隨機利率與非仿射跳擴散模型下的歐式期權定價

摘要：研究了具有隨機利率和泊松跳的非仿射隨機波動率模型下的歐式期權定價問題.首先，運用擾動法去逼近標的對數資產價格的特征函數，并得到近似的解析式；然后，運用快速Fourier變換等方法推導出歐式期權的定價公式；其次，運用數值計算比較隨機利率、固定利率以及非仿射波動率過程分別對歐式看漲期權價格的不同作用，以及分析模型中利率的波動率參數和仿射結構參數對期權價格的影響.結果表明，二者對期權價格結果的影響均是正向的，且非仿射隨機波動率模型比仿射隨機波動率模型具有更高的靈活性.

關鍵詞：非仿射；隨機波動率；期權定價；快速Fourier變換；擾動法

中圖分類號：O212.1"" 文獻標志碼：A" 文章編號：2095-6991（2025）01-0022-07

European Option Pricing under Stochastic Interest Rateand Non-affine Jump Diffusion Model

DU Hui-yuan¹，FAN Xiao-ming²，LI Ao³

（School of Mathematics， Southwest Jiaotong University，Chengdu 611756， China）

Abstract：This paper studies the pricing problem of European options under non-affine stochastic volatility model with random interest rate and Poisson jump. First， perturbation method is used to approximate the characteristic function of the underlying logarithmic asset price， and the approximate analytic formula is obtained. Then， the pricing formula of European option is derived by using fast Fourier transform. Secondly， the numerical calculation is uesd to compare the different effects of stochastic interest rate， fixed interest rate and non-affine volatility on the price of European call options， and analyze the effects of interest rate volatility parameters and affine structure parameters on the price of option. The results show that both of them have positive effects on option price， and the non-affine stochastic volatility model is more flexible than the affine stochastic volatility model.

Key words：non-affine; random volatility; option pricing; fast fourier transform; perturbation method

0 引言

自1973年起，Black-Scholes模型的提出對后續的期貨定價理論研究產生了廣泛而深遠的影響^[1].大量的實證研究表明，資產價格的波動率過程存在明顯的“尖峰厚尾”現象，并且由于B-S中假設股價波動率是常數，導致會出現“隱含波動率微笑”的現象.因此，為了更好地描述金融市場的特征，越來越多的學者對模型做了改進，并取得了顯著的成果，例如在模型中引入隨機波動率和隨機利率等方式^[2-3]，從而使模型更適用于刻畫金融市場特征.

隨機波動率模型在歐式期權建模中起著重要的作用.基于廣泛的實證研究，一些作者提出了幾種具有代表性的隨機波動率模型.其中，HESTON S L^[4]用Cox-Ingersoll-Ross （CIR）模型定義波動率過程，該模型比其他模型更適合應用于實際的金融過程.然而，仿射型Heston模型的波動率方程中包含平方根設定，雖然為其在期權解析定價上帶來極大便利，但無法較好地描述金融時間序列的非線性特征，不能充分描述標的資產價格波動的動態性.因此，近年來很多學者在期權定價的研究中開始引用非仿射隨機波動模型，如GARCH或一般CEV型擴散模型^[5-6]，它比Heston中使用的仿射模型更好地捕捉主要股票指數的動態.由于在期權定價模型中，通常使用在模型中加入跳的方式來描述資產收益的不連續行為，例如MERTON R^[7]在他的期權定價模型中將股價的跳定義為具有固定強度，跳躍幅度滿足對數正態分布的復合泊松過程.為了使模型更適用于實際情況，本文通過在非仿射隨機波動率模型中加入泊松跳的方式，推導出歐式看漲期權的定價公式.除波動率外，利率也是金融市場中不可忽略的一個重要因素.有4種典型的隨機利率模型：VASICEK O^[8]用Ornstein-Uhlenbeck過程對利率進行建模，以描述利率的變化；COX J C等^[9]采用均值回歸平方根過程對利率進行建模，并將其應用于建立隨機波動率模型，并在擴散系數中增加了一項，且使它保持了均值恢復和非負性質，使其比Vasicek的模型更適合應用；隨后，HULL J等^[10]提出了一個特殊的過程來指定利率的變化，模型中的所有參數都是時變的.但該模型在現實中不能很好地捕捉市場形態，需要仔細處理該模型的校準問題.為了在實際應用中表現更好，對其模型進行了改進，只讓一個參數是時變的，這樣就更可靠和適用，通常稱該模型為Hull-White利率過程^[11].本文將Hull-White利率過程引用到非仿射隨機波動率模型中，并利用此模型對歐式期權進行定價.

