離散時(shí)間線性時(shí)延系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制

摘要：采用事件觸發(fā)控制策略研究了離散時(shí)間線性時(shí)延系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題.首先，對(duì)于一類離散時(shí)間線性時(shí)延系統(tǒng)，提出一種新的事件觸發(fā)控制算法，不同于以往大量的結(jié)果，該算法在當(dāng)測(cè)量誤差超過(guò)了由控制系統(tǒng)狀態(tài)和系統(tǒng)演化時(shí)間決定的動(dòng)態(tài)閾值時(shí)，控制器才會(huì)更新；其次，給出了系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定的充分條件，并排除了類Zeno現(xiàn)象；最后，通過(guò)MATLAB仿真驗(yàn)證了所提出方法的有效性.

關(guān)鍵詞：離散時(shí)間；事件觸發(fā)控制；類Zeno；時(shí)延

中圖分類號(hào)：O231.1"" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A" 文章編號(hào)：2095-6991（2025）01-0035-05

Event-triggered Control of Discrete-time Linear Time-Delay Systems

DONG Jian1，WEI Xiang-fei^1*，JIA Ru-ru²，WANG Lei-yang¹

（1.Department of Electronic and Information Engineering， Bozhou University， Bozhou 236800， Anhui， China；

2.College of Artificial Intelligence， Nankai University， Tianjin 300350， China）

Abstract：The event-triggered control of discrete-time linear time-delay systems are studied. Firstly， for a class of discrete-time linear time-delay systems， a new event-triggered control algorithm is proposed. The controller will be updated only when the measurement error exceeds the dynamic threshold determined by the control system state and system evolution time. Secondly， the sufficient conditions for the global asymptotic stability of the system are given， and the Zeno-like phenomenon is excluded. Finally， the effectiveness of the proposed method is verified by MATLAB simulation.

Key words：discrete time; event-triggered control; zeno-like; time delay

0 引言

離散時(shí)間時(shí)延系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用到數(shù)字信號(hào)處理、數(shù)字控制、優(yōu)化算法和數(shù)字通信中^[1-2].在這些應(yīng)用中，系統(tǒng)狀態(tài)的實(shí)時(shí)更新和控制對(duì)于保證系統(tǒng)性能至關(guān)重要.傳統(tǒng)的基于時(shí)間觸發(fā)的控制策略在面臨網(wǎng)絡(luò)帶寬有限、計(jì)算資源受限等挑戰(zhàn)時(shí)，往往難以達(dá)到理想的控制效果.事件觸發(fā)控制策略主要基于系統(tǒng)狀態(tài)或輸出的變化來(lái)觸發(fā)控制器的更新.與傳統(tǒng)的基于時(shí)間觸發(fā)的控制方法相比，事件觸發(fā)控制能夠減少不必要的通信和控制更新，節(jié)省網(wǎng)絡(luò)資源，并提高系統(tǒng)效率.對(duì)于無(wú)時(shí)延的離散時(shí)間系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制已有大量結(jié)果^[3-4].然而，對(duì)于具有時(shí)延的離散時(shí)間系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制的研究結(jié)果還很少.例如，文獻(xiàn)[5]對(duì)于帶有時(shí)延的離散時(shí)間復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，提出一種動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)同步控制算法.文獻(xiàn)[6]對(duì)不確定性的離散時(shí)間系統(tǒng)提出了事件觸發(fā)保成本控制，設(shè)計(jì)的事件觸發(fā)控制器考慮了網(wǎng)絡(luò)傳輸延遲，但不受控制的系統(tǒng)本身是無(wú)時(shí)延的.文獻(xiàn)[7]利用Lyapunov-Razumikhin技術(shù)，提出一種事件觸發(fā)控制算法，以穩(wěn)定一類具有時(shí)變時(shí)延的離散時(shí)間非線性系統(tǒng).在離散時(shí)間系統(tǒng)事件觸發(fā)控制中，類Zeno現(xiàn)象是特別需要關(guān)注的問(wèn)題，它表現(xiàn)為在有限的時(shí)間步長(zhǎng)中，觸發(fā)條件在每次時(shí)間步長(zhǎng)上都被滿足，導(dǎo)致控制信號(hào)需要頻繁更新.文獻(xiàn)[8]針對(duì)一類具有時(shí)延和有界擾動(dòng)的離散時(shí)間系統(tǒng)，提出了一種改進(jìn)的無(wú)模型事件觸發(fā)自適應(yīng)控制策略，但是未給出系統(tǒng)排除類Zeno現(xiàn)象的條件.基于此背景，對(duì)于離散時(shí)間時(shí)延系統(tǒng)，本文提出了一種新的輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的事件觸發(fā)控制算法.當(dāng)測(cè)量誤差達(dá)到動(dòng)態(tài)閾值時(shí)，根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)和演化時(shí)間產(chǎn)生控制更新.觸發(fā)條件包括3個(gè)參數(shù)，可以進(jìn)行調(diào)整，以保證控制系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性，并給出系統(tǒng)排除類Zeno現(xiàn)象的充分條件.與現(xiàn)有的結(jié)果相比，所提出的事件觸發(fā)算法易于使用，并且保證了事件間隔時(shí)間的下界始終大于1.

