基于風(fēng)險(xiǎn)偏好的區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊得分函數(shù)及其多屬性決策

摘要：針對屬性權(quán)重已知、評價(jià)信息為區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊數(shù)的多屬性決策問題，對區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊集的得分函數(shù)進(jìn)行深入分析，考慮決策者的主觀態(tài)度對決策結(jié)果的影響，提出一種基于風(fēng)險(xiǎn)偏好因子的新得分函數(shù).首先，介紹區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊數(shù)的基本定義和相關(guān)運(yùn)算，考慮決策者在面臨風(fēng)險(xiǎn)時的不同主觀價(jià)值感受，進(jìn)而通過引入風(fēng)險(xiǎn)偏好因子提出新的得分函數(shù)和排序準(zhǔn)則.其次，給出新得分函數(shù)的取值范圍、最值和單調(diào)性等性質(zhì)并進(jìn)行證明.最后，基于該得分函數(shù)給出一種全新的TOPSIS多屬性決策方法，并通過解決實(shí)際問題檢驗(yàn)該方法的可行性、實(shí)用性和有效性.區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊數(shù)得分函數(shù)的改進(jìn)豐富了多屬性決策理論.

關(guān)鍵詞：區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊集; 風(fēng)險(xiǎn)偏好; 得分函數(shù); 多屬性決策

中圖分類號：O159

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-8395（2025）01-0114-08

doi：10.3969/j.issn.1001-8395.2025.01.011

模糊集理論[1]是解決不確定問題的有效工具，許多學(xué)者對此進(jìn)行研究和推廣[2-7].猶豫模糊集[4]深化了模糊集概念，其隸屬度由一個數(shù)值擴(kuò)充為一個數(shù)集.此外，畢達(dá)哥拉斯模糊集[5]拓展了直覺模糊集，將隸屬度和非隸屬度所屬特征區(qū)域由三角形擴(kuò)充到1/4圓，增大了信息量.畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊集[6]結(jié)合畢達(dá)哥拉斯模糊集和猶豫模糊集的優(yōu)點(diǎn)，更好描述與處理現(xiàn)實(shí)世界中猶豫不決而導(dǎo)致的信息不確定性.為表示更復(fù)雜和不確定模糊信息，文獻(xiàn)[7]對畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊集進(jìn)行擴(kuò)張，提出區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊集（Interval-valued Pythagorean hesitant fuzzy sets，IVPHFSs），并開發(fā)了一系列聚合算子，將其應(yīng)用于多屬性決策問題.到目前為止，關(guān)于區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊環(huán)境下不確定性問題的研究還很少.

得分函數(shù)作為常用排序的數(shù)學(xué)工具，在決策分析中普遍應(yīng)用[8-9].文獻(xiàn)[9]從得分函數(shù)的角度出發(fā)提出了直覺模糊多屬性決策新方法;Liu等[10]在處理直覺模糊多屬性決策問題中考慮決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好;Chen等[11]將決策者對各方案的態(tài)度特征考慮在內(nèi)，提出更符合實(shí)際的多屬性決策方法;文獻(xiàn)[12]基于直覺猶豫模糊集的理論研究，提出畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊集，定義畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊數(shù)的得分和精確函數(shù)，并用于畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊數(shù)的大小比較;Zhang等[13]提出了區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊數(shù)的得分函數(shù)和精度函數(shù)及對應(yīng)的排序準(zhǔn)則.