1 帶跳的混合動態模型

設（Ω，（Ft）t∈［0，T］，Q）是完備的概率空間，Ft是一個完備的右連續的σ-代數流，Q是風險中性測度.假設在風險中性測度Q下，資產價格St滿足下列微分方程：

dStSt=（rt－q－λμ）dt+vtdWst+（eJ－1）dNt，

dvt=kv（θv－vt）dt+αvβt（ρdWst+1－ρ²dWvt），

drt=δ（θr－rt）dt+ηdWrt，

其中：rt是無風險利率；q是股息率；vt為波動率；St為標的資產價格；Wst，Wvt，Wrt均為標準的布朗運動，假設Wst，Wvt具有相關性，即dWstdWvt=ρdt；ρ，α，β，q，kv，δ，θv，θr均為常數，并且當β=0.5時，該模型即為仿射Heston模型^[13-15]，否則為非仿射模型，Wrt與Wst和Wvt是相互獨立的.Zt=∑Ntk=1Jk為復合泊松過程，λ為跳躍強度，eJ表示跳躍強度且服從對數正態分布，即J～N（μs，σ²s），Nt～Poisson（λt），μ=E［eJ－1］=e^μs+12σ2s－1.

令xt=lnSt表示對數資產價格過程，根據It公式，該模型下的對數資產價格過程滿足下列微分方程：

dxt=rt－q－λμ－12vtdt+vtdWst+JdNt，

dvt=kv（θv－vt）dt+αvβt（ρdWst+1－ρ²dWvt），

drt=δ（θr－rt）dt+ηdWrt.

2 歐式期權定價

本節將討論帶跳的具有隨機利率和非仿射隨機波動率模型的歐式看漲期權定價問題.首先，將風險中性測度Q變換到通過Radon-Nikodym導數定義的遠期測度Qs下，此時以零息債券為計價單位的期權價格就是一個鞅^[16]；其次，需要求得對數資產價格的特征函數，并對其利用快速Fourier變換即可求得期權價格，以下是詳細過程.

2.1 測度變換與特征函數

在風險中性測度Q下，歐式看漲期權C（S，v，r，t）在時間t∈［0，T］，執行價格為K，到期日為T的價格為

C（S，v，r，t）=EQ［e^－∫Ttrsds（ST－K）+|Ft］.

由于在風險中性測度Q下，該定價公式中存在多個隨機變量，使得直接求該模型下的期權價格較為困難，因此先通過Radon-Nikodym導數定義遠期測度Qs，即

dQsdQ=e^－∫TtrsdsP（t，T，r），

其中，P（t，T，r）=EQ［e^－∫Ttrsds|Ft］表示在T時刻到期的零息債券在t時刻的價格.

引理1^[16] 將風險中性測度Q轉化為遠期測度Qs，以到期日支付為1的零息債券為定價單位.那么在Qs下，以零息債券為計價單位的期權價格就是一個鞅，計價公式為

C（S，v，r，t）=P（t，T，r）E^Qs［（ST－K）+|Ft］.

在使用FFT方法求解定價公式之前，首先要得到對數資產價格xT的特征函數，下面給出該特征函數的推導過程.

