有限域上一類對角三次方程的解數

摘要：運用Gauss和與Jacobi和的性質研究了有限域Fq上一類對角三次方程x31+x32+…+x3n+z（y31+y32+…+y3m）=0關于變量xi，yj∈Fq（i=1，2，…，n;j=1，2，…，m）的解數B（n，m），得到了生成函數∑SymboleB@m=1∑n=1B（n，m）xnym的顯式表達式，其中q=pk，p為素數，k為正整數.

關鍵詞：Gauss和;Jacobi和;有理表達式

中圖分類號：O156.2""" 文獻標志碼：A" 文章編號：2095-6991（2025）01-0017-05

Number of Solutions for aClass of Diagonal Cubic Equations over Finite Fields

CHAI Qi， GE Wen-xu_*

（North China University of Water Resources and Electric Power， Zhengzhou 450046， China）

Abstract：In this paper， by using the properties of Gauss sum and Jacobi sum， we give the solution" B（n，m）of a class of diagonal cubic equation x31+x32+…+x3n+z（y31+y32+…+y3m）=0 over finite field Fqwith variable xi，yj∈Fq（i=1，2，…，n;j=1，2，…，m）， and obtain the explicit expression of generating function∑SymboleB@m=1∑n=1B（n，m）xnym， where q=pk，p is a prime number，k is a positive integer.

Key words：Gauss sum; Jacobi sum; rational expression

0 引言

令Fq是q元有限域，其中q=pk，p為素數，k為正整數.用Fq表示Fq的乘法群，即Fq=Fq{0}.Fq上常數項為0的簡單對角方程定義為

a1x^e11+a2x^e22+…+anx^enn=0，

ngt;1，eigt;0，ai∈Fq，i=1，2，…，n.

方程的解數由其次數向量e=（e1，e2，…，en）和系數向量a=（a1，a2，…，an）決定.有限域上對角方程的解數在密碼學、物理學等領域有重要的應用價值，所以受到了許多學者的關注.計算有限域上對角方程的解數是比較困難的，給出解數的精確公式更加困難.近年來，許多學者^[1-6]已經對所有ei都相等的情況進行了廣泛研究，尤其是ei=3的情況.

GAUSS C F^[7]通過一系列精妙的計算方法深入研究了FP上對角方程

x31+x32+zx33=0，[JY]（1）

將方程（1）的解數記作B^（3）3（z），當q=p≡1（mod 3）且z為非三次元時，得到了解數的表達式B^（3）3（z）=p²+12（p－1）（－c+9d），這里c和d由4p=c²+27d²確定，其中c的符號可由同余條件c≡1（mod 3）確定，但其并沒有給出如何確定d的符號.

1978年，CHOWLA S等^[8]通過分析非零三次剩余之差的集合中2出現的次數的奇偶性，確定了當2是FP的非三次元時，方程（1）的解數表達式B^（3）3（z）中d的符號，拓展了GAUSS C F^[7]的結果，但其并未解決2是FP的三次元時d的符號問題.

2021年，HONG S F等^[9]解決了當2是FP的三次元時d的符號問題，并運用Gauss和，Jacobi和以及Hasse-Davenport定理進一步研究了Fq上對角方程

x31+x32+…+x3n+zx3n+1=0，（2）

將方程（2）的解數記作B^（3）n（z），z∈Fq是任一的非三次元，得到了對角方程（2）的解數的生成函數∑n=1B^（3）n（z）xn的有理表達式.

2022年，GE W X等^[10]通過有限域上Gauss和與Jacobi和的性質，改進了HONG S F等^[9]的結果，通過方程（2）的系數z直接確定了d的符號，具體結果如下.

設Fq是q元有限域，其中q=pk，k為正整數，p≡1（mod 3），z∈Fq是非三次元，則

∑SymboleB@n=0B^（3）n（z）xn=11－qx－q－1x+12（q－1）（c－9d）x²1－3qx²－qcx3，

其中，c與d由

4q=c²+27d²， c≡1（mod 3），（c，p）=1， 9d≡c（2z^q－13+1）（mod p）[JY]（3）

唯一確定.

在求解有限域上對角三次方程解數的探索中，學術界已經得到了豐富的研究成果，特別探討了所有變量都可以取零值或都不可以取零值的特定情形，然而，對于那些特定情形下，即一部分變量可以為0而另一部分變量必須非0的情況，目前的學術探索卻相對有限.在此基礎上，本文主要研究這類方程

x31+x32+…+x3n+z（y31+y32+…+y3m）=0，（4）

將方程（4）關于變量xi，yj∈Fq（i=1，2，…，n;j=1，2，…，m）的解數記作B（n，m），通過Gauss和與Jacobi和的性質將方程解的個數問題轉換為Gauss和問題，推廣了GE W X等^[10]的結果，得到了以下更一般的結果.

