具有次線性中立項的二階微分方程的振動性

摘要：為進一步發展和完善微分方程的振動理論，研究一類具有次線性中立項的二階非線性微分方程的振動性，利用Riccati變換、不等式技巧和分析性質，獲得該類方程振動的充分條件.

關鍵詞：Riccati變換; 振動性; 次線性中立項; 正解

中圖分類號：O175.7

文獻標志碼：A

文章編號：1001-8395（2025）01-0138-05

doi：10.3969/j.issn.1001-8395.2025.01.014

近年來，二階非線性中立型時滯微分方程的振動性問題受到了很大關注，在人工智能、生物學、動力系統和高新技術等領域中得到廣泛應用，并取得了許多重要結果[1-12].文獻[1]研究了二階中立型微分方程

（r（t）z′（t））′+g（t）xβ（σ（t））=0，

z（t）=x（t）+p（t）x（τ（t））， t≥t0

（1）

的振動性，得到了方程振動的充分條件，這里方程的中立項z（t）是線性的.在研究方程的振動性問題時，如果方程的中立項是非線性的，這種情況一般較復雜，所以多數研究會附加一些條件將非線性中立項轉化為線性的情況來討論[1，3-6].文獻[2]把方程（1）的中立項改為非線性項進一步做了研究，但只研究了α≥1時超線性中立型的微分方程

（r（t）z′（t））′+g（t）xβ（σ（t））=0，

z（t）=x（t）+p（t）xα（τ（t））， t≥t0

（2）

的振動性，得到了新的振動準則.

受上述研究的啟發，本文改進了文獻[2]的研究結果，討論了0lt;αlt;1時，具有次線性中立項的二階非線性微分方程

（r（t）z′（t））′+f（t，x（σ（t）））=0，

z（t）=x（t）+p（t）xα（τ（t））， t≥t0

（3）

的振動性，其中，0lt;αlt;1是2個正奇數的比，f∈C（［t0，∞）×R，R），t0gt;0.

假設下列條件成立：

（H1） f（t，v）vβ≥q（t）gt;0，βgt;0是2個正奇數的比;

（H2） p（t），q（t）∈C（［t0，+∞），（0，+∞））;

（H3） r（t），τ（t），σ（t）∈C（［t0，+∞），（0，+∞）），

r′（t）≥0，τ（t）≤t，σ（t）≤t，σ′（t）gt;0，limt→∞ τ（t）=∞，limt→∞ σ（t）=∞.

函數x（t）稱為方程（3）的一個解，如果函數z（t）和r（t）z′（t）連續可微且在區間［t0，∞）上x（t）滿足方程（3）.方程（3）的一個非平凡解稱為振動的，如果它有任意大的零點;否則，稱它為非振動的.如果方程（3）的一切解均振動，則稱方程（3）為振動的.

〖JP5〗本文借助Riccati變換、不等式技巧和分析性質研究方程（3）的振動性，在

∫∞t01r（t）dt=∞

與

∫∞t01r（t）dtlt;∞

條件下，分別獲得了該類方程振動的充分條件，所得結論推廣和改進了現有文獻的研究結果.

為了敘述方便，記

R（t）=∫tt01r（s）ds， μ（t）=∫∞t1r（s）ds，

Q（t）=λ1－αμ1－α（t）－p（t）μα（τ（t））μα（t），

其中，λgt;0是常數.

〖HJ1.8mm〗

1 基本引理

為了證明文中的結果，先介紹下面幾個引理.

引理 1 "設條件（H1）～（H3）成立，x（t）是方程（3）的正解，當t≥t1≥t0時，z（t）滿足下面2種情形：

（I） z（t）gt;0，z′（t）gt;0，（r（t）z′（t））′≤0;

（II） z（t）gt;0，z′（t）lt;0，（r（t）z′（t））′≤0.

