近年高考新課標Ⅰ卷三角函數試題分析及教學啟示

1.研究緣起

2021-2024年高考新課標Ⅰ卷三角函數試題引起了廣泛關注，這不僅是因為它們在高考數學卷中的穩定出現，更重要的是這些試題在命題思路、知識點考察深度及廣度等方面都展現出顯著的特點.三角函數作為高中數學的重要內容，其試題設計在難度、考察重點及與其他知識點的交叉方面不斷變化，反映了教學大綱和課程標準的調整.對這些試題的系統分析可以幫助教師更好地理解高考命題趨勢，從而調整教學策略，提升學生應對高考的能力.

2.考查占比與趨勢

分析三角函數試題首先要明確考查占比與趨勢，因為這能幫助我們準確把握該知識點在整個試卷中的地位和重要性.了解三角函數在高考試卷中的考查頻率和比重，有助于制定更有效的教學和復習策略，推動學生更好的掌握重點以及突破高頻考點.2021-2024年高考新課標Ⅰ卷三角函數試題的統計見表1.

表1

真題卷題號考點考向

2024新課標Ⅰ卷

4三角函數的性質及應用三角函數性質的轉化運用

15三角函數的性質及應用求三角函數的解析式、求函數值

2023新課標Ⅰ卷

8三角恒等變換給值求值

15三角函數的性質及應用余弦型函數的零點問題

2022新高考Ⅰ卷6三角函數的性質及應用求三角函數的解析式、求函數值

2021新高考Ⅰ卷4三角函數的性質及應用求三角函數的單調區間

3.考查重點

在2021-2024年高考新課標Ⅰ卷中，三角函數的性質及其應用是考查的重點內容.每年的試題中都會涉及到三角函數的基本性質，包括周期性、奇偶性、對稱性等.這類題目要求學生不僅能夠準確記憶和理解三角函數的基本性質，還能將其應用到具體問題的解答中，如求解三角方程以及不等式等.結合題型來看，相較于2021年和2022年試題，2023新課標Ⅰ卷和2024新課標Ⅰ卷在選擇題和問答題中均考查了三角函數，這反映了三角函數知識考查的穩定性和重要性

4.考查特點例析

例1" （2023新課標Ⅰ卷第15題）已知函數f（x）=cosωx-1（wgt;0）在區間［0，2π］有且僅有3個零點，則ω的取值范圍是""" ．

析解" 本題考查了余弦型函數的零點問題，令f（x）=0，得有3個根，從而結合余弦函數的圖像性質即可得解．令f（x）=cosωx-1=0，得cosωx=1，又x∈［0，2π］，則ωx∈［0，2ωπ］，所以4π≤2ωπ＜6π，得2≤ω＜3故答案為［0，3）

例2" （2024新課標Ⅰ卷第15題）記△ABC內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知sinC=2cosB，a2+b2－c2=2ab.（1）求B；（2）若的面積為3+3，求c．

析解" （1）由余弦定理、平方關系依次求出cosC，sinC，最后結合已知sinC=2cosB得cosB的值即可；（2）首先求出A，B，C，然后由正弦定理可將a，b均用含有c的式子表示，結合三角形面積公式即可列方程求解.具體解答過程為：（1）由余弦定理有a2+b2－c2=2abcosC，對比已知a2+b2－c2=2ab，可得cosC=a2+b2－c22ab=2ab2ab=22因為C∈0，π，所以sinCgt;0，從而sinC=1－cos2C=1－222=22，又因為sinC=2cosB，即cosB=12，注意到B∈0，π，所以B=π3.

（2）由（1）可得B=π3，cosC=22，C∈0，π，從而C=π4，A=π－π3－π4=5π12，而sinA=sin5π12=sinπ4+π6=22×32+22×12=6+24，由正弦定理有asin5π12=bsinπ3=csinπ4，從而a=6+24·2c=3+12c，b=32·2c=62c，由三角形面積公式可知，的面積可表示為，由已知的面積為3+3，可得3+38c2=3+3，所以c=22.

