算術(shù)數(shù)列中Fourier系數(shù)的均值估計

摘要：設(shè)f（z）是全模群上權(quán)為偶數(shù)k的全純本原尖形式，L（s，sym⁴f）是與f對應(yīng)的4次對稱冪L-函數(shù)，λsym⁴f（n）是L（s，sym⁴f）的Fourier展開的第n個標準化系數(shù).本文借助對稱冪L-函數(shù)的解析性質(zhì)研究了算術(shù)數(shù)列中4次對稱冪L-函數(shù)Fourier系數(shù)的均值估計，即∑n≤xn≡lqλsym⁴f（n²）.

關(guān)鍵詞：全純本原尖形式；對稱冪L-函數(shù)；算術(shù)數(shù)列；Fourier系數(shù)

中圖分類號：O156.4"" 文獻標志碼：A" 文章編號：2095-6991（2025）01-0001-06

Estimation of Mean Value of Fourier Coefficients in Arithmetic Series

WU Yi

（School of Mathematics and Statistics， North China University of Water Resources and Electric Power， Zhengzhou 450046， China）

Abstract：Let f（z） be a holomorphic primitive cusp form of even integral weightk for the full modular group. Denote by λsym⁴f（n） the nth normalized coefficient of the Fourier expansion of the 4th symmetric power L-function associated to f. By using the properties of symmetric power L-functions， the average behavior of the Fourier coefficients of the 4th symmetric power L-function over arithmetic progressions is studied in this paper， i.e.

∑n≤xn≡lqλsym⁴f（n²）.

Key words：holomorphic primitive cusp form; symmetric power L-function; arithmetic progressions; Fourier coefficient

0 引言

設(shè)H*k是由全模群SL2，Z上所有權(quán)為偶數(shù)k的全純尖形式構(gòu)成的集合.設(shè)fz∈H*k是所有Hecke算子的特征函數(shù)，則其在尖點SymboleB@處具有以下Fourier展開式

f（z）=∑SymboleB@n=1λf（n）n^{（k－1）/2}enz，

其中，λfn是第n個標準化Fourier系數(shù)，且滿足λf1=1.容易驗證：λfn是可乘函數(shù)且滿足Hecke關(guān)系式，

λf（m）λf（n）=∑d|（m，n）λf（mnd²），

其中，m≥1 ，n≥1為任意整數(shù).

1974年，Deligne^[1]證明了全純模形式的Ramanujan-Petersson猜想，即

λfn≤dn，（1）

其中，dn是除數(shù)函數(shù)，且對于任意的素數(shù)p，存在復(fù)數(shù)αf（p）和βf（p），滿足

λf（p）=αf（p）+βf（p），αf（p）βf（p）=|αf（p）|=|βf（p）|=1.（2）

設(shè)f∈H*k，定義j次對稱冪L-函數(shù)L（s，symjf）為

L（s，symjf）：=∏p∏jm=0（1－αf（p）^j－2mp^－s）^－1.（3）

當Resgt;1時，它可以表示為Dirichlet級數(shù)，

L（s，symjf）=∑SymboleB@n=1λsymjf（n）ns=∏p1+∑k≥1λsymjf（pk）p^ks，（4）

其中，λsymjf（n）為j次對稱冪L-函數(shù)L（s，symjf）的第n個標準化Fourier系數(shù).

設(shè)χ是一個模q的Dirichlet原特征，定義特征扭乘j次對稱冪L-函數(shù)為j+1階歐拉乘積，

L（s，symjfχ）=∏p∏jm=0（1－αf（p）^j－2mχ（p）p^－s）^－1，（5）

同樣，當Resgt;1時，它可以表示為Dirichlet級數(shù)，

L（s，symjfχ）=∑SymboleB@n=1λsymjf（n）χpns=∏p1+∑k≥1λsymjf（pk）χkpp^ks.（6）

上述j次對稱冪L-函數(shù)與特征扭乘j次對稱冪L-函數(shù)的定義見文獻[2].

Fourier系數(shù)的均值估計是解析數(shù)論中的熱點問題，近年來一些數(shù)論學(xué)者對其進行了廣泛的研究并取得了重要的成果.

IVIC A^[3]研究了平方序列上Fourier系數(shù)的均值估計，得到非顯然估計

∑n≤xλ（n²）=fxexp－A（logx）35［log（logx）］^－15，

其中，A為正常數(shù).

利用對稱冪L-函數(shù)的性質(zhì)， LU G S^[4]證明了對任意的εgt;0，有

∑n≤xλ（n3）=f，εx^34+ε，

∑n≤xλ（n⁴）=f，εx^79+ε.

