在2個常數γ0gt;0和SI=SI（R）gt;0對所有的u，v∈l2，‖u‖≤R和‖v‖≤R，

‖f（u）‖2≤2‖η‖2+2γ20‖u‖2

（10）

和

‖f（u）-f（v）‖≤SI‖u-v‖.

（11）

同樣地，對任意的k∈N，令σk（u）=（σk，n（un））n∈Z.由（6）式可知對任意的Rgt;0，存在2個常數γgt;0和S=S（R）gt;0對所有的u，v∈l2，‖u‖≤R和‖v‖≤R，

∑k∈N‖σk（u）‖2≤2‖δ‖2+2‖γ‖2‖u‖2

（12）

和

∑k∈N‖σk（u）-σk（v）‖2≤

‖S‖2‖u-v‖2，

（13）

對任意的k∈N，σk：l2→l2是局部Lipschitz連續的.

在上述符號下，方程（1）和（2）可以被描述為l2上的隨機時滯方程，即對tgt;0，

du（t）+（1+iα）Au（t）dt+λu（t）dt+（1+i）|u（t）|2pu（t）dt=

（f（u（t-ρ））+g）dt+

∑∞k=1（hk+σk（u（t）））dWk（t），

（14）

初始值

u（s）=ξ（s）， s∈[-ρ，0].

（15）

下面證明問題（14）和（15）解的存在唯一性.

定義 1.1

假設ξ∈L2

（Ω，C（[-ρ，0]，l2））是F0-可測的.當t∈[-ρ，∞）時，令u（t）為一個l2-值的隨機過程.如果對所有Tgt;-ρ和任意的t≥0，有u∈L2

（Ω，C（[-ρ，T]，l2）），（ut）t≥0是Ft-適定的，u0=ξ，在l2中對所有ω∈Ω有

u（t）+（1+iα）∫t0Au（s）ds+λ∫t0u（s）ds+（1+i）∫t0|u（s）|2pu（s）ds=

ξ（0）+∫t0（f（u（s-ρ））+g）ds

+∑∞k=1∫t0（hk+σk（u（s）））dWk（s），

則稱u（t）為問題（14）和（15）式的解.

這里的隨機時滯方程與文獻[21]定理2.2類似，在條件（3）～（8）下，可以證明對任意的F0-可測的ξ∈L2

（Ω，C（[-ρ，0]，l2））和任意的Tgt;-ρ，由定義1.1可知，方程（14）和（15）有一個解u∈L2（Ω，C（[-ρ，T]，l2）），

接下來考慮解關于初始條件的局部Lipschitz連續性.進一步說明這個解是唯一的，即如果v是方程（14）和（15）的另一個解，可得

P（{u（t）=v（t）對所有t≥-ρ}）=1.

因此，對任意的初始時間t0≥0和任意的Ft0-可測的ξ∈L2

（Ω，C（[-ρ，0]，l2）），方程（14）和（15）在t∈[t0-ρ，∞）上有一個唯一的解.

設u（·，ξ1）和u（·，ξ2）為（14）和（15）式關于初始值ξ1和ξ2的解.給定Mgt;0，定義停時序列

τM=inf{t≥0：‖u（（t，ξ1））‖∨

‖u（（t，ξ2））‖gt;M}.

（16）

當inf{}=∞時，M→∞.由（9）式可知對任意的Mgt;0，存在G=G（M）gt;0使得對所有t≥0，

‖|u（t∧τM，ξ1））|2pu（t∧τM，ξ1））-|u（t∧τM，ξ2））|2pu（t∧τM，ξ2））‖≤

G‖u（t∧τM，ξ1））-u（t∧τM，ξ2））‖.

（17）

同理，對于（11）和（13）式的局部Lipschitz連續函數f和σk，對任意的Mgt;0，存在S0=S0（M）gt;0和S=S（M）gt;0使得對所有t≥0，

‖f（u（t∧τM，ξ1））-f（u（t∧τM，ξ2））‖≤S0‖u（t∧τM，ξ1）-u（t∧τM，ξ2）‖

（18）

和

∑k∈N‖σk（u（t∧τM，ξ1））-σk（u（t∧τM，ξ2））‖2≤

‖S‖2‖u（t∧τM，ξ1）-u（t∧τM，ξ2）‖2.

（19）

接下來建立方程（14）和（15）在L2

（Ω，C（[-ρ，0]，l2））中關于初始值解的局部Lipschitz連續性.

