善用同構(gòu)思想優(yōu)化解題

【摘要】在高中數(shù)學中，解析幾何是重中之重，蘊含著許多數(shù)學思想，其中“同構(gòu)”思想頻頻被選作高考的考查點.本文基于對同構(gòu)方程的介紹，從近三年的高考解析幾何解答題出發(fā)，提煉三種常見的同構(gòu)特征，期望對學生學習有一定的幫助.

【關(guān)鍵詞】同構(gòu)思想；高考數(shù)學；解題技巧

1同構(gòu)法

在高中數(shù)學中，就方程來說，可定義為同構(gòu)方程，即除變量不同其余均相同的方程[2].

2同構(gòu)方程與解析幾何試題

同構(gòu)方程在解析幾何中的應(yīng)用廣泛，同構(gòu)特征常有：二次曲線上兩個點在一條直線上，兩個點在一條二次曲線上，兩條直線與二次曲線有相同位置關(guān)系，兩條直線過同一點，三點共線等[3].所以在運用“同構(gòu)”作為切入點求解解析幾何試題時，要先觀察幾何特征找到同構(gòu)特征.

3高考解析幾何題中的同構(gòu)特征及同構(gòu)法的應(yīng)用舉例

3.1兩條直線過同一點

評析從幾何特征觀察，存在著直線AP，AQ過同一點A，由于直線AP，AQ的形成方式一致，則可用同構(gòu)思想嘗試提煉出共同滿足的同構(gòu)方程，再用韋達定理設(shè)而不求.

3.2兩條直線與二次曲線有相同位置關(guān)系

評析根據(jù)題意，兩條直線與二次曲線有相同位置，即PA，PB為C的切線.于是考慮用同構(gòu)思想來解題得到關(guān)于兩條切線斜率k1，k2的同構(gòu)方程，再運用韋達定理即可求解.

4結(jié)語

想要掌握同構(gòu)法來解題，學生不僅需要有同構(gòu)的數(shù)學思想，更要有良好的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.所以學生在平時的學習中，需要有意識地用一雙慧眼去找到幾何中的“同構(gòu)點”.

參考文獻：

[1]張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)第5版［M］.北京：高等教育出版社，2007．

[2]秦波華，王勇強，吳利敏.同構(gòu)法在高中數(shù)學題解析中的應(yīng)用策略[J].湖州師范學院學報，2022，44（02）：108-111.

[3]常梨君，金一鳴.“形”中挖“同”“數(shù)”中尋“構(gòu)”——記“同構(gòu)思想”在解析幾何中的應(yīng)用[J].中學數(shù)學月刊，2022（11）：69-72.