記號(hào)：設(shè)Z表示整數(shù)的集合，Z+表示非負(fù)整數(shù)的集合，R表示實(shí)數(shù)的集合，R+表示正實(shí)數(shù)集合，Rn表示n維歐幾里得空間，‖.‖代表歐幾里得范數(shù).對(duì)于n×n矩陣A，‖A‖代表矩陣范數(shù)，AT代表矩陣的轉(zhuǎn)置.對(duì)于給定的常數(shù)τ∈Z+，讓N-τ={-τ，-τ+1，…，1，0}，N-τ/0=N-τ/{0}，Cτ={：N-τ→Rn}，Cτ/0={：N-τ/0→Rn}，對(duì)于給定的∈Cτ，定義一個(gè)函數(shù)-τ/0為-τ/0（s）=（s），其中s∈N-τ/0，也就是說(shuō)，-τ/0∈Cτ/0，最后，定義兩個(gè)范數(shù)為‖‖τ=maxs∈N-τ{‖（s）‖}和‖‖τ/0=maxs∈N-τ/0{‖（s）‖}.

1 問(wèn)題描述

考慮如下線性離散時(shí)間時(shí)延系統(tǒng)，

x（k+1）=" A1x（k）+A2x（k-τ）+Bu（k），x0=φ，（1）

其中：x（k）∈Rn表示系統(tǒng)狀態(tài);控制輸入u（k）∈Rm，n，m∈Z+;系統(tǒng)初始狀態(tài)函數(shù)φ∈Cτ，τ表示系統(tǒng)時(shí)延;矩陣A1，A2，B是合適維數(shù)的矩陣.

下面給出系統(tǒng)輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的引理.

引理1^[9] 假設(shè)存在V1∶Rn→R+，V2∶Cτ/0→R+，函數(shù)α1，α2，α3∈K∞，χ∈K，常數(shù)μ∈［0，1］，這樣對(duì)于所有∈Cτ，有

（i）α1（‖（0）‖）≤V1（（0））≤α2（‖（0）‖）;

（ii）0≤V2（τ/0）≤α3（‖‖τ/0）;

（iii）V（）：=V1（（0））+V2（τ/0）.

滿足V（*）-V（）≤-μV（）+χ（‖u‖），其中函數(shù)*：N-τ→Rn定義如下，

*（s）=f（，u），s=0，

（s+1），s∈N-τ0，

那么系統(tǒng)（1）是輸入到狀態(tài)穩(wěn)定的.

下面引入事件觸發(fā)控制，令u（k）=Kx（ki），其中k∈［k1，ki+1），K是合適維數(shù)的矩陣，觸發(fā)序列{ki}i∈ZZ+是觸發(fā)時(shí)刻，由狀態(tài)測(cè)量的執(zhí)行規(guī)則決定.為了介紹執(zhí)行規(guī)則，首先定義執(zhí)行誤差為

e（k）=x（ki）-x（k），k∈［ki，ki+1），

那么x（ki）=e（k）+x（k），k∈［ki，ki+1）.控制系統(tǒng)（1）重寫為

x（k+1）=A1x（k）+A2x（k-τ）+" BKx（k）+BKe（k），x0=φ.（2）

對(duì)于系統(tǒng)（2）作如下定義.

定義 1 系統(tǒng)（2）的平凡解是具有全局吸引力的，如果limk→∞‖x（k）‖=0，對(duì)于所有的φ∈Cτ，其中x（k）：=x（k，0，φ）是系統(tǒng)（2）的解.

定義 2 如果系統(tǒng)（2）的平凡解是穩(wěn)定的，并且具有全局吸引力，那么稱系統(tǒng)（2）是全局漸近穩(wěn)定的.