在以往的研究中，一般都假設(shè)決策者是完全理性的，未考慮其偏好習(xí)慣等因素對決策的影響;同時，文獻(xiàn)[13]給出的區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模數(shù)的得分函數(shù)結(jié)果為區(qū)間值，難以精確比較，給決策帶來不便.因此，本文在區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊（interval-valued pythagorean hesitant fuzzy number，IVPHFN））環(huán)境下通過引入風(fēng)險(xiǎn)偏好因子提出風(fēng)險(xiǎn)偏好得分函數(shù)，并給出基于風(fēng)險(xiǎn)偏好的TOPSIS多屬性決策方法.具體內(nèi)容如下：首先回顧直覺模糊集、猶豫模糊集和區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊集及其對應(yīng)得分函數(shù)的一些基本概念;其次針對區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊數(shù)的原得分函數(shù)未考慮決策者主觀偏好的影響，數(shù)值為區(qū)間難以直接比較的問題，給出一種新得分函數(shù)，并研究新得分函數(shù)的性質(zhì);最后，基于新得分函數(shù)提出一種TOPSIS多屬性決策方法，并通過實(shí)例分析驗(yàn)證該方法的可行性和有效性.

2 相關(guān)基礎(chǔ)知識

本節(jié)主要回顧直覺模糊集、猶豫模糊集、畢達(dá)哥拉斯模糊集和區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊集及其得分函數(shù)的一些基本概念.

定義 1 [2]

設(shè)X是一個有限論域，則稱A={〈x，μA（x），νA（x）〉|x∈X}為直覺模糊集，其中模糊集μA：X→[0，1]，νA：X→[0，1]，且滿足0≤μA（x）+νA（x）≤1，x∈X.

令[QX（Y8#]π[QX）]A（x）=1-μA（x）-νA（x），則稱[QX（Y8#]π[QX）]A（x）為X中元素x隸屬于直覺模糊集A的猶豫度，特別當(dāng)[QX（Y8#]π[QX）]A（x）=0時，則A退化為傳統(tǒng)的模糊集.

定義 2 [4]

設(shè)X是一個有限論域，稱A={〈x，hA（x）〉|x∈X}是猶豫模糊集，其中hA（x）是[0，1]中的有限個數(shù)值的集合，表示元素x關(guān)于集合A的一些可能隸屬程度.設(shè)h為猶豫模糊元素，則稱S（h）=1lh∑γ∈hγ為h的得分函數(shù)，其中l(wèi)h表示h中元素的個數(shù).

定義 3 [5]

設(shè)X是一個有限論域，稱A={〈x，μA（x），νA（x）〉|x∈X}為X上的畢達(dá)哥拉斯模糊集，其中，μA：X→[0，1]，νA：X→[0，1]分別是X上的模糊集，而μA（x）和νA（x）分別表示元素x屬于X的隸屬度和非隸屬度，且x∈X，μA（x），νA（x）∈[0，1]，μ2A（x）+ν2A（x）≤1.

定義 4 [14]

設(shè)α=（μα，να）為畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，則α的得分函數(shù)為S（α）=μ2α-ν2α，精確函數(shù)為H（α）=μ2α+ν2α，且滿足S（α）∈[-1，1]和H（α）∈[0，1].

定義 5 [15]

設(shè)X是一個有限論域，稱A為論域X上的一個區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊集，定義為A={〈x，〖AKμ～D〗A（x），〖AKν～D〗A（x）〉|x∈X}，其中，〖AKμ～D〗A（x）=[μ-A（x），μ+A（x）][0，1]表示A的隸屬度區(qū)間，〖AKν～D〗A（x）=[ν-A（x），ν+A（x）][0，1]表示A的非隸屬度區(qū)間，且滿足（μ+A（x））2+（ν+A（x））2≤1，記X上的所有區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊集的全體為IVPFS（X）.

定義 6 [16]

設(shè)A=（[μ-A，μ+A]，[ν-A，ν+A]）為任一區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)，則其得分函數(shù)S（A）定義為

S（A）=12（（μ+A）2-（ν+A）2+（μ-A）2-（ν-A）2），[JY]（1）

其中，S（A）∈[-1，1]，S（A）值越大，A也越大.