評注" 在2021-2024年的高考新課標Ⅰ卷中，三角函數的性質是一個重要的考查內容.試題要求學生深入理解三角函數的周期性、奇偶性、對稱性等基本性質，并能夠應用這些性質解決實際問題.例如，利用周期性簡化復雜的計算，或運用對稱性判斷函數圖像的特征.這種考查方式不僅檢驗學生對基本概念的掌握情況，還考查他們在實際問題中靈活運用這些性質的能力.②函數變換與解析技巧的運用：三角函數的函數變換在高考試題中占據重要位置，選取的例題考查了三角函數性質的轉化運用，可以看到這類題目要求學生能夠熟練運用平移、伸縮、反轉等函數變換，分析并利用這些變換解決復雜的三角函數問題.此外，還涉及到圖像的繪制與分析，要求學生能夠準確理解變換對圖像特征的影響.

例3" （2023新課標Ⅰ卷第8題）已知sinα－β=13，cosαsinβ=16，則cos2α+2β=（"" ）．

A. 79" B. 19" C.－19" D.－79

析解" 三角函數求值的類型及方法：“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關系．解題時，要利用觀察得到的關系，結合三角函數公式轉化為特殊角的三角函數；“給值求值”：給出某些角的三角函數值，求另外一些角的三角函數值，解題關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系；“給值求角”：實質上也轉化為“給值求值”，關鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數值結合該函數的單調區間求得角，有時要壓縮角的取值范圍．

因為sin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ=13，而cosαsinβ=16，因此sinαcosβ=12，則sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=23，所以cos（2α+2β）=cos2（α+β）=1－2sin2（α+β）=1－2×（23）2=19.故選B.

例4 "（2022新課標Ⅰ卷第6題）記函數f（x）=sin（ωx+π4+b）（ω＞0）的最小正周期為T.若2π3＜T＜π，且y=f（x）的圖像關于點（3π2，2）中心對稱，則f（π2）=（" ）.

A.1""" B.32""" C.52""" D.3

析解" 根據周期范圍，確定ω范圍，再根據對稱中心確定ω=23（k-14），k∈Z，二者結合可得結果．由題可知T=2πω∈（2π3，π），所以ω∈（2，3）．又因為y=f（x）的圖像關于點（3π2，2）中心對稱，所以b=2，且f（3π3）=sin（ω×2π2+π4）+b=2．所以ω=23（k-14），k∈Z，所以ω=52.所以f（x）=sin（52x+π4）+2.所以f（π2=1）．

評注" 高考新課標Ⅰ卷的三角函數試題還注重知識融合運算能力的應用拓展.這包括將三角函數知識與其他數學領域（如向量、解析幾何等）進行融合應用，解決復雜的實際問題.試題通常要求學生能夠跨學科地運用數學知識，創造性地解決實際問題，體現數學的應用性和創新性.

5.教學啟示

5.1.立足教材，夯實知識與能力之基

針對高考新課標Ⅰ卷中的三角函數試題，教師可以從以下兩個方面著手，以夯實學生的知識和能力基礎：①深入理解教材要點和考試重點：理解教材中關于三角函數的基本概念、性質、公式及其推導，例如正弦、余弦、正切函數的定義、周期性、奇偶性等特性.確保學生對這些基礎知識的掌握是扎實的；分析歷年高考試卷，特別是近幾年的新課標Ⅰ卷，了解三角函數試題的出題規律和重點.重點關注各類題型如基本計算、綜合應用、證明題等，確保學生能夠熟練應對各種形式的考題.②強化學生的知識和能力訓練：利用系統化的教學方法，逐步深入講解三角函數的各個方面.通過清晰的知識結構和示例問題，幫助學生建立扎實的基礎；設計多樣化的練習和應用題，旨在培養學生的分析、解決問題和推理能力.這些練習不僅要涵蓋基礎知識的應用，還要考驗學生在復雜情境下的應變能力.

5.2.注重數學思想方法和多元知識的融合

教師要強調三角函數在幾何圖形中的應用，例如正弦和余弦函數與直角三角形的關系，以及正弦定理、余弦定理在三角形和多邊形內外角的應用等.通過幾何圖形的展示和分析，幫助學生直觀理解三角函數的定義和性質.此外，使用圖形化方法，如函數圖像、極坐標圖等，讓學生探索三角函數的周期性、對稱性和變換規律.通過對圖形的分析，引導學生發現函數的基本特征，并理解這些特征如何與數學概念相互關聯.

參考文獻

［1］羅瑤，張映輝，王素素.近五年高考全國卷三角試題分析與備考建議［J］.中學數學，2023，（07）：43-46.