Rankin 等^[5]研究了Fourier系數(shù)平方的均值估計，得到了漸近公式

∑n≤xλ²（n）=cx+Of（x³⁵）.

其中c為一個常數(shù).

Ichihara ^[6]研究了算術(shù)數(shù)列上的Fourier系數(shù)平方的均值估計，證明了如果x=q²，有

∑n≤xn≡lmod qλ²fn=cφq∏p|q（1－αf（p）²p^－1）（1－p^－1）（1－βf（p）²p^－1）（1+p^－1）^－1x+Of，ε（x³⁵q^45+ε），

其中，φ（q）是歐拉函數(shù)，c為常數(shù).

2009年，LAO H X ^[7]研究了稀疏序列中Fourier系數(shù)平方的均值估計，得到了漸近公式

∑n≤xλ²f（nj）=cjx+Of（x^{1－2（j+1）2}+1），j=2，3，4，

其中cj為常數(shù).

2014年，JIANG Y J等^[8]研究了算術(shù)數(shù)列中Fourier系數(shù)的高次均值估計，證明了對任意的εgt;0，j=2，3，4，如果q≤x^θ2j，有

∑n≤xn≡lqλfn^2j=

1φ（q）R2j（x，q）+Of，ε（qx^1－32θ2j+ε），

其中，θ4=2/23，θ6=4/187，θ8=4/755，

R2jx，q=∑n2jk=0∑kd=0′-∑Ω（d）dL^－1（m）2j，q（q^－1）m！r0！…r2j！

Bk，d－log qq，…，（－log q）^k－d+1q×

∏2ji=0Ci2j！（（－α（q））^2（j－i））ri（Ci2j－ri）！

1－α（q）^2（j－i）q^Ci2j－rixPn2j－k（logx）.

2022年，ZOU A Y等 ^[9]研究了如下算術(shù)數(shù)列中Fourier系數(shù)的均值估計，證明了對任意的εgt;0，j≥2，如果q≤x^3/4θj，有

∑n≤xn≡lqλ²fnj=cjxφ（q）+Of，ε（qx^1－32θj+ε），

其中，θ2=92597，θj=9269（j－1）（j+3）+247，j≥3.

基于上述研究， 本文將L4（s）分解成Riemann ζ函數(shù)與L-函數(shù)的乘積，借助L-函數(shù)的均值估計和亞凸界結(jié)果，利用復(fù)函數(shù)積分方法與特征的正交性，研究了算術(shù)數(shù)列中4次對稱冪L-函數(shù)Fourier系數(shù)在算術(shù)數(shù)列上的均值估計結(jié)果，在一定條件下得到了均值估計的如下漸近公式.

∑n≤xn≡lqλsym⁴f（n²）=[SX（]cx[]f（q）[SX）]+Of，εqx^{[SX（]19[]22[SX）]}+ε，

其中qlt;x.

定理1 設(shè)f∈H*k，l∈Z，q是一個素數(shù)且q，l = 1.對于任意的εgt;0，如果q≤x^3/44，有

∑n≤xn≡lqλsym⁴fn²=cxφ（q）+Of，ε（qx^1922+ε），

其中c為實效常數(shù).

1 基本引理

引理1 設(shè)f∈H*k，定義

L4（s）=∑SymboleB@n=1λsym⁴f（n²）ns，Rsgt;1，

則有

L4（s）=ζsLs，sym⁴fLs，sym8fUs，

其中，Us是在右半平面Rsgt;1/2上絕對收斂的Dirichlet級數(shù).

證明 由（3），（4）可知

∑jm=0αf（p）^j－2m=λsymjf（p），j≥1.（7）

當j=4時，有

L（s，sym⁴f）：=∏p∏4m=0（1－αf（p）^4－mβf（p）mp^－s）^－1，（8）

L（s，sym⁴f）=∑SymboleB@n=1λsym⁴f（n）ns=∏p1+∑k≥1λsym⁴f（pk）p^ks，Rsgt;1.（9）

可得

λsym⁴f（p²）=αf8+βf8+αf6+βf6+2αf⁴+2βf⁴+2αf²+2βf²+3=λsym8fp+λsym⁴fp+1.（10）

當Rsgt;1，可以將ζ（s）L（s，sym⁴f）L（s，sym8f）寫成歐拉乘積

ζsLs，sym⁴fLs，sym8f=：∏p1+∑k≥1bpkp^ks，（11）

可知

bp=λsym8fp+λsym⁴fp+1=λsym⁴f（p²），（12）

則

L4（s）=∑SymboleB@n=1λsym⁴f（n²）ns=∏p1+∑k≥1λsym⁴fp^2kp^ks=ζsLs，sym⁴fLs，sym8f×∏p1+λsym⁴fp⁴－bp²p^2s+… =：ζsLs，sym⁴fLs，sym8fUs，Rsgt;1.