定義 7 [13]

設(shè)X是一個有限論域，稱A={〈x，hA（x）〉|x∈X}為IVPHFS，其中，hA（x）={〈〖AKμ～D〗A（x），〖AKν～D〗A（x）〉|〖AKμ～D〗A（x）=[μ-A（x），μ+A（x）]∈D[0，1]，〖AKν～D〗A（x）=[ν-A（x），ν+A（x）]∈D[0，1]，（〖AKμ～D〗A（x））2+（〖AKν～D〗A（x））2≤1}，

這里〖AKμ～D〗A（x）和〖AKν～D〗A（x）分別表示在x上可能的畢達(dá)哥拉斯隸屬度區(qū)間值和非隸屬度區(qū)間值.為方便，A=hA（x）稱為一個IVPHFN，其中，A={〈[AKμ～D]，[AKv～D]〉|[AKμ～D]=[μ-，μ+]，[AKv～D]=[ν-，ν+]}，Ω記所有的區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊元素組成的集合.

對應(yīng)IVPHFS，在定義7的基本形式基礎(chǔ)上，下面定義8復(fù)習(xí)對應(yīng)的并、交、補(bǔ)運(yùn)算.

定義 8 [7]

在Ω中取3個元素分別為A={〈〖AKμ～D〗，〖AKν～D〗〉|〖AKμ～D〗=[μ-，μ+]，〖AKν～D〗=[ν-，ν+]}，A1={〈〖AKμ～D〗1，〖AKν～D〗1〉|[AKμ～D]1=[μ-1，μ+1]，[AKv～D]1=[ν-1，ν+1]}，A2={〈[AKμ～D]2，[AKv～D]2〉|[AKμ～D]2=[μ-2，μ+2]，[AKv～D]2=[ν-2，ν+2]}，相關(guān)的補(bǔ)、并、交運(yùn)算定義如下：

1） Ac={〈[ν-，ν+]，[μ-，μ+]〉|〈[AKμ～D]，[AKv～D]〉∈A};

2） A1∪A2={〈[max{μ-1，μ-2}，max {μ+1，μ+2}]，[min {ν-1，ν-2}，min {ν+1，ν+2}]〉|〈[AKμ～D]i，[AKv～D]i〉∈Ai，i=1，2};

3） [JP3]A1∩A2={〈[min {μ-1，μ-2}，min {μ+1，μ+2}]，[max {ν-1，ν-2}，max {ν+1，ν+2}]〉|〈[AKμ～D]i，[AKv～D]i〉∈Ai，i=1，2}.

3 風(fēng)險(xiǎn)偏好得分函數(shù)

首先介紹區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊數(shù)傳統(tǒng)的得分函數(shù)及排序規(guī)則.

定義 9 [13]

設(shè)A={〈[AKμ～D]，[AKv～D]〉|[AKμ～D]=[μ[KG-*1/2]-，μ+]，[AKv～D]=[ν-，ν+]}為任一區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊數(shù)，則其得分函數(shù)S（A）定義為

S（A）=12|A|∑〈[AKμ～D]，[AKv～D]〉∈A（[AKμ～D]2-[AKv～D]2）=[12|A|∑〈[AKμ～D]，[AKv～D]〉∈A（（μ-）2-（ν+）2），12|A|∑〈[AKμ～D]，[AKv～D]〉∈A（（μ+）2-（ν-）2）].

（2）

此外，為了得到2個IVPHFNs的排序結(jié)果，文獻(xiàn)[13]還提出了精確函數(shù)H（A）的定義.因此，在定義9的基礎(chǔ)上，利用兩區(qū)間的可能性程度函數(shù)P（a≥b），給出了以下排序方法.

定義 10 [13]

設(shè)A1和A2是2個IVPHFNs，有：

1） 若P（S（A1）gt;S（A2））lt;0.5，那么A1lt;A2；

2） 若P（S（A1）gt;S（A2））=0.5，則（a） 若P（H（A1）gt;H（A2））lt;0.5，那么A1lt;A2；（b） 若P（H（A1）gt;H（A2））=0.5，那么A1=A2.