通過測度變換的Radon-Nikodym導數將Qs下的期望轉換為Q下的期望，

φ（u;x，v，r，t）=E^Qs［e^iuxT|Ft］=EQ[JB（［]e^－∫Ttrsds+iuxTP（t，T，r）|Ft[JB）］]=1P（t，T，r）EQ［e^－∫Ttrsds+iuxT|Ft］.12v（1－2β2）iu+kvθv］∫τ0E（u;s）ds+12α²θ^2βv（1－2β）∫τ0E²（u;s）ds+δθr∫τ0F（u;s）ds+12η²∫τ0F²（u;s）ds，D（u;τ）=iu，

E（u;τ）=12a3［a2（u）+γ1（u）－2γ1（u）1－γ2（u）e^{－γ1（u）τ}］，

F（u;τ）=iu－11－e^－δτδ.

這里，

a1（u）=12iu（iu－1），a2（u）=kv－ρα（β+12）θ^β－12viu，

a3=α²βθ^2β－1v，

γ1u=a²2u－4a1ua3，

γ2（u）=－a2（u）+γ1（u）－a2（u）－γ1（u）.

證明 由Feynman-Kac定理，可得特征函數（u;x，v，r，τ）滿足如下偏微分方程（其中，τ=T－t）：

－τ+r－q－λμ－12vx+

12v²x²+ραv^β+122xv+

kvθv－vv+12α²v^2β2v²+

δθr－rr+12η²²r²+

λ∫^+SymboleB@－SymboleB@u;x+J，v，r，τ－

u;x，v，r，τqJdJ－r=0[JY]（1）

其中，

λ∫^+SymboleB@－u;x+J，v，r，τ－u;x，v，r，τqJdJ=λ∫^+SymboleB@－EQe^－∫Ttrsds+iuxTe^iuJ－1qJdJ=u;x，v，r，τΛu，

這里，Λ（u）=λ（e^{iuμs－12u2σ2s}－1）.由于（1）中含有v^β+12，v^2β，當β≠0.5時，用通常的方法很難獲得解析解，故本文使用擾動法求其近似解^[13-15].將v^β+12，v^2β在v=θv處做一階泰勒近似展開.

v^β+12≈θ^β+12v12－β+β+12θ^β－12vv，

v^2β≈θ^2βv（1－2β）+2βθ^2β－1vv.

將其帶入式（1）得，

－τ+r－q－λμ－12vx+

12v²x²+ραθ^β+12v12－β+

β+12θ^β－12vv²xv+kvθv－vv+

12α²θ^2βv1－2β+2βθ^2β－1vv²v²+

δθr－rr+12η²²r²+

λ∫⁺－SymboleB@u;x+J，v，r，τ－

u;x，v，r，τqJdJ－r=0.

假設特征函數（u;x，v，r，τ）具有如下形式：

（u;x，v，r，τ）=exp［C（u;τ）+

D（u;τ）x+E（u;τ）v+F（u;τ）r］.

根據定義，該特征函數存在邊界條件：C（u;0）=0，D（u;0）=iu，E（u;0）=0，F（u;0）=0，所以，

Dτ=0，

Eτ=12D²+ρα1+2β2θ^β－12vDE+

α²βθ^2β－1vE²－12D－kvE，

Fτ=D－δF－1，

Cτ=－q－λμD+ραθ^β+12v12－βDE+

kvθvE+12α²θ^2βv1－2βE²+δθrF+

[KG*2]12η²F²+Λu.[JY]（2）

求出D（u;τ）=iu， 并帶入（2）得

Fτ=iu－δF－1，

所以，

∫τ0de^δsFu;s=iu－1∫τ0e^δsds

e^δτFu;τ－Fu;0=iu－1e^δτ－1δ

Fu;τ=iu－11－e^－δτδ.

對于E（u;τ）：先令a1（u）=12iu（iu－1），a2（u）=k－ραβ+12θ^β－12viu，a3=α²βθ^2β－1v，則（2）中的第二個公式可化為

dEdτ=a1（u）－a2（u）E+a3E².