由（1）知Us在半平面Rsgt;12上絕對收斂，引理得證.

引理2 設(shè)f∈H*k，定義

L4（s，χ）=∑SymboleB@n=1λsym⁴f（n²）χnns，Rsgt;1，

當Rs≥1時，有

L4（s，χ）=Ls，χLs，sym⁴fχ

Ls，sym8fχU～s，

其中，U～s是在半平面Rsgt;12上絕對收斂的Dirichlet級數(shù).

證明.由（5） （6）和引理1可得.

引理3^[9-14] 設(shè)f∈H*k， j次對稱冪L-函數(shù)L（s，symjf）定義如上，對j≥1，L（s，symjf）是一個可以解析延拓至整個復(fù)平面的整函數(shù)，且滿足一個確定的階為j+1的黎曼ζ型函數(shù)方程.

引理4^[15-17] 設(shè)Ls是一個階為m的L-函數(shù)，對任意的εgt;0，

∫^2TTL（σ+it）|²dt=T^{maxm（1－σ），1+ε}（13）

對于1/2≤σ≤1，T≥1一致成立;

L（σ+it）=（1+|t|）^{m2（1－σ）+ε}（14）

對于12≤σ≤1+ε，t≥1一致成立.

引理5^[18-19] 對任意的εgt;0，12≤σ≤1+ε，|t|≥2，有

ζ（σ+it）=（1+|t|）^{max1342（1－σ），0+ε}.（15）

引理6^[20] 對任意的εgt;0，T≥1，有

∫T1ζ（1/2+it）|¹²dt=T^2+ε.（16）

引理7^[21-22] 設(shè)χ是一個模q的原特征，對任意的εgt;0，T≥1，且q=T²，有

L（σ+iT，χ）（q（1+|T|））^{max13（1－σ），0+ε}，（17）

如果q是一個素數(shù)，有

∫T0L（σ+it，χ）|¹²dtq^{4（1－σ）}T^3－2σ+ε.（18）

[HTH][STHZ]引理8[HT][ST]^[9] 設(shè)f∈H*k，χ是一個模q的原特征，設(shè)Ldm，n（s，χ）是一個階為2A的L-函數(shù)，對任意的εgt;0，有

∫^2TTLdm，n（σ+it，χ）|²dt=

（qT）^{2A（1－σ）+ε}，（19）

對于12≤σ≤1，T≥1一致成立;

Ldm，n（σ+it，χ）=

（q（|t|+1））^{maxA（1－σ），0+ε}（20）

對于－ε≤σ≤1+ε一致成立.

2 定理1 的證明

為了證明定理1，需要首先考慮∑n≤xλsym⁴f（n²）χn.

命題1 設(shè)f∈H*k，χ是一個模q的原特征，對任意的εgt;0，q≤xθ，有

∑n≤xλsym⁴f（n²）χn=Of，εqx^1922+ε.（21）

證明 由Perron^[23-26]公式和（1）可得

∑n≤xλsym⁴f（n²）χn=12πi∫^1+ε+iT1+ε－iTL4（s，χ）xssds+Of，εx^1+εT，（22）

其中s=σ+it，1≤T≤x.

將積分線移動到Rs=12+ε，不經(jīng)過L4（s，χ）的極點，且U～s一致收斂.由柯西留數(shù)定理得

∑n≤xλsym⁴f（n²）χn=

－12πi∫^12+ε+iT1+ε+iT+∫^1+ε－iT12+ε－iT+∫^12+ε－iT12+ε+iT

L4（s，χ）xssds +Of，ε（x^1+ε/T）：=I1+I2+I3+Of，ε（x^1+ε/T）.（23）

對于水平方向上的積分，應(yīng)用式（17）和式（20），

I1+I2=

∫^1+ε12+εxσLσ+it，χLσ+it，sym⁴fχ

Lσ+it，sym8fχT^－1dσ=

x^1+ε/T+max12+ε≤σ≤1+εxσ（qT）^2231－σ+εT^－1=

x^1+ε/T+max12+ε≤σ≤1+εx（qT）²23σ（qT）^223+εT^－1=

x^1+ε/T+x^12+εq¹¹³T⁸³.（24）

對于豎直方向上的積分，應(yīng)用（18）（19）（20）和Hlder’s不等式，有

I3=x^12+εlogTsup1≤T1≤T

1T1∫^T1T12L12+ε+it，χ¹²dt112×

∫^T1T12L12+ε+it，sym8fχ125dt512

∫^T1T12L12+ε+it，sym⁴fχ²dt12

x^12+εsup1≤T1≤T1T1qT112×52+51294×25+92+16

x^12+εq^113+εT^83+ε. （25）

綜上所述，令T=x³²²/q，有

∑n≤xλsym⁴f（n²）χn=Of，εqx^1922+ε.