該排序方法完全是從客觀的角度來定義的，忽視了決策者的主觀意愿對決策結(jié)論的影響.然而，決策者采用不同的主觀風(fēng)險(xiǎn)偏好往往會導(dǎo)致最后的決策結(jié)果具有較大差異.目前，區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊數(shù)雖然能在更廣泛區(qū)域上處理多屬性決策問題，但其排序準(zhǔn)則完全是依據(jù)2個區(qū)間數(shù)的排序所給出，其中難免具有某些不足.因此，本節(jié)將通過引入風(fēng)險(xiǎn)偏好因子提出區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊數(shù)的新得分函數(shù).

受到猶豫模糊元和區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)所定義得分函數(shù)的思想啟發(fā)，并結(jié)合風(fēng)險(xiǎn)偏好因子λ∈[0，1]提出區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊數(shù)的新得分函數(shù)，如下.

定義 11

設(shè)A={〈[AKμ～D]i，[AKv～D]i〉|[AKμ～D]i=[ai，bi]，[AKv～D]i=[ci，di]，i=1，2，…，l}是任一IVPHFN，則A的風(fēng)險(xiǎn)偏好得分函數(shù)Sλ（A）定義為：

Sλ（A）=Tλ（μA）-Tλ（νA），

（3）

其中

Tλ（μA）=∑li=11l[a2i+λ（b2i-a2i）]，Tλ（νA）=∑li=11l[c2i+（1-λ）（d2i-c2i）]Tλ（μA）∈[0，1]，Tλ（νA）∈[0，1]， λ∈[0，1].

（3）式進(jìn)一步可化為

Sλ（A）=∑li=11l[a2i-d2i+λ（b2i+d2i-a2i-c2i）]，

（4）

其中λ∈[0，1]稱為風(fēng)險(xiǎn)偏好因子，反映了決策者的風(fēng)險(xiǎn)偏好，其取值通常視為給定.當(dāng)0≤λlt;12時，視決策者為風(fēng)險(xiǎn)厭惡者;當(dāng)λ=12時，視決策者為風(fēng)險(xiǎn)中立者;當(dāng)12lt;λ≤1時，視決策者為風(fēng)險(xiǎn)追逐者.

下面給出IVPHFNs的得分函數(shù)排序方法.

定義 12

設(shè)A1、A2是2個IVPHFNs，

1） 若Sλ（A1）gt;Sλ（A2），那么A1gt;A2;

2） 若Sλ（A1）lt;Sλ（A2），那么A1lt;A2;

3） 若Sλ（A1）=Sλ（A2），那么A1=A2.

由定義11和12可知，本文所提出的新得分函數(shù)所計(jì)算出的結(jié)果是一個數(shù)值，不再是區(qū)間值，不需要借助可能性程度函數(shù)就能對2個IVPHFNs進(jìn)行排序比較.

4 風(fēng)險(xiǎn)偏好得分函數(shù)的性質(zhì)

本節(jié)給出風(fēng)險(xiǎn)偏好得分函數(shù)具有的一些性質(zhì)，包括取值范圍、最值、單調(diào)性和等價(jià)性.

定理1

設(shè)A={〈[AKμ～D]i，[AKv～D]i〉|[AKμ～D]i=[ai，bi]，[AKv～D]i=[ci，di]，i=1，2，…，l}是任一IVPHFN，Sλ（A）為A風(fēng)險(xiǎn)偏好得分函數(shù)，則對任意的λ∈[0，1]，都有：

1） -1≤Sλ（A）≤1;

2） Sλ（A）=1的充要條件是

A={〈[AKμ～D]i，[AKv～D]i〉|[AKμ～D]i=[1，1]，[AKv～D]i=[0，0]，i=1，2，…，l};

3） Sλ（A）=-1的充要條件是

A={〈[AKμ～D]i，[AKv～D]i〉|[AKμ～D]i=[0，0]，[AKv～D]i=[1，1]，i=1，2，…，l}.