引理 1.2

假設（3）～（8）式成立，ξ1，ξ2∈L2

（Ω，C（[-ρ，0]，l2）），那么對任意的t≥0，有

E（sup-ρ≤s≤t‖u（s∧τM，ξ1）-u（s∧τM，ξ2）‖2）≤（1+H0eH0t）E（‖ξ1-ξ2‖2Cρ），

其中，H0是與t，ξ1和ξ2無關的正常數.

證明 "通過（14）、（15）式和Ito公式可知，對所有t≥0，

‖u（t∧τM，ξ1）-u（t∧τM，ξ2）‖2+2∫t∧τM0‖B（u（s，ξ1）-u（s，ξ2））‖2ds+2λ∫t∧τM0‖u（s，ξ1）-u（s，ξ2）‖2ds+

2Re（1+i）∫t∧τM0（u（s，ξ1）-u（s，ξ2），|u（s，ξ1）|2pu（s，ξ1）-|u（s，ξ2）|2pu（s，ξ2））ds=

‖ξ1（0）-ξ2（0）‖2+

2Re∫t∧τM0（u（s，ξ1）-u（s，ξ2），f（u（s-ρ，ξ1））-f（u（s-ρ，ξ2）））ds+

∑∞k=1∫t∧τM0‖σk（u（s，ξ1））-σk（u（s，ξ2）））‖2ds+

2Re∑∞k=1∫t∧τM0（u（s，ξ1）-u（s，ξ2），σk（u（s，ξ1））-σk（u（s，ξ2）））dWk.

（20）

并且對t≥0，有

E（sup0≤r≤t‖u（r∧τM，ξ1）-u（r∧τM，ξ2）‖2）≤

E（‖ξ1（0）-ξ2（0）‖2Cρ）+

21+β2E（∫t∧τM0‖u（s，ξ1）-u（s，ξ2）‖×‖|u（s，ξ1）|2pu（s，ξ1）-

|u（s，ξ2）|2pu（s，ξ2）‖ds）+

2E（∫t∧τM0‖u（s，ξ1）-u（s，ξ2）‖×‖f（u（s-ρ，ξ1））-f（u（s-ρ，ξ2））‖ds）+

E（∑∞k=1∫t∧τM0‖σk（u（s，ξ1））-

σk（u（s，ξ2）））‖2ds）+

2E（sup0≤r≤t∧τM|∑∞k=1∫r0（u（s，ξ1）-u（s，ξ2），σk（u（s，ξ1））-σk（u（s，ξ2）））dWk|）.

（21）

對于（21）式右邊第二項，由（17）式可得

21+β2E（∫t∧τM0‖u（s，ξ1）-u（s，ξ2）‖×‖|u（s，ξ1）|2pu（s，ξ1）-|u（s，ξ2）|2pu（s，ξ2）‖ds）≤

2G1+β2∫t∧τM0E（sup0≤r≤s‖u（r，ξ1）-u（r，ξ2）‖2）ds.

（22）

對于（21）式右邊第三項，由（18）式可得

2E（∫t∧τM0‖u（s，ξ1）-u（s，ξ2）‖‖f（u（s-ρ，ξ1））-f（u（s-ρ，ξ2））‖ds）≤

（1+S20）∫t∧τM0E（sup0≤r≤s‖u（r，ξ1）-u（r，ξ2）‖2）ds+

ρS20E（‖ξ1-ξ2‖2Cρ）.

（23）

對于（21）式右邊最后一項，由BDG不等式可得

2E（sup0≤r≤t∧τM|∑∞k=1∫r0（u（s，ξ1）-u（s，ξ2），σk（u（s，ξ1））-σk（u（s，ξ2））））dWk|）≤

12E（sup0≤r≤t‖u（r∧τM，ξ1）-u（r∧τM，ξ2）‖2）+

12c1‖S‖2∫t0E（sup0≤r≤s‖u（r∧τM，ξ1）-u（r∧τM，ξ2）‖2）ds.（24）

通過（21）～（24）式，對所有t≥0，

E（sup0≤r≤t‖u（r∧τM，ξ1）-u（r∧τM，ξ2）‖2）≤

2（1+ρS20）E（‖ξ1-ξ2‖2Cρ）+

2（1+2G1+β2+S20+‖S‖2+12c1‖S‖2）∫t0E（sup0≤r≤s‖u（r∧τM，ξ1）-

u（r∧τM，ξ2）‖2）ds.（25）

對（25）式運用Gronwall不等式，那么對所有t≥0，

E（sup0≤r≤t‖u（r∧τM，ξ1）-u（r∧τM，ξ2）‖2）≤

2（1+ρS20）ec2tE（‖ξ1-ξ2‖2Cρ），

其中從而完成證明.