定理1 設Fq是一個由q=pk個元素構成的有限域，其中p≡1（mod 3），k為正整數，則

∑SymboleB@m=1∑SymboleB@n=1B（n，m）xnym=

qxy（1－qx）（1－qy）+（q－1）（－3q）xy－32q（9d+c）xy²+32q（9d－c）x²y+9q²x²y²+6q²c（x²y3+x3y²）+3q²c²x3y3]/3q［1－3q（y²+x²）+9q²x²y²－qc（y3+x3）+3q²c（x²y3+x3y²）+q²c²x3y3］，

其中，c和d由式（3）唯一確定.

注：令Fq是q=pk元有限域，當q≡2（mod 3）（k≡1（mod 3），p≡2（mod 3））時，因為k是奇數，所以Fq中任何元素都是三次的，因此方程（4）的解數表達式為B（n，m）=q^n+m－1.當q≡1（mod 3），p≡2（mod 3）時，由WOLFMANN J^[11]給出的B^（3）n（z）的一個公式，根據定理16^[12]，有

c=－2p^k2，" k≡0mod 4;2p^k2，k≡2mod 4，

且d=0.因此以下只討論p≡1（mod 3）的情況.又方程（4）的解數的生成函數∑Sm=1∑n=1B（n，m）xnym可看成關于y級數的泰勒展開式的一次性系數，也就是關于y的偏導數在x，0處的值，可知定理1包含GE W X等^[10]的結果.

1 輔助引理

對任意的a∈Fq，定義Gauss和為

Sa=∑x∈Fqψ（ax3），G（χ）=∑x∈Fqχ（x）ψ（x），

其中：χ是Fq的乘法特征，ψ是Fq的自然加法特征， 即

ψx=e^2πiTrFq/Fpx/p.

引理1^[10] 令Fq是由q=pk個元素構成的有限域，其中p≡1（mod 3），若z是Fq中任一非三次元，則存在Fq上唯一的三階乘法特征χ，使得

χ（z）=－1+3i2，

J（χ，χ）=c+33di2，

G3（χ）=q·c+33di2，

其中ω=－1+3i2，c和d由（3）唯一確定.

引理2^[10] "令χ為Fq的三階乘法特征，對任意的a∈Fq，有

S（a）=χ（a）G（χ）+χ（a）G（χ[TX-*4]）.

引理3^[10] 令Fq是一個由q=pk個元素構成的有限域，其中p≡1（mod 3），若z是Fq中任一非三次元，則

S²（1）S（z）+S（1）S²（z²）+S²（z）S（z²）=32q（9d－c），

其中c和d由（3）唯一確定.

引理4^[13] 令Fq是一個由q=pk元素構成的有限域，χ是Fq的非主乘法特征，ψ是Fq的非主加法特征，對任意的a∈Fq，有

∑x∈Fqχx=0，∑x∈Fqψax=q，a=0;0，a≠0.

引理5 令Fq是一個由q=pk個元素構成的有限域，其中p≡1（mod 3），若z是Fq中任一非三次元，則

S（1）S²（z）+S²（1）S（z²）+S（z）S²（z²）=－32q（9d+c），

其中，c和d由（3）唯一確定.

證明 因為p≡1（mod 3），所以所有非零三次元形成一個階為13（q－1），指數為3的乘法子群H，任取非三次元z，則有陪集分解Fq=H∪zH∪z²H，對任意的a∈zjH，有S（a）=S（zj），S（az）=S（z^j+1），則

∑a∈FqS（a）S²（az）=∑a∈HS（a）S²（az）+∑a∈zHS（a）S²（az）+∑a∈z²HS（a）S²（az）=13（q－1）（S（1）S²（z）+S（z）S²（z²）+S（z²）S²（1））.（5）

由引理1中Fq上三階乘法特征的性質得

χ（z）=－1+3i2，G3（χ）=q·c+33di2，

其中c和d由（3）唯一確定.

由引理2和引理4得

∑a∈FqS（a）S²（az）=∑a∈Fq（χ（a）G（χ）+

χ（a）G（χa∈FqχzG3χ+χzG3χ+

∑a∈FqqGχ2χz+χzχaz+

∑a∈FqqGχχz+2χzχaz=

q－1χzG3χ+χzG3χ=

qq－1－1+3i2·c+33di2+

－1－3i2·c－33di2=

－12qq－19d+c.[JY]（6）

將式（6）代入式（5）可得

－12qq－19d+c=

13（q－1）（S（1）S²（z）+

S（z）S²（z²）+S（z²）S²（1）），

化簡得

S（1）S²（z）+S（z）S²（z²）+

S（z²）S²（1）=－32q（9d+c）.

引理6^[12] 令Fq是由q=pk個元素構成的有限域，其中p≡1（mod 3），z是Fq中任一非三次元，則S（1），S（z），S（z²）是三次方程

x3－3qx－qc=0

的根，其中c由式（3）唯一確定.

由引理6，利用根與系數的關系很容易得到下面的推論.

推論1^[14] 令Fq是由q=pk個元素構成的有限域，其中p≡1（mod 3），z是Fq中任一非三次元，則

（1）S（1）+S（z）+S（z²）=0.