命題2 設(shè)f∈H*k，χ0是一個模q的主特征，對任意的εgt;0，q=x，有

∑n≤xλsym⁴f（n²）χ0n=

cx+Of，εx^1922+ε.（26）

證明 由引理2可得

L4（s，χ0）=∑SymboleB@n=1λsym⁴f（ni）χ0nns，

使用Perron公式，對2≤T≤x，有

∑n≤xλsym⁴f（n²）χ0n=

12πi∫^1+ε+iT1+ε－iTL4（s，χ0）xssds+

Of，ε（x^1+ε/T）.（27）

將積分線移動到Rs=12+ε，發(fā)現(xiàn)在s=1有一個一階極點，由柯西留數(shù)定理，有

∑n≤xλsym⁴f（n²）χ0n=

－12πi∫^12+ε+iT1+ε+iT+∫^1+ε－iT12+ε－iT+∫^12+ε－iT12+ε+iT

L4（s，χ0）xssds+Ress=1L4（s，χ0）xss+Of，ε（x^1+ε/T）：=J1+J2+J3+cx+Of，ε（x^1+ε/T），（28）

其中Ress=1L4（s，χ0）xss=cx， c是常數(shù).

又

L（s，χ0）=∏p1－χ0pps=∏p，q=11－χ0pps^－1∏p，qgt;11－χ0pps^－1=∏p，q=11－1ps^－1∏p，qgt;11－1ps^－1∏p，qgt;11－1ps=ζs，

可證

L4（s，χ0）=ζsLs，sym⁴fLs，sym8f.

對于水平方向上的積分，與命題1的證明類似，由（14） （15），有

J1+J2=

∫^1+ε12+εxσζσ+itLσ+it，sym⁴f

Lσ+it，sym8fT^－1dσ=

x^1+ε/T+max12+ε≤σ≤1+εxσT^{307421－σ+ε}T^－1=

x^1+ε/T+x^12+εT^22384+ε .（29）

對于豎直方向上的積分，應(yīng)用引理4-6和Hlder’s不等式，有

J3=x^12+εlogT

sup1≤T1≤T1T1∫^T1T12ζ12+ε+it¹²dt112×

∫^T1T12L12+ε+it，sym8f125dt512×

∫^T1T12L12+ε+it，sym⁴f²dt12=

x^12+εlogT

sup1≤T1≤T1T1∫^T1T12ζ12+ε+it¹²dt112×

L12+ε+it，sym8f²5

∫^T1T12L12+ε+it，sym8f²dt512×

∫^T1T12L12+ε+it，sym⁴f²dt12=

x^12+εT^83+ε.（30）

綜上所述，令T=x³²²，得

∑n≤xλsym⁴f（n²）χ0n=

cx+Of，εx^1+ε/T+Of，εx^12+εT⁸³=

cx+Of，εx^1922+ε.

定理1的證明.由特征的正交性可得

∑n≤xn≡lqλsym⁴f（n²）=

1φ（q）∑χ（modq）χ（n）χ（l）∑n≤xλsym⁴f（n²）=

1φ（q）∑χ（modq）χ（l）∑n≤xλsym⁴f（n²）χ（n）=

1φ（q）∑n≤xλsym⁴f（n²）χ0（n）+

1φ（q）∑χ（modq）χ≠χ0∑n≤xλsym⁴f（n²）χ（n）=

1φ（q）∑n≤xλsym⁴f（n²）χ0（n）+

Ο∑n≤xλsym⁴f（n²）χ（n），（31）

其中φ（q）是歐拉函數(shù)，φ（q）=q－1.

由命題1和2，我們得到

∑n≤xn≡lqλsym⁴f（n²）=cxφ（q）+Of，εqx^1922+ε.

定理得證.

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［責(zé)任編輯：趙慧霞］

作者簡介：武毅（1993-），男，河南濟源人，在讀博士，研究方向為數(shù)論.E-mail：770920232@qq.com.