2 解的一致估計

本節證明問題（14）和（15）解的一致估計，這對證明不變測度的存在性是很有必要的.本節引用文獻[22]第三部分的結論，證明過程均省略.

假設常數γ0和γ在（10）和（12）式里足夠小，存在x≥1和一個很小的數μgt;0使得

μ+4x（2x-1）‖γ‖2+2（4x-2）2x-12xγ0e12xμρ-

（1+x2）λlt;0.

（26）

引理 2.1

假設（3）～（8）和（26）式在x=1時成立.如果ξ∈L2（Ω，C（[-ρ，0]，l2）），那么問題（14）和（15）的解u滿足

supt≥-ρE（‖u（t）‖2）≤H1（1+E（‖ξ‖2Cρ）），

其中H1是一個與ξ無關的正常數.

引理 2.2

假設（3）～（8）和（26）式在x≥2時成立.如果ξ∈L2x（Ω，C（[-ρ，0]，l2）），那么問題（14）和（15）的解u滿足

supt≥-ρE（‖u（t）‖2x）≤H2（1+E（‖ξ‖2xCρ）），

其中H2是一個與ξ無關的正常數.

利用引理2.2可證明如下引理.

引理 2.3

假設（3）～（8）和（26）式成立.如果ξ∈L4（Ω，C（[-ρ，0]，l2）），那么問題（14）和（15）的解u滿足，對任意的tgt;r≥0，

E（‖u（t）-u（r）‖4）≤

H3（|t-r|2+|t-r|4），

其中，H3是一個與ξ有關，與t和r無關的正常數.

引理 2.4

假設（3）～（8）和（28）式成立.如果ξ∈L2（Ω，C（[-ρ，0]，l2）），那么問題（14）和（15）的解u滿足

lim supm→∞supt≥-ρ∑|n|≥mE（|un（t）|2）=0.

進一步，對引理2.4做如下改進.

引理 2.5

假設（3）～（8）和（28）式成立.如果ξ∈L2（Ω，C（[-ρ，0]，l2）），那么問題（14）和（15）的解u滿足

lim supm→∞supt≥ρE（supt-ρ≤r≤t∑|n|≥m|un（r）|2）=0.

3 不變測度的存在性

本節證明問題（14）和（15）在C（[-ρ，0]，l2）上不變測度的存在性.首先要介紹方程的轉移算子，再建立解的概率分布族的胎緊性.

由定義1.1可知，對任意的初始時間t0≥0和任意的Ft0-可測的ξ∈L2

（Ω，C（[-ρ，0]，l2）），方程（14）和（15）在t∈[t0-ρ，∞）上有一個唯一的解u（t，t0，ξ）.為了方便，對給定的t≥t0和ξ∈L2

（Ω，C（[-ρ，0]，l2）），用ut（t0，ξ）來表示u（t，t0，ξ）的截斷，對所有s∈[-ρ，0]有

ut（t0，ξ）（s）=u（s+t，t0，ξ）.

下面介紹方程（14）和（15）的轉移算子.設：C（[-ρ，0]，l2）→R是有界Borel函數，當0≤r≤t和ξ∈C（[-ρ，0]，l2），設

（pr，t）（ξ）=E（（ut（r，ξ））），

則{pr，t}0≤r≤t是方程（14）和（15）的轉移算子族.為了方便，把p0，t寫作pt.對于Λ∈B（C（[-ρ，0]，l2）），0≤r≤t和ξ∈C（[-ρ，0]，l2），設

p（r，ξ;t，Λ）=（pr，t1Λ）（ξ）=P{ω∈Ω：ut（r，ξ）∈Λ}，

其中1Λ是Λ的特征函數.由此可知p（r，ξ;t，·）是ut（r，ξ）在C（[-ρ，0]，l2）上的概率分布.

假設概率測度μ在C（[-ρ，0]，l2）上關于方程（14）和（15）是不變的，則

∫C（[-ρ，0]，l2）（pt）（ξ）dμ（ξ）=∫C（[-ρ，0]，l2）（ξ）dμ（ξ）， t≥0.

接下來介紹轉移算子的一些性質.

引理 3.1

假設（3）～（8）式成立，可得：

（i） {pr，t}0≤r≤t是Feller的，即如果函數：C（[-ρ，0]，l2）→R是有界連續的，那么對任意的0≤r≤t，函數pr，t：C（[-ρ，0]，l2）→R也是有界連續的.

（ii） {pr，t}0≤r≤t在時間上是齊次的，即對任意的0≤r≤t，

p（r，ξ;t，·）=p（0，ξ;t-r，·），ξ∈C（[-ρ，0]，l2）.