（2）S（1）S（z）+S（1）S（z²）+S（z）S（z²）=－3q.

（3）S（1）S（z）S（z²）=qc.

（4）S²（1）+S²（z）+S²（z²）=6q.

（5）S²（1）S²（z）+S²（1）S²（z²）+S²（z）[CM）]S²（z²）=9q².

2 定理1的證明

在這一節，證明定理1.

證明 由引理4得

B（n，m）=1q∑a∈Fq∑"" xi∈Fnq，yj∈Fmq

ψa［x31+x32+…+x3n+z（y31+y32+…+y3m）］=

1q∑SymboleB@a=0∑xi∈Fnqψ［a（x31+x32+…+x3n）］

∑yj∈Fmqψ［az（y31+y32+…+y3m）］=

1qSn（0）Sm（0）+1q∑q－1a=1Sn（a）Sm（az）=

1q∑q－1a=0Sn（a）Sm（az）=

q^n+m－1+1q∑a∈FqSnaSmaz，

其中，i=1，2，…，n;j=1，2，…，m，那么，

∑m=1∑n=1B（n，m）xnym=

∑m=1∑n=1q^m+n－1+1q∑a∈FqSn（a）Sm（az）xnym=

∑m=1∑n=1q^m+n－1xnym+

1q∑m=1∑n=1∑a∈FqSn（a）Sm（az）xnym=

qxy（1－qx）（1－qy）+1q∑a∈FqS（a）S（az）xy（1－S（a）x）（1－S（az）y）.

通過引理5的證明可知

∑m=1∑n=1B（n，m）xnym=

qxy（1－qx）（1－qy）+

1q∑a∈HS（a）S（az）xy（1－S（a）x）（1－S（az）y）+

∑a∈zHS（a）S（az）xy（1－S（a）x）（1－S（az）y）+

∑a∈z²HS（a）S（az）xy（1－S（a）x）（1－S（az）y）=

qxy（1－qx）（1－qy）+

q－13qS（1）S（z）xy（1－S（1）x）（1－S（z）y）+

S（z）S（z²）xy（1－S（z）x）（1－S（z²）y）+

S（z²）S（1）xy（1－S（z²）x）（1－S（1）y）=

qxy（1－qx）（1－qy）+q－13qM，

其中

M=S（1）S（z）xy（1－S（1）x）（1－S（z）y）+

S（z）S（z²）xy（1－S（z）x）（1－S（z²）y）+

S（z²）S（1）xy（1－S（z²）x）（1－S（1）y）=α+β+γμ.

對M的分子分母整理可得

α+β+γ=Bxy－

（3C+F）xy²－（G+3C）x²y+

（3AC+E）x²y²－2BCx²y3+

3C²x3y3-2BCx3y²，

μ=1－A（x+y）+

（2B+D）xy+B（y²+x²）+

（－3C－F－G）（xy²+x²y）+

（3AC+E）x²y²-C（y3+x3）－

BC（x²y3+x3y²）+C²x3y3，

其中

A=S（1）+S（z）+S（z²），

B=S（1）S（z）+S（1）S（z²）+S（z）S（z²），

C=S（1）S（z）S（z²），

D=S²（1）+S²（z）+S²（z²），

E=S²（1）S²（z）+S²（1）S²（z²）+S²（z）S²（z²），

F=S²（1）S（z）+S（1）S²（z²）+S²（z）S（z²），

G=S（1）S²（z）+S²（1）S（z²）+S（z）S²（z²）.

由推論1，引理3與5可知

A=0，B=－3q，

C=qc，D=6q，

E=9q²，F=32q（9d－c），

G=－32q（9d+c）.

進而有

α+β+γ=

（－3q）xy－32q（9d+c）xy²+

32q（9d－c）x²y+9q²x²y²+

6q²c（x²y3+x3y²）+3q²c²x3y3，

μ=1－3q（y²+x²）+

9q²x²y²－qc（y3+x3）+

3q²c（x²y3+x3y²）+

q²c²x3y3.

綜上所述，定理1得證.

3 結語

本文深入探討了有限域上一類對角三次方程的解數問題，運用Gauss和與Jacobi和的性質將解的個數問題轉化為Gauss和問題，不僅得到了方程解數的直接表達式，還推導出了生成函數的顯式表達式，這為理解和解決類似問題提供了新的視角和方法.本研究不僅豐富了有限域方程的解數理論，也為密碼學和物理學等領域的應用提供了理論支持，期待這些成果能夠激發更多關于有限域上高次對角方程解數的研究，進一步推動相關領域的發展.

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［責任編輯：趙慧霞］

基金項目：國家自然科學基金面上項目（12071132）；河南省自然科學基金面上項目（222300420493）

作者簡介：柴琦（1998-），女，山西臨汾人，在讀碩士，研究方向為數論.E-mail：3208288458@qq.com.

*通信作者：戈文旭（1982-），男，山東濟寧人，副教授，博士，研究方向為數論.E-mail：gewenxu@ncwu.edu.cn.