證明

1） 對于Sλ（A）=Tλ（μA）-Tλ（νA），因?yàn)閇AKμ～D]i=[ai，bi]∈[0，1]，[AKv～D]i=[ci，di]∈[0，1]，所以0≤Tλ（μA）≤1，0≤Tλ（νA）≤1，即-1≤Sλ（A）≤1;

2） 若對任意的λ∈[0，1]都有Sλ（A）=1，則由（4）式得a2i-d2i=1，b2i+d2i-a2i-c2i=0.

因?yàn)?≤ai，bi，ci，di≤1，所以ai=1，bi=1，ci=0，di=0，故A={〈[AKμ～D]i，[AKv～D]i〉|[AKμ～D]i=[1，1]，[AKv～D]i=[0，0]，i=1，2，…，l}.

如果A={〈[AKμ～D]i，[AKv～D]i〉|[AKμ～D]i=[1，1]，[AKv～D]i=[0，0]，i=1，2，…，l}，顯然有Sλ（A）=1.因此

Sλ（A）=1A={〈[AKμ～D]i，[AKv～D]i〉|[AKμ～D]i=[1，1]，[AKv～D]i=[0，0]，i=1，2，…，l}.

3） 若對任意的λ∈[0，1]都有Sλ（A）=-1，則由（4）式得a2i-d2i=-1，b2i+d2i-a2i-c2i=0.

因?yàn)?≤ai，bi，ci，di≤1，所以ai=0，bi=0，ci=1，di=1，故A={〈[AKμ～D]i，[AKv～D]i〉|[AKμ～D]i=[0，0]，[AKv～D]i=[1，1]，i=1，2，…，l}.

如果A={〈[AKμ～D]i，[AKv～D]i〉|[AKμ～D]i=[0，0]，[AKv～D]i=[1，1]，i=1，2，…，l}，顯然有Sλ（A）=-1.因此

Sλ（A）=-1A={〈[AKμ～D]i，[AKv～D]i〉|[AKμ～D]i=[0，0]，[AKv～D]i=[1，1]，i=1，2，…，l}.

定理 2

設(shè)A1={〈[AKμ～D]1i，[AKv～D]1i〉|[AKμ～D]1i=[a1i，b1i]，[AKv～D]1i=[c1i，d1i]}和A2={〈[AKμ～D]2i，[AKv～D]2i〉|[AKμ～D]2i=[a2i，b2i]，[AKv～D]2i=[c2i，d2i]}是2個IVPHFNs，如果a1i≥a2i，b1i≥b2i且c1i≤c2i，d1i≤d2i，則有Sλ（A1）≥Sλ（A2），其中i=1，2，…，l.

證明

對（4）式關(guān)于ai、bi、ci和di求偏導(dǎo)，得

Sλ（A）ai=∑li=12（1-λ）ail，

Sλ（A）bi=∑li=12λbil，

Sλ（A）ci=∑li=1-2λcil，

Sλ（A）di=∑li=12（λ-1）dil.

因?yàn)?≤λ≤1，故有

Sλ（A）ai≥0， Sλ（A）bi≥0，Sλ（A）ci≤0， Sλ（A）di≤0，

所以，Sλ（A）關(guān)于ai和bi單調(diào)遞增，關(guān)于ci和di單調(diào)遞減.若a1i≥a2i，b1i≥b2i且c1i≤c2i，d1i≤d2i，則有Sλ（A1）≥Sλ（A2）.

定理 3

設(shè)A1={〈[AKμ～D]1i，[AKv～D]1i〉|[AKμ～D]1i=[a1i，b1i]，[AKv～D]1i=[c1i，d1i]}和A2={〈[AKμ～D]2i，[AKv～D]2i〉|[AKμ～D]2i=[a2i，b2i]，[AKv～D]1i=[c2i，d2i]}是2個IVPHFNs，對任意的λ∈[0，1]，若A1=A2，則有Sλ（A1）=Sλ（A2），其中i=1，2，…，l.

證明

若A1=A2，則對任意的i=1，2，…，l，有a1i=a2i，b1i=b2i，c1i=c2i，d1i=d2i，又由于

Sλ（A）=∑li=11l[a2i-d2i+λ（b2i+d2i-a2i-c2i）]，

故Sλ（A1）=Sλ（A2）.