（iii） 給定r≥0和ξ∈C（[-ρ，0]，l2），{ut（r，ξ）}t≥r是C（[-ρ，0]，l2）-值的Markov過程.因此，如果：C（[-ρ，0]，l2）→R是有界的Borel函數，則對任意的0≤s≤r≤t有

（ps，t）（ξ）=（ps，r（pr，t））（ξ），ξ∈C（[-ρ，0]，l2），

并且下面的Chapman-Kolmogorov方程也是成立的，即對任意的ξ∈C（[-ρ，0]，l2）和Λ∈B（C（[-ρ，0]，l2））有

p（s，ξ;t，Λ）=∫C（[-ρ，0]，l2）p（s，ξ;r，dy）p（r，y;t，Λ）.

證明 "由引理1.2可直接證得（i）中{pr，t}0≤r≤t的Feller性質.（ii）和（iii）的證明參考文獻[23]第250～252頁.

現在建立方程（14）和（15）解的概率分布族的胎緊性.

引理 3.2

假設（3）～（8）和（26）式在x=1和x=6時成立.過程{ut（0，0）}t≥r在C（[-ρ，0]，l2）上的分布族是緊的.

證明 "在接下來的證明中把解u（t，0，0）寫作u（t），把截斷ut（0，0）寫作ut.

由引理2.1可知，存在一個常數c1，使得對所有t≥0，

E（‖ut（0）‖2）≤c1.

（27）

通過Chebyshev不等式，由（27）式可知對所有t≥0，

P{‖ut（0）‖≥Q}≤1Q2E（‖ut（0）‖2）≤c1Q2.

因此，對任意的εgt;0，存在Q1=Q1（ε）gt;0，使得對所有t≥0，有

P{‖ut（0）‖≥Q1}≤13ε.

（28）

由引理2.3可知對所有t≥0和r，s∈[-ρ，0]，

E（‖u（t+r）-u（t+s）‖4）≤

c2（1+|r-s|2）|r-s|2≤

c2（1+ρ2）|r-s|2，

（29）

其中c2gt;0.通過（29）式和二分法可知，對任意的εgt;0，存在Q2=Q2（ε）gt;0，使得對所有t≥0，有

P（{sup-ρ≤slt;r≤0‖ut（r）-ut（s）‖|r-s|18≤Q2}）gt;

1-13ε.

（30）

由引理2.5可得，對任意的εgt;0和k∈N，存在一個整數mk=mk（ε，k）≥1，使得對所有t≥0有

E（supt-ρ≤r≤t∑|n|gt;mk|un（r）|2）lt;ε22k+2.

（31）

由（31）式和Chebyshev不等式，對所有t≥0和k∈N，可得

P（∪∞k=1{supt-ρ≤r≤t∑|n|gt;mk|un（r）|2≥12k}）≤

∑∞k=1ε2k+2≤14ε，

（32）

即對所有t≥0，可得

P（{supt-ρ≤r≤t∑|n|gt;mk|vn（r）|2≤12k，k∈N}）gt;

1-13ε.

（33）

對于給定的εgt;0，設

T1，ε={v∈C（[-ρ，0]，l2）：‖v（0）‖≤Q1（ε）}，

（34）

T2，ε={v∈C（[-ρ，0]，l2）：sup-ρ≤slt;r≤0‖v（r）-v（s）‖|r-s|18≤Q2（ε）}，

（35）

T3，ε={v∈C（[-ρ，0]，l2）：sup-ρ≤r≤0∑|n|gt;mk|vn（r）|2≤12k，k∈N}.

（36）

令Tε=T1，ε∩T2，ε∩T3，ε.

由（28），（30）和（33）式可知，對所有t≥0有

P（{vt∈Tε}）gt;1-ε.

接下來，通過Arzela-Ascoli定理來證明Tε在C（[-ρ，0]，l2）上是預緊的.

由（35）式可知，Tε在C（[-ρ，0]，l2）上是等度連續的.根據（34）和（35）式可知對任意r∈[-ρ，0]，

‖v（r）‖≤‖v（r）-v（0）‖+‖v（0）‖≤Q2（ε）|r|18+Q1（ε）≤

ρ18Q2（ε）+Q1（ε）.

（37）

由（36）和（37）式可得，對任意固定的r∈[-ρ，0]，集合{（v（r））：v∈Tε}在l2上是預緊的.即得證.

最后證明方程（14）和（15）的不變測度存在性.