對等號兩邊在［0，τ］上同時積分， 得

∫τ0dEa1u－a2uE+a3=τ.[JY]（3）

結合初始邊界條件E（u;0）=0， 求解積分公式（3），可得

τ=－1γ1（u）ln

2a3E（u;τ）－a2（u）+γ1（u）2a3E（u;τ）－a2（u）－γ1（u）+

1γ1（u）ln－a2（u）+γ1（u）－a2（u）－γ1（u），

可以求出

E（u;τ）=12a3a2（u）+γ1（u）－2γ1（u）1－γ2（u）e^{－γ1（u）τ}.

將D（u;τ），E（u;τ），F（u;τ）的結果帶入（2）中第四個公式并對其進行積分， 得

C（u;τ）=［（－q－λμ）iu+Λ（u）］τ+

ραθ^β+12v1－2β2iu+kθv[JB）］]∫τ0E（u;s）ds+12α²θ^2βv（1－2β）∫τ0E²（u;s）ds+δθr∫τ0F（u;s）ds+12η²∫τ0F²（u;s）ds，

其中：

∫τ0E（u;s）ds=τ2a3（a1（u）－γ1（u））－1a3ln1－γ2（u）e^{－γ1（u）τ}1－γ2（u），

∫τ0E²（u;s）ds=14a²3（a2（u）－γ1（u））²τ－4a2（u）ln1－γ2（u）e^{－γ1（u）τ}1－γ2（u）+4γ1（u）11－γ2（u）e^{－γ1（u）τ}－11－γ2（u），

∫τ0F（u;s）ds=iu－1δτ+e^－δτ－1δ，

∫τ0F²（u;s）ds=（iu－1）²δ²τ33－τ²δ－2τe^－δτ－τδ²－e^－2δτ－12δ3.

將以上帶入即可求出C（u;τ）.

[BT2]2.2 快速Fourier變換求解期權價格

計算出對數價格的特征函數后， 即可用快速Fourier變換計算期權價格^[12]. 令k=lnK， 則定價公式可寫為

Ct（k）=P（t，T，r）E^Qs［（e^xT－ek）+|Ft］=

P（t，T，r）∫k（e^xT－ek）q（xT|F）dxT，（4）

其中q（xT|Ft）為股票對數價格在Qs下的條件概率密度函數.

為了使（4）平方可積， 對Ct（k）乘上一個阻尼系數e^ξk， 即令ct（k）=e^ξkCt（k），對Ct（k）做Fourier變換：

ψ（v）=∫－e^ivkct（k）dk=∫－e^ivkP（t，T，r）

∫k（e^xT－ek）q（xT|Ft）dxT]dk=P（t，T，r）∫－q（xT|Ft）

∫^xT－（e^ξk+xT－e^（ξ+1）k）e^ivkdk]dxT=［v－i（ξ－1）］ξ²+ξ－v²+i（2ξ+1）v，

其中，·是在Q測度下的貼現特征函數， 然后再對ψ進行Fourier逆變換， 即可得到歐式看漲期權的定價公式：

Ct（k）=e^－ξk2π∫－e^－ivkψ（v）dv=e^－ξkπ∫0e^－ivkψ（v）dv.

為了便于求解， 對上述積分使用復合梯形公[HJ51x]式， 則原式可以化為

Ct（kl）≈e^－ξklπ∑Nj=1e^{－i2πN（j－1）（l－1）}e^ibvjψ（vj）η，

其中：vj=η（j－1），kl=－b+2bN（l－1），b=πη.

事實上， 期權定價公式的精確性還可以進一步改進， 在這里使用Simpson法則對積分公式進行修正^[16]， 得到的積分格式為

Ct（kl）≈e^－ξklπ∑Nj=1e^{－i2πN（j－1）（l－1）}

e^ibvjψ（vj）η33+（－1）j－δj－1]，

其中δi是Kronecke-δ函數.