在實(shí)際投資項(xiàng)目中，決策者可根據(jù)自身風(fēng)險(xiǎn)承受能力來選擇恰當(dāng)?shù)娘L(fēng)險(xiǎn)偏好因子.例如，若決策者害怕承擔(dān)過多風(fēng)險(xiǎn)（風(fēng)險(xiǎn)厭惡者），則可選擇小的風(fēng)險(xiǎn)偏好因子0≤λlt;12;若決策者希望獲得穩(wěn)定收益又害怕承擔(dān)過高風(fēng)險(xiǎn)（風(fēng)險(xiǎn)中立者），則可選擇λ=0;若決策者想追求高收益又不怕市場風(fēng)險(xiǎn)（風(fēng)險(xiǎn)追求者），則可選擇較大的風(fēng)險(xiǎn)偏好因子12lt;λ≤1.

5 基于新得分函數(shù)的區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊TOPSIS法

根據(jù)本文所提出的新得分函數(shù)的定義和相關(guān)性質(zhì)，可將區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊信息轉(zhuǎn)化為新得分函數(shù)，從而解決實(shí)際生活中的決策問題.而在區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊多屬性決策中，一般都假設(shè)決策者是完全理性的，但在實(shí)際決策中，人是有一定的主觀意愿和非理性判斷的，尤其是對風(fēng)險(xiǎn)的偏好所造成的得失心理對決策結(jié)果影響較大.因此，基于新得分函數(shù)，充分考慮決策者的主觀感受，提出了風(fēng)險(xiǎn)偏好的區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊TOPSIS多屬性決策方法，具體描述如下.

步驟 1

在某多屬性決策問題中，共有n個備選方案X={X1，X2，…，Xn}，l個決策者C={C1，C2，…，Cl}，m個決策屬性A={A1，A2，…，Am}，屬性權(quán)重為ω={ω1，ω2，…，ωm}已知，且

∑mj=1ωj=1， ωj≥0.

設(shè)決策者Ck方案Xi在屬性Aj下的IVPHFN為

〖AKp～D〗ij={〈[AKμ～D]ij，[AKv～D]ij〉|[AKμ～D]ij=[μ-σ（k），μ+σ（k）]，[AKv～D]ij=[ν-σ（k），ν+σ（k）]，k=1，2，…，l}，

得分函數(shù)為Sλ（〖AKp～D〗ij），其中風(fēng)險(xiǎn)偏好因子λ視為給定.

步驟 2

根據(jù)決策者們給出的評估值，即方案Xi在屬性Aj下的IVPHFN，構(gòu)建區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊數(shù)矩陣

〖AKP～〗=（〖AKp～D〗ij）n×m=

〖JB（[〗〖HL（3〗

〖AKp～D〗11…〖AKp～D〗1m

〖AKp～D〗n1…〖AKp～D〗nm

〖HL）〗〖JB）]〗.

（5）

步驟3

計(jì)算〖AKp～D〗ij={〈[AKμ～D]ij，[AKv～D]ij〉|[AKμ～D]ij=[μ-σ（k），μ+σ（k）]，[AKv～D]ij=[ν-σ（k），ν+σ（k）]，k=1，2，…，l}的改進(jìn)后新得分函數(shù)Sλ（〖AKp～D〗ij），構(gòu)建得分決策矩陣

S=（Sλ（〖AKp～D〗ij））n×m=

〖JB（[〗〖HL（3〗

Sλ（〖AKp～D〗11）…Sλ（〖AKp～D〗1m）

Sλ（〖AKp～D〗n1）…Sλ（〖AKp～D〗nm）

〖HL）〗〖JB）]〗.[JY]

（6）

步驟4

確定正理想方案X+和負(fù)理想方案X-相對應(yīng)的得分函數(shù)S（X+）和S（X-）.由于得分函數(shù)已將區(qū)間模糊數(shù)精確化，且具有一定的單調(diào)性，故不需要再對效益型屬性和成本型屬性進(jìn)行區(qū)分，可直接得出：