定理 3.3

假設（3）～（8）和（26）式在x≥1時成立.方程（14）和（15）在C（[-ρ，0]，l2）中存在一個不變測度.

證明 "運用Krylov-Bogolyubov方法可得，對給定的m∈N，設

μm=1m∫m0p（0，0;t，·）dt.

（38）

通過引理3.2可知，{μm}∞m=1在C（[-ρ，0]，l2）上是緊的.因此，在C（[-ρ，0]，l2）上存在一個概率測度μ使得當m→∞時，

μm→μ.

（39）

通過（38）和（39）式和Chapman-Kolmogorov方程，可以推出對任意的t≥0和任意有界連續函數：C（[-ρ，0]，l2）→R，

∫C（[-ρ，0]，l2）（y）dμ（y）=limm→∞1m∫m0（∫C（[-ρ，0]，l2）（y）p（0，0;s，dy））ds=

limm→∞1m∫m-t-t（∫C（[-ρ，0]，l2）（y）p（0，0;s+t，dy））ds=

limm→∞1m∫m0（∫C（[-ρ，0]，l2）（y）p（0，0;s+t，dy））ds=

limm→∞1m∫m0（∫C（[-ρ，0]，l2）（∫C（[-ρ，0]，l2）（y）×

p（s，ξ;s+t，dy））p（0，0;s，dξ））ds=

limm→∞1m∫m0（∫C（[-ρ，0]，l2）（∫C（[-ρ，0]，l2）（y）×

p（0，ξ;t，dy））p（0，0;s，dξ））ds=

∫C（[-ρ，0]，l2）（∫C（[-ρ，0]，l2）（y）p（0，ξ;t，dy））dμ（ξ）=

∫C（[-ρ，0]，l2）（p0，t）（ξ）dμ（ξ），

即μ為方程（14）和（15）的不變測度.

4 不變測度的唯一性

本節討論方程（14）和（15）關于局部Lipschitz漂移和擴散項的不變測度唯一性.此節證明會繼續用停時序列（16）來處理局部Lipschitz非線性項.

假設系數G在（17）式里和局部Lipschitz非線性漂移和擴散項的系數S0和S在（18）和（19）式里足夠的小，使得

2G1+β2+‖S‖2+4λ-1S20eλρ≤14λ.

（40）

在條件（40）下，對于方程（14）和（15）關于初始值ξ1和ξ2的任意解u（·，ξ1）和u（·，ξ2）以一定的指數速率收斂于彼此，那就證明了不變測度的唯一性.首先證明解在L2（Ω，C（[-ρ，0]）上的一致估計.

引理 4.1

假設（3）～（8）和（40）式成立，ξ1，ξ2∈L2

（Ω，C（[-ρ，0]，l2）），那么對任意的t≥-ρ，有

E（‖u（t，ξ1）-u（t，ξ2）‖2）≤（1+4λ-1S20eλρ）E（‖ξ1-ξ2‖2Cρ）e-12λt.

證明 "通過（20）式可得，對所有t≥0，

eλ（t∧τM）‖u（t∧τM，ξ1）-u（t∧τM，ξ2）‖2+2∫t∧τM0eλs‖B（u（s，ξ1）-u（s，ξ2））‖2ds+

2Re（1+i）∫t∧τM0eλs（u（s，ξ1）-u（s，ξ2），|u（s，ξ1）|2pu（s，ξ1）-|u（s，ξ2）|2pu（s，ξ2））ds=

‖ξ1（0）-ξ2（0）‖2+

2Re∫t∧τM0eλs（u（s，ξ1）-u（s，ξ2），f（u（s-ρ，ξ1））-f（u（s-ρ，ξ2）））ds+

∑∞k=1∫t∧τM0eλs‖σk（u（s，ξ1））-σk（u（s，ξ2））‖2ds+

2Re∑∞k=1∫t∧τM0eλs（u（s，ξ1）-u（s，ξ2），σk（u（s，ξ1））-σk（u（s，ξ2）））dWk.

（41）

由（41）式，對t≥0有

E（eλ（t∧τM）‖u（t∧τM，ξ1）-u（t∧τM，ξ2）‖2）≤

E（‖ξ1（0）-ξ2（0）‖2Cρ）+

21+β2E（∫t∧τM0eλs‖u（s，ξ1）-u（s，ξ2）‖×‖|u（s，ξ1）|2pu（s，ξ1）-

|u（s，ξ2）|2pu（s，ξ2）‖ds）+

2E（∫t∧τM0eλs‖u（s，ξ1）-u（s，ξ2）‖×‖f（u（s-ρ，ξ1））-f（u（s-ρ，ξ2））‖ds）+

E（∑∞k=1∫t∧τM0eλs‖σk（u（s，ξ1））-σk（u（s，ξ2））‖2ds）.