引理 2 "設x（t）是方程（3）的正解，當t≥t1≥t0時，若z（t）滿足引理1的情形（I），則

x（t）≥（L-p（t））zα（t）;

（4）

若z（t）滿足引理1的情形（II），則

x（t）≥Q（t）zα（t），

（5）

z（t）≥λμ（t），

（6）

其中，L，λgt;0是常數.

證明 "1） 若z（t）滿足引理1的情形（I），則當t≥t1≥t0時，0lt;L≤z1－α（t1）lt;z1－α（t），L是常數，

x（t）=z（t）－p（t）xα（τ（t））≥

z（t）－p（t）zα（t）=（z1－α（t）－p（t））zα（t）≥

（L－p（t））zα（t）.

2） 若z（t）滿足引理1的情形（II），設當t≥t1≥t0時，因為（r（t）z′（t））′≤0，則

z（l）=z（t）+∫ltz′（s）ds=

∫ltr（s）z′（s）r（s）ds≤

z（t）+r（t）z′（t）∫lt1r（s）ds，

當l→∞時，z（t）+r（t）z′（t）μ（t）≥0，

（z（t）μ（t））′=z′（t）μ（t）－z（t）μ′（t）μ2（t）=

z（t）+z′（t）r（t）μ（t）r（t）μ2（t）≥0，

因此，當t≥t1≥t0時，存在λgt;0，使得

z（t）μ（t）≥z（t1）μ（t1）≥λ，

因為z（t）≥x（t），

x（t）=z（t）－p（t）xα（τ（t））≥〖JP5〗

z（t）－p（t）zα（τ（t））≥z（t）－p（t）μα（τ（t））μα（t）zα（t）=

（z1－α（t）－p（t）μα（τ（t））μα（t））zα（t）

≥

（λ1－αμ1－α（t）－p（t）μα（τ（t））μα（t））zα（t）=Q（t）zα（t）.

引理2證畢.

2 主要結果

定理 1 "設條件（H1）～（H3）成立，

∫∞t01r（t）dt=∞，

若

∫∞t1q（σ（s））（L-p（σ（s）））βds=∞，

（7）

其中，Lgt;0是常數，則方程（3）振動.

證明 "設x（t）是方程（3）的正解.當t≥t1≥t0時，

x（t）gt;0，x（σ（t））gt;0，x（τ（t））gt;0，z（t）gt;0，則z′（t）gt;0.

事實上，若z′（t）≤0.因為（r（t）z′（t））′≤0，當t≥t1時，存在hgt;0，r（t）z′（t）≤－h，于是

z（t）≤z（t1）－h∫tt11r（s）ds，

當t→∞時，z（t）lt;0，這與z（t）gt;0矛盾.因此z（t）滿足引理1的情形（I）.由方程（3）和條件（H1）得

（r（t）z′（t））′+q（σ（t））xβ（σ（t））≤0，

t≥t1，

（8）

將（4）式代入（8）式，得

（r（t）z′（t））′+q（σ（t））（L-

p（σ（s））βzαβ（σ（t）））≤0，

（9）

對（9）式從t1到t積分得

zαβ（σ（t1））∫tt1q（σ（s））（L-p（σ（s）））βds≤

∫tt1q（σ（s））（L-p（σ（s））βzαβ（σ（s）））ds≤

r（t1）z′（t1）－r（t）z′（t）≤r（t1）z′（t1）.

當t→∞時，

∫∞t1q（σ（s））（L-p（σ（s）））βdslt;∞

與（7）式矛盾，所以方程（3）振動.

定理 2 "設條件（H1）～（H3）成立，αβ≥1，

∫∞t01r（t）dtlt;∞，

且Q（t）gt;0，若存在函數φ（t）∈C1（［t0，+∞），R+），使得

limt→∞ sup∫tt1（φ（s）q（σ（s））（L-p（σ（s）））β－

r（s）（φ′（s））24αβσ′（s）φ（s）Lαβ－11）ds=∞，

（10）

limt→∞ sup∫tt1（q（σ（s））Qβ（σ（s））μαβ（s）－

αβ4λαβ－1r（s）μ（s））ds=∞，

（11）

其中，L、L1和λ是正常數，則方程（3）振動.