顯然， 對上式使用FFT方法即可求出歐式看漲期權的價格.

3 數值分析

本節將使用快速Fourier（FFT）方法對構建的期權定價模型進行數值分析^[12].令阻尼因子ξ=3，η=0.25，N=4096， 相應的時間間隔為8πN≈0.0061，基于參考文獻設置的基準參數值如表1所列.

" 這里通過數值仿真， 直觀地展示非仿射參數β對波動率路徑和期權價格的影響以及隨機利率過程中波動率系數η的變化對歐式看漲期權價格的影響，具體結果如圖 1所示.

首先，從圖1中的（a）和（b）可以看出，當波動率v0lt;1時，β越小，波動率過程vt的波動性越大（此時v0=0.1， θv=0.1）；反之，如圖1中的（c）和（d）（此時v0=1.5， θv=1.5），當波動率v0gt;1時，β越大，波動率過程vt的波動性越大，這點可以通過分析波動率過程的微分方程得到：由于β影響波動率過程vt的波動項αvβt，當vtlt;1時，β越小，αvβt就越大，因而vt的波動性越大；當vtgt;1時，β越小，αvβt就越小，因而vt的波動性越小.

其次，利用上述假設的參數值，通過程序對上文提出的歐式看漲期權的定價公式進行實現，其中數值計算的結果如圖2所示.從圖中結果可以看出，在波動率是仿射情形下（β=0.5）以及非仿[CM（21]射情形下（以β=1， β=1.5， β=2為例），隨著

（a） β=0.5，v0=0.1時波動率的變化

（b） β=1.5，v0=0.1時波動率的變化

（c） β=0.5，v0=1.5時波動率的變化

（d） β=1.5，v0=1.5時波動率的變化

仿射參數β的值增大，歐式看漲期權的價值也存在著明顯增大的趨勢，這表明在金融市場的實際應用中，仿射參數β對期權價格的影響不容忽視；其次，在實用過程中，可通過改變仿射參數的方式使模型在仿射和非仿射兩種狀態下進行轉換，這說明本文所提出的模型具有更高的靈活性.

最后，固定利率、隨機利率以及不同η對期權價格的影響如圖3、圖4所示.

從圖3可以看出，隨機利率模型下的期權價格比固定利率下的期權價格高，這是因為隨機利率模型會導致期權價格的不確定性.從圖4中可以看出，波動率η的變化對看漲期權價格有著重要的影響.隨著η的增大，看漲期權的價格也隨之增大，看漲期權價格的變化是η的遞增函數.發生這種現象的原因可能是，利率的波動性越大，意味著利率上升的機會越大，當利率上升時，股票投資成本上升；因此，投資者傾向于購買看漲期權以降低投資成本，這使得看漲期權價格變得更高.

4 結語

本文結合擾動法和快速Fourier變換，推導出帶跳的非仿射隨機利率隨機波動率模型的歐式看漲期權的期權定價公式.該模型不僅考慮了波動率的非仿射變化和標的資產價格的隨機跳躍風險，還考慮了在現實的金融市場中利率的隨機性，更加符合真實情況；最后，通過數值實例分析了仿射參數以及利率模型參數的變化對期權價格的影響；結果表明，隨著仿射參數β的增大，期權價格也存在增大趨勢；其次，隨機利率模型下的期權價格比固定利率下的期權價格較高，這是由隨機利率模型會導致期權價格的不確定性所導致的，對于利率模型的波動率參數η，隨著η的增大，看漲期權的價格也隨之增大，它的變化對看漲期權價格有著重要的影響.

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［責任編輯：趙慧霞］

基金項目：國家自然科學基金項目（P113123G02004）

作者簡介：杜慧源（2000-），女，河南周口人，在讀碩士，研究方向為金融統計.E-mail：duhuiyuan1127@163.com.