（42）

接下來處理（42）式右邊第二項.由（17）式可得

21+β2E（∫t∧τM0eλs‖u（s，ξ1）-u（s，ξ2）‖×‖|u（s，ξ1）|2pu（s，ξ1）-

|u（s，ξ2）|2pu（s，ξ2）‖ds）≤

2G1+β2∫t∧τM0E（eλs‖u（s，ξ1）-u（s，ξ2）‖2）ds.

（43）

對于（42）式右邊第三項，由（18）式可得

2E（∫t∧τM0eλs‖u（s，ξ1）-u（s，ξ2）‖×‖f（u（s-ρ，ξ1））-f（u（s-ρ，ξ2））‖ds）≤

14λE（∫t∧τM0eλs‖u（s，ξ1）-u（s，ξ2）‖2ds）+

4λ-1S20E（∫t∧τM0eλs‖u（s-ρ，ξ1）-u（s-ρ，ξ2）‖2ds）≤

（14λ+4λ-1S20eλρ）∫t∧τM0E（eλs‖u（s，ξ1）-u（s，ξ2）‖2）ds+

4λ-1S20eλρE（‖ξ1-ξ2‖2Cρ）.

（44）

對于（42）式右邊最后一項，由（19）式可得

E（∑∞k=1∫t∧τM0eλs‖σk（u（s，ξ1））-σk（u（s，ξ2））‖2ds）≤

‖S‖2∫t∧τM0E（eλs‖u（s，ξ1）-

u（s，ξ2）‖2）ds.

（45）

由（42）～（45）式可知，對所有t≥0，

E（eλ（t∧τM）‖u（t∧τM，ξ1）-u（t∧τM，ξ2）‖2）≤

（1+4λ-1S20eλρ）E（‖ξ1-ξ2‖2Cρ）+

（14λ+2G1+β2+‖S‖2+4λ-1S20eλρ）∫t∧τM0E（eλs‖u（s，ξ1）-u（s，ξ2）‖2）ds.

（46）

對（46）式應用Gronwall不等式，則對所有的t≥0，

E（eλ（t∧τM）‖u（t∧τM，ξ1）-u（t∧τM，ξ2）‖2）≤

（1+4λ-1S20eλρ）E（‖ξ1-ξ2‖2Cρ）e（14λ+2G1+β2+‖S‖2+4λ-1S20eλρ）（t∧τM）.

（47）

由（40）式可得，對所有t≥0和M→∞，

E（‖u（t，ξ1）-u（t，ξ2）‖2）≤

（1+4λ-1S20eλρ）E（‖ξ1-ξ2‖2Cρ）e-12λt.

（48）

當t∈[-ρ，0]和M→∞，可得

E（‖u（t∧τM，ξ1）-u（t∧τM，ξ2）‖2）=

E（‖u（t，ξ1）-u（t，ξ2）‖2）=

E（‖ξ1（t）-ξ2（t）‖2）≤

E（‖ξ1-ξ2‖2Cρ）e-12λt.

（49）

于是由（48）和（49）式得證.

接下來，對引理4.1做一些改進以此得到解的截斷在C（[-ρ，0，l2]）上的一致估計.

引理 4.2

假設（3）～（8）和（40）式成立，ξ1，ξ2∈L2

（Ω，C（[-ρ，0]，l2）），那么對任意的t≥ρ，有

E（supt-ρ≤r≤t‖u（r，ξ1）-u（r，ξ2）‖2）≤H4E（‖ξ1-ξ2‖2Cρ）e-12λt，

其中H4是與λ，ρ，G，S和S0有關的正常數.

證明 "通過（20）式可得，對所有t∧τM≥ρ和r∧τM≥t∧τM-ρ，

‖u（r∧τM，ξ1）-u（r∧τM，ξ2）‖2+2∫r∧τMt∧τM-ρ‖B（u（s，ξ1）-u（s，ξ2））‖2ds+2λ∫r∧τMt∧τM-ρ‖u（s，ξ1）-u（s，ξ2）‖2ds+

2Re（1+i）∫r∧τMt∧τM-ρ（u（s，ξ1）-u（s，ξ2），

|u（s，ξ1）|2pu（s，ξ1）-|u（s，ξ2）|2pu（s，ξ2））ds=

‖u（t∧τM-ρ，ξ1）-u（t∧τM-ρ，ξ2）‖2+

2Re∫r∧τMt∧τM-ρ（u（s，ξ1）-u（s，ξ2），f（u（s-ρ，ξ1））-f（u（s-ρ，ξ2）））ds+

∑∞k=1∫r∧τMt∧τM-ρ‖σk（u（s，ξ1））-σk（u（s，ξ2））‖2ds+

2Re∑∞k=1∫r∧τMt∧τM-ρ（u（s，ξ1）-u（s，ξ2），σk（u（s，ξ1））-σk（u（s，ξ2）））dWk.