證明 "設x（t）是方程（3）的正解，當t≥t1≥t0時，

x（t）gt;0，x（σ（t））gt;0，x（τ（t））gt;0，則：

1） 若z（t）滿足引理1的情形（I），設

w（t）=φ（t）r（t）z′（t）zαβ（σ（t））， t≥t1.

顯然w（t）gt;0，利用z′（t）gt;0，（r（t）z′（t））′≤0和（8）式，得z″（t）lt;0，利用（9）式，得

w′（t）=φ′（t）r（t）z′（t）zαβ（σ（t））+φ（t）（r（t）z′（t））′zαβ（σ（t））－

αβφ（t）σ′（t）r（t）z′（t）z′（σ（t））zαβ+1（σ（t））≤

φ′（t）w（t）φ（t）－φ（t）q（σ（t））（L-p（σ（t）））β－

αβσ′（t）zαβ－1（σ（t））w2（t）φ（t）r（t）≤

φ′（t）w（t）φ（t）－φ（t）q（σ（t））（L-p（σ（t）））β－

αβσ′（t）Lαβ－11w2（t）φ（t）r（t），

這里L1是常數，0lt;L1≤z（σ（t1））.利用完全平方公式可得

w′（t）≤－φ（t）q（σ（t））（L-p（σ（t）））β－

αβσ′（t）Lαβ－11φ（t）r（t）

（（w（t）－r（t）φ′（t）2αβσ′（t）Lαβ－11）2－（r（t）φ′（t）2αβσ′（t）Lαβ－11）2）≤r（t）（φ′（t））24αβσ′（t）φ（t）Lαβ－11－

φ（t）q（σ（t））（L-p（σ（t）））β.

對上式從t1到t積分，得

∫tt1（φ（s）q（σ（s））（L-p（σ（s）））β－r（s）（φ′（s））24αβσ′（s）φ（s）Lαβ－11）ds≤

w（t1）－w（t），

當t→∞時，上式與（10）式矛盾，所以方程（3）振動.

2） 若z（t）滿足引理1的情形（II），設

u（t）=r（t）z′（t）zαβ（t）， t≥t1，

（12）

顯然當t≥t1時，u（t）lt;0.當s≥t時，因為

（r（t）z′（t））′≤0，

所以

z′（s）≤r（t）z′（t）r（s），

對上式從t到l積分，則有

z（l）－z（t）≤r（t）z′（t）∫lt1r（s）ds，

當l→∞時，得

r（t）z′（t）μ（t）z（t）≥－1， t≥t1，

于是有

－r（t）z′（t）（－r（t）z′（t））αβ－1μαβ（t）zαβ（t）≤1，

因為－r（t）z′（t）gt;0，（－r（t）z′（t））′≥0，所以當tgt;t1時，存在L2gt;0，使得0lt;L2≤－r（t1）z′（t1），由（12）式得

－L1－αβ2≤u（t）μαβ（t）≤0.

（13）

再由（8）式得

u′（t）=（r（t）z′（t））′zαβ（t）－αβr（t）（z′（t））2zαβ+1（t）≤

－q（σ（t））xβ（σ（t））zαβ（t）－αβu2（t）zαβ－1（t）r（t），

結合（5）和（6）式，則有

u′（t）≤－q（σ（t））Qβ（σ（t））－αβu2（t）（λμ（t））αβ－1r（t），

u′（t）μαβ（t）+q（σ（t））Qβ（σ（t））μαβ（t）+

αβμαβ（t）u2（t）（λμ（t））αβ－1r（t）≤0.