S（X+）=max1≤i≤n（Sλ（〖AKp～D〗ij）|j=1，2，…，m）={S+（[AKp～D]j=1），S+（[AKp～D]j=2），…，S+（[AKp～D]j=m）};

S（X-）=min1≤i≤n（Sλ（[AKp～D]ij）|j=1，2，…，m）={S-（[AKp～D]j=1），S-（[AKp～D]j=2），…，S-（[AKp～D]j=m）}.

（7）

步驟5

令△S+表示各個備選方案與正理想方案X+得分函數(shù)集S（X+）的貼合矩陣為

△S+=〖JB（[〗〖HL（4〗

△S+11△S+12…△S+1m

△S+21△S+22…△S+2m

△S+n1△S+n2…△S+nm

〖HL）〗〖JB）]〗，

（8）

其中，△S+ij表示方案Xi與正理想方案X+在屬性Aj下得分函數(shù)的貼合度，△S+ij=|S（[AKp～D]ij）-S+（[AKp～D]j）|，i=1，2，…，n，j=1，2，…，m.

同理可得，△S-=（△S-ij）n×m表示各個備選方案與負(fù)理想方案X-得分函數(shù)集S（X-）的貼合矩陣.其中△S-ij表示方案Xi與負(fù)理想方案X-在屬性Aj下得分函數(shù)的貼合度，△S-ij=|S（[AKp～D]ij）-S-（[AKp～D]j）|，i=1，2，…，n，j=1，2，…，m.

步驟6

由于各備選方案相對于正理想方案的貼合度表示損失值，相對于負(fù)理想方案的貼合度表示收益值，則根據(jù)文獻(xiàn)[18]中價(jià)值函數(shù)的定義可得各備選方案Xi的綜合損失值Φ-（Xi）和綜合收益值Φ+（Xi）如下：

Φ-（Xi）=∑mj=1（ωjθ（ΔS+ij）β），

Φ+（Xi）=∑mj=1（ωjθ（ΔS-ij）α）.

（9）

由文獻(xiàn)[17]可知，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，一般取α=β=0.88，θ=2.25.

步驟7

針對Φ-（Xi）和Φ+（Xi），Φ+（Xi）越大，Φ-（Xi）越小時，方案越優(yōu).故計(jì)算個備選方案Xi的綜合損益比τi=Φ+（Xi）Φ-（Xi），對τi進(jìn)行排序，τi越大則方案越優(yōu).

6 算例分析

一個公司需要選擇一個新的地址.現(xiàn)有3個有效備選方案Xi（i=1，2，3），3個決策者Cl（l=1，2，3），考慮3個屬性：A1（價(jià)格），A2（環(huán)境）和A3（位置）來決定選擇哪個項(xiàng)目，其中，屬性A1是成本類型，A2和A3都是效益類型.ξ=（0.1，0.6，0.3）T是決策者Cl（l=1，2，3）的權(quán)重向量，ω=（0.5，0.2，0.3）T是屬性Aj（j=1，2，3）的權(quán)重向量.假設(shè)決策者們提供的區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊矩陣[13]N如表1所示.

其次，計(jì)算各備選研發(fā)項(xiàng)目在各屬性下的S（[AKp～D]ij），構(gòu)建得分函數(shù)決策矩陣S，以λ=0.1為例，如下所示：

（10）

再次，確定正負(fù)理想研發(fā)項(xiàng)目的得分函數(shù)S（X+）=（0.027 9，0.479 7，0.712 2），S（X-）=（-0.212 6，-0.008 3，0.370 1），繼而由（9）式得出貼合矩陣△S+和△S-如下所示：

根據(jù)（10）和（11）式，并重復(fù)上述步驟，可得出當(dāng)λ=0，0.1，0.3，0.5，0.6，0.8，1時，各備選項(xiàng)目Xi的綜合損益值和綜合損益比如表2所示.