（50）

因此，對所有t∧τM≥ρ，

E（supt-ρ≤r≤t‖u（r∧τM，ξ1）-u（r∧τM，ξ2）‖2）≤

E（‖u（t∧τM-ρ，ξ1）-u（t∧τM-ρ，ξ2）‖2）+

21+β2E（∫t∧τMt∧τM-ρ‖u（s，ξ1）-u（s，ξ2）‖×‖|u（s，ξ1）|2pu（s，ξ1）-

|u（s，ξ2）|2pu（s，ξ2）‖ds）+

2E（∫t∧τMt∧τM-ρ‖u（s，ξ1）-u（s，ξ2）‖×‖f（u（s-ρ，ξ1））-f（u（s-ρ，ξ2））‖ds）+

E（∑∞k=1∫t∧τMt∧τM-ρ‖σk（u（s，ξ1））-σk（u（s，ξ2））‖2ds）+

2E（supt-ρ≤r≤t|∑∞k=1∫r∧τMt∧τM-ρ（u（s，ξ1）-u（s，ξ2），σk（u（s，ξ1））-σk（u（s，ξ2）））dWk|）.

（51）

對于（51）式右邊第一項，通過引理4.1可得，對所有t∧τM≥ρ，

E（‖u（t∧τM-ρ，ξ1）-u（t∧τM-ρ，ξ2）‖2）≤c1E（‖ξ1-ξ2‖2Cρ）e-12λ（t∧τM-ρ），

（52）

其中c1=（1+4λ-1S20eλρ）.

對于（51）式右邊第二項，由（17）式和引理4.1可得

21+β2E（∫t∧τMt∧τM-ρ‖u（s，ξ1）-u（s，ξ2）‖×‖|u（s，ξ1）|2pu（s，ξ1）-

|u（s，ξ2）|2pu（s，ξ2）‖ds）≤

2G1+β2∫t∧τMt∧τM-ρE（‖u（s，ξ1）-u（s，ξ2）‖2）ds≤

2c1G1+β2E（‖ξ1-ξ2‖2Cρ）∫t∧τMt∧τM-ρe-12λsds≤

4c1λ-1G1+β2×

E（‖ξ1-ξ2‖2Cρ）e-12λ（t∧τM-ρ）.

（53）

對于（51）式右邊第三項，由（18）式和引理4.1得

2E（∫t∧τMt∧τM-ρ‖u（s，ξ1）-u（s，ξ2）‖×‖f（u（s-ρ，ξ1））-f（u（s-ρ，ξ2））‖ds）≤

∫t∧τMt∧τM-ρE（‖u（s，ξ1）-u（s，ξ2）‖2）ds+S20∫t∧τMt∧τM-ρE（‖u（s-ρ，ξ1）-u（s-ρ，ξ2）‖2）ds≤

2c1λ-1E（‖ξ1-ξ2‖2Cρ）e-12λ（t∧τM-ρ）+c1S20E（‖ξ1-ξ2‖2Cρ）∫t∧τM-ρt∧τM-2ρe-12λsds≤

2c1λ-1E（‖ξ1-ξ2‖2Cρ）×

（1+S20e12λρ）e-12λ（t∧τM-ρ）.

（54）

對于（51）式右邊第四項，由（19）式和引理4.1可得

E（∑∞k=1∫t∧τMt∧τM-ρ‖σk（u（s，ξ1））-σk（u（s，ξ2））‖2ds）≤

‖S‖2∫t∧τMt∧τM-ρE（‖u（s，ξ1）-u（s，ξ2）‖2）ds≤

c1‖S‖2E（‖ξ1-ξ2‖2Cρ）∫t∧τMt∧τM-ρe-12λsds≤

2c1λ-1‖S‖2E（‖ξ1-ξ2‖2Cρ）e-12λ（t∧τM-ρ）.