對上式從t1到t積分，得

u（t）μαβ（t）－u（t1）μαβ（t1）－∫tt1u（s）dμαβ（s）+∫tt1（q（σ（s））Qβ（σ（s））μαβ（s）+αβμαβ（s）u2（s）（λμ（s））αβ－1r（s））ds≤0，

u（t）μαβ（t）－u（t1）μαβ（t1）+∫tt1q（σ（s））Qβ（σ（s））μαβ（s）ds+

〖JP5〗∫tt1（αβu（s）μαβ（s）r（s）μ（s）+αβμαβ（s）u2（s）（λμ（s））αβ－1r（s））ds≤0，

利用完全平方公式可得

u（t）μαβ（t）－u（t1）μαβ（t1）+

∫tt1q（σ（s））Qβ（σ（s））μαβ（s）ds+

∫tt1αβμαβ（s）（λμ（s））αβ－1r（s）（（u（s）+12λαβ－1μαβ（s））2－

14λ2（αβ－1）μ2αβ（s））ds≤0，

于是

u（t）μαβ（t）－u（t1）μαβ（t1）+

〖JP6〗∫tt1（q（σ（s））Qβ（σ（s））μαβ（s）－αβ4λ（αβ－1）r（s）μ（s））ds≤0，

由（13）式可得

∫tt1（q（σ（s））Qβ（σ（s））μαβ（s）－αβ4λαβ－1r（s）μ（s））ds≤

u（t1）μαβ（t1）+L1－αβ2，

當t→∞時，上式與（11）式矛盾，所以方程（3）振動.定理2證畢.

定理 3 "設條件（H1）～（H3）成立，αβlt;1，0lt;p（t）lt;L，∫∞t01r（t）dtlt;∞，且Q（t）gt;0，若存在函數φ（t）∈C1（［t0，+∞），R+），使得

limt→∞ sup∫tt1（φ（s）q（σ（s））（L－p（σ（s）））β－

φ′（s）L1－αβ3Rαβ（σ（s）））ds=∞，

（14）

limt→∞ sup∫tt1（Lαβ－14Qβ（σ（s））q（σ（s））μ（s）－

14μ（s）r（s））ds=∞，

（15）

其中，L、L3和L4是正常數，則方程（3）振動.

證明 "設x（t）是方程（3）的正解，當t≥t1≥t0時，

x（t）gt;0，x（σ（t））gt;0，x（τ（t））gt;0，則：

1） 若z（t）滿足引理1的情形（I），當t≥t1≥t0時，由不等式（4），得

（r（t）z′（t））′+q（σ（t））（L－

p（σ（t）））βzαβ（σ（t））≤0， t≥t1.

（16）

當t≥t1≥t0時，（r（t）z′（t））′≤0，則

z（t）=z（t1）+∫tt1z′（s）dsgt;∫tt1r（s）z′（s）r（s）ds≥R（t）r（t）z′（t）.

（17）

設

w（t）=φ（t）r（t）z′（t）zαβ（σ（t））， t≥t1，

顯然w（t）gt;0，

w′（t）=φ′（t）r（t）z′（t）zαβ（σ（t））+φ（t）（r（t）z′（t））′zαβ（σ（t））－

αβφ（t）σ′（t）r（t）z′（t）z′（σ（t））zαβ+1（σ（t））≤

φ′（t）r（t）z′（t）zαβ（σ（t））+φ（t）（r（t）z′（t））′zαβ（σ（t）），

結合（16）和（17）式，得

w′（t）≤φ′（t）r（t）z′（t）Rαβ（σ（t））（r（σ（t））z′（σ（t）））αβ－

φ（t）q（σ（t））（L－p（σ（t）））β≤

〖JP5〗

φ′（t）（r（t）z′（t））1－αβRαβ（σ（t））－φ（t）q（σ（t））（L－p（σ（t）））β≤

φ′（t）L1－αβ3Rαβ（σ（t））－φ（t）q（σ（t））（L－p（σ（t）））β，

這里L3是常數，當tgt;t1時，L3≥r（t1）z′（t1）gt;0，對上式從t1到t積分，得

∫tt1（φ（s）q（σ（s））（L－p（σ（s）））β－φ′（s）L1－αβ3Rαβ（σ（s）））ds≤w（t1）－w（t）.