根據(jù)決策者在面臨風(fēng)險(xiǎn)時心理因素的影響采用不同的風(fēng)險(xiǎn)偏好因子所得綜合損益比進(jìn)行分析，如圖1所示.

最后，根據(jù)綜合損益比τi對各備選方案進(jìn)行排序.從表2可以看出λ取不同的值時，最終備選方案排序均為X1gt;X3gt;X2，最佳項(xiàng)目為X1，排序結(jié)果趨于穩(wěn)定.文獻(xiàn)[13]基于廣義區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊混合算子（λ1=0.1）的所計(jì)算得到的排序選項(xiàng)為X1gt;X2gt;X3，與本文所提方法所得到的最佳備選項(xiàng)目一致，都為X1，驗(yàn)證了本文方法的正確性和有效性.并從圖1可知，對于λ的不同取值所得到備選項(xiàng)目的綜合損益比差異度比較明顯，因此本文所提出的決策方法更能有效區(qū)分各備選研發(fā)項(xiàng)目，得出其中比較具有優(yōu)勢的項(xiàng)目.

7 總結(jié)

聚焦區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊集，通過引入風(fēng)險(xiǎn)偏好因子，提出了反映決策者風(fēng)險(xiǎn)傾向的新得分函數(shù)，從而克服現(xiàn)有的排序指標(biāo)忽視了決策者的主觀態(tài)度對決策結(jié)果的影響的問題，并對新得分函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行了證明.最后基于該得分函數(shù)給出一種全新的多屬性權(quán)重已知情況下的決策方法，并利用實(shí)際問題檢驗(yàn)該方法的有效性和合理性，從而說明新得分函數(shù)作為排序指標(biāo)的可行性，為解決多屬性決策權(quán)重已知的問題提供了新的技術(shù)途徑.

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Interval-valued Pythagorean Hesitancy Fuzzy Score Function Based on Risk Preference and Its Multi-attribute Decision

WANG Hongjun1，2，3，

ZHANG Xianyong1，2，3

（1. School of Mathematical Sciences， Sichuan Normal University， Chengdu 610066;

2. Laurent Mathematical Center， Sichuan Normal University， Chengdu 610066;

3. Institute of Intelligent Information and Quantum Information， Sichuan Normal University， Chengdu 610066）

Aiming at the problem of multi-attribute decision making with known attribute weights and interval Pythagorean hesitancy fuzzy number， the score function of interval Pythagorean hesitancy fuzzy set is deeply analyzed， and a new score function based on risk preference factor is proposed considering the influence of decision maker’s subjective attitude on the decision result. Firstly， the basic definition and related operation of interval Pythagorean hesitation fuzzy number are introduced. Considering different subjective value feelings of decision makers when facing risks， a new scoring function and ranking criteria are proposed by introducing risk preference factor. Secondly， the value range， maximum value and monotonicity of the new score function are given and proved. Finally， a new TOPSIS multi-attribute decision-making method is proposed based on the scoring function， and the feasibility， practicability and effectiveness of the method are tested by solving practical problems. The improvement of the interval Pythagorean hesitancy fuzzy score function enriches the theory of multi-attribute decision making.

interval-valued Pythagorean hesitant fuzzy sets; risk preference; score function; multi-attribute decision making

（編輯 鄭月蓉）

收稿日期：2023-05-18 "接受日期：2023-06-01

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金（61673258）、四川省自然科學(xué)基金（2022NSFSC0929）和四川省科技計(jì)劃（2022ZYD0001和2021YJ0085）

*通信作者簡介：張賢勇（1978—），男，教授，博導(dǎo)，主要從事不確定性分析與智能決策的研究，E-mail：xianyongzh@sina.com

引用格式：王鴻均，張賢勇. 基于風(fēng)險(xiǎn)偏好的區(qū)間畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊得分函數(shù)及其多屬性決策[J]. 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），[DW]2025，48（1）：114-121.