（55）

對于（51）式右邊最后一項，由BDG不等式和（55）式可得

2E（supt-ρ≤r≤t|∑∞k=1∫r∧τMt∧τM-ρ（u（s，ξ1）-u（s，ξ2），σk（u（s，ξ1））-σk（u（s，ξ2）））dWk|）≤

c2E（（∫r∧τMt∧τM-ρ∑∞k=1|（u（s，ξ1）-u（s，ξ2），σk（u（s，ξ1））-σk（u（s，ξ2）））|2ds）12）≤

12E（supt-ρ≤r≤t‖u（r∧τM，ξ1）-u（r∧τM，ξ2）‖2）+12c22E（∑∞k=1∫t∧τMt∧τM-ρ‖σk（u（s，ξ1））-σk（u（s，ξ2））‖2ds）≤

12E（supt-ρ≤r≤t‖u（r∧τM，ξ1）-u（r∧τM，ξ2）‖2）+

c1c22λ-1‖S‖2E（‖ξ1-ξ2‖2Cρ）e-12λ（t∧τM-ρ）.

（56）

通過（51）～（56）式，可知存在c3=c3（λ，ρ，G，S，S0）gt;0，對所有M→∞和t≥ρ，有

E（supt-ρ≤r≤t‖u（r，ξ1）-u（r，ξ2）‖2）≤c3E（‖ξ1-ξ2‖2Cρ）e-12λt，

得證.

下面來證明方程（14）和（15）不變測度的唯一性.

定理 4.3

假設（3）～（8）和（40）式成立，那么方程（14）和（15）在C（[-ρ，0]，l2）上有唯一的不變測度.

證明 "由引理4.2可知，對任意的ξ1，ξ2∈L2

（Ω，C（[-ρ，0]，l2）），方程（14）和（15）的截斷解ut（ξ1）和ut（ξ2）滿足，對所有的t≥ρ，

E（‖ut（ξ1）-ut（ξ2）‖2）≤H4E（‖ξ1-ξ2‖2Cρ）e-12λt.

（57）

參考文獻[18]，由引理3.1（i）可知，若在C（[-ρ，0]，l2）是有界連續的，則pt也是有界的.通過（57）式可知pt也是Lipschitz函數，則對任意的ξ1，ξ2∈C（[-ρ，0]，l2），有

|（pt）（ξ1）-（pt）（ξ2）|≤L‖ut（ξ1）-ut（ξ2）‖Cρ，

（58）

其中的L是Lipschitz常數.通過（57）和（58）式，對任意的ξ，η∈C（[-ρ，0]，l2）和所有t≥ρ，有

|（pt）（ξ）-∫C（[-ρ，0]，l2）（η）dμ（η）|≤∫C（[-ρ，0]，l2）|（pt）（ξ）-（pt）（η）|dμ（η）≤

L∫C（[-ρ，0]，l2）E（‖ut（ξ）-ut（η）‖Cρ）dμ（η）≤

L∫C（[-ρ，0]，l2）（E（‖ut（ξ）-ut（η）‖2Cρ））12dμ（η）≤

LH4e-14λt∫C（[-ρ，0]，l2）（E（‖ξ-η‖2Cρ））12dμ（η）.

由文獻[24]的引理7.1.5可知，不變測度μ是唯一的.

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Ergodicity for Stochastic Delay Complex Ginzburg-Landau Equations

REN Die， ZOU Yanyan， LIU Aili， SHU Ji

（1. School of Mathematical Sciences， Sichuan Normal University， Chengdu 610066， Sichuan;

[DW]2. V.C. amp; V.R. Key Lab， Sichuan Normal University， Chengdu 610066， Sichuan）

In this paper， we discuss the ergodicity of the stochastic delay complex Ginzburg-Landau equations defined on the set of integers. When the nonlinear drift and diffusion terms are locally Lipschitz continous， we use the uniform tail-estimates， the technique of diadic division and the Arzela-Ascoli theorem to establish the tightness for probability distributions of solutions in the finite to infinite dimensional continuous function space which can prove the existence of the invariant measure. When the Lipschitz coefficients of the nonliner drift and diffusion terms are small enough， we prove the uniqueness of the invariant measure.

complex Ginzburg-Landau equation; ergodicity; invariant measure; delay; tail-estimates

（編輯 周 俊）

收稿日期：2022-11-22 "接受日期：2022-12-28

基金項目：國家自然科學基金（11371267和11571245）和四川省科技廳應用基礎計劃項目（2016JY0204）

*通信作者簡介：舒 級（1976—），男，博士，教授，主要從事隨機動力系統與偏微分方程的研究，E-mail：shuji2008@hotmail.com

引用格式：任蝶，鄒艷艷，劉愛麗，等. 隨機時滯復Ginzburg-Landau方程的遍歷性[J]. 四川師范大學學報（自然科學版），2025，48（1）：122-131.