當t→∞時，上式與（14）式矛盾.所以方程（3）振動.

2） 若z（t）滿足引理1的情形（II），設

u（t）=r（t）z′（t）z（t）， t≥t1，

顯然當t≥t1時，u（t）lt;0.由（8）式可得

u′（t）=（r（t）z′（t））′z（t）－u2（t）r（t）≤－xβ（σ（t））q（σ（t））z（t）－u2（t）r（t），

因為當t≥t1時，z（t）gt;0，z′（t）lt;0，因此存在L4，使得

L4≥z（t1）gt;0，由（5）式得

u′（t）≤－q（σ（t））Qβ（σ（t））zαβ（σ（t））z（t）－u2（t）r（t）≤

－q（σ（t））Qβ（σ（t））zαβ－1（t）－u2（t）r（t）≤

－Lαβ－14q（σ（t））Qβ（σ（t））－u2（t）r（t），

因此

u′（t）+Lαβ－14Qβ（σ（t））q（σ（t））+u2（t）r（t）≤0，

上式兩邊同乘以μ（t），得

u′（t）μ（t）+Lαβ－14Qβ（σ（t））q（σ（t））μ（t）+u2（t）r（t）μ（t）≤0，

對上式從t1到t積分，則有

u（t）μ（t）－u（t1）μ（t1）+∫tt1u（s）r（s）ds+∫tt1u2（s）r（s）μ（s）ds+

∫tt1Lαβ－14Qβ（σ（s））q（σ（s））μ（s）ds≤0，

u（t）μ（t）－u（t1）μ（t1）+

∫tt1Lαβ－14Qβ（σ（s））q（σ（s））μ（s）ds+

∫tt1（μ（s）r（s）u2（s）+u（s）r（s））ds≤0，

利用完全平方公式，得

u（t）μ（t）－u（t1）μ（t1）+∫tt1Lαβ－14Qβ（σ（s））q（σ（s））μ（s）ds+

∫tt1（μ（s）r（s）（u（s）+12μ（s））2－14μ（s）r（s））ds≤0，

于是

∫tt1（Lαβ－14Qβ（σ（s））q（σ（s））μ（s）－14r（s））μ（s））ds≤u（t1）μ（t1）－u（t）μ（t）.

當t→∞時，

∫tt1（Lαβ－14Qβ（σ（s））q（σ（s））μ（s）－14μ（s）r（s））ds≤

u（t1）μ（t1）+1.

上式與（15）式矛盾，所以方程（3）振動.定理3證畢.

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Oscillation Criteria for Second Order Differential Equations with Sublinear Neutral Term

ZHAO Yuping

（College of Mathematics and Statistics， Qinghai Nationalities University， Xining 810007， Qinghai）

In order to develop and improve the theory about oscillation of differential equations， the oscillation criteria of a family of second order nonlinear differential equations with a sublinear neutral term are studied. By use of the Riccati transformation， inequality techniques and analytical properties， the sufficient conditions for the oscillation of the equations are established.

Riccati transformation; oscillation criteria; sublinear neutral; positive solution

（編輯 鄭月蓉）

收稿日期：2023-04-20 "接受日期：2023-06-09

基金項目：國家自然科學基金（12161071）和青海省科技廳資助項目（2023-ZJ-949Q）

作者簡介：趙玉萍（1975—），女，教授，主要從事微分方程的理論研究，E-mail：234880202@qq.com

引用格式：趙玉萍. 具有次線性中立項的二階微分方程的振動性[J]. 四川師范大學學報（自然科學版），2025，48（1）：138-142.