為了得到時(shí)間序列{ki}i∈Z+，強(qiáng)制令執(zhí)行誤差e（k）滿足

‖e（k）‖≤[SX（]σ[]‖BK‖[SX）]‖x（k）‖+α（1-b）k，（3）

其中：常數(shù)σ≥0，αgt;0，0lt;blt;1是待設(shè)計(jì)的參數(shù).那么控制器u（k）由以下執(zhí)行規(guī)則觸發(fā)，

‖e（k）‖gt;[SX（]σ[]‖BK‖[SX）]‖x（k）‖+α（1-b）k，

下一次的事件觸發(fā)時(shí)刻定義為

ki+1=minkgt;ki[JB）|]‖e（k）‖gt;[JB（][SX（]σ[]‖BK‖[SX）]‖x（k）‖+α（1-b）k.（4）

規(guī)則（4）的執(zhí)行如下：在每個(gè)事件時(shí)間ki中，系統(tǒng)（2）根據(jù)引入的控制率對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行更新，并把測(cè)量誤差e（k）置為0，且控制器u（k）在接下來(lái)的時(shí)間步長(zhǎng)中保持不變，直到測(cè)量誤差e（k）滿足觸發(fā)條件（4），更新u（k）=Kx（ki+1）.在［ki，ki+1）內(nèi)，其中k∈Z+，這個(gè)過(guò)程會(huì)不斷重復(fù).事件觸發(fā)閾值參數(shù)決定了控制器更新次數(shù)，事件觸發(fā)閾值參數(shù)越小，控制器更新次數(shù)越多，反之，控制器更新次數(shù)越少.

2 主要結(jié)果

在本節(jié)，對(duì)第一節(jié)中所提出的事件觸發(fā)控制方案，給出系統(tǒng)（2）全局漸近穩(wěn)定的充分條件，并保證事件觸發(fā)間隔嚴(yán)格大于1.

定理1 系統(tǒng)（2）中的事件觸發(fā)時(shí)刻由（4）決定，當(dāng)μ-σgt;0，agt;0，1-bgt;0時(shí)，如果假設(shè)blt;c，c=μ-σ，參數(shù)a，b，σ滿足不等式：

1-b≥M[]a‖I-Ai‖+‖A2‖[]（1-b）τ+‖BK‖，（5）

其中，

M=a‖BK‖[]c-b+‖φ（0）‖+ε‖φ（0）‖τ/0，ε=1[]2-‖A1+BK‖+‖A1+BK‖²+4‖A2‖，

則系統(tǒng)（2）是全局漸近穩(wěn)定的，且排除了類Zeno現(xiàn)象.

證明 首先，證明當(dāng)控制系統(tǒng)（1）引入測(cè)量誤差e（k）后還滿足引理1.令V（）=‖（0）‖，V2（τ/0）=ε‖（-1）‖.選取Lyapunov泛函V（）=V1（（0））+V2（τ/0）=‖（0）‖+ε‖（-1）‖，引理1中的條件（i），條件（ii）滿足α1（r）=α2（r）=r，α3（r）=εr，其中r≥0.對(duì)于控制系統(tǒng)（2）有

V（xk+1-V（xk）=‖x（k+1）‖+ε‖x（k）‖-‖x（k）‖-ε‖x（k-1）‖≤（‖A1+BK‖+ε-1）‖x（k）‖+（‖A2‖-ε）‖x（k-1）‖+‖BK‖‖e（k）‖=-（1-ε-‖A1+BK‖）V1（x（k））-1-[SX（]‖A2‖[]ε[SX）]V2（xk）τ/0+‖BK‖‖e（k）‖≤-μV（xk）+χ（‖e（k）‖），

其中χ（r）=r‖BK‖，r≥0，且

μ=min1-ε-‖A1+BK‖，1-‖A2‖[]ε=1[]22-‖A1+BK‖-‖A1+BK‖²+4‖A2‖.（6）

因此，系統(tǒng)（2）是滿足引理1的，接下來(lái)證明系統(tǒng)（2）的解是具有全局吸引力的，考慮控制系統(tǒng)（2）的解為x（k）：=x（k，0，φ）.當(dāng)k∈［ki，ki+1）時(shí)，有

‖e（k）‖≤σ[]‖BK‖‖x（k）‖+a（1-b）k.（7）

由引理1和不等式（7）可得

V（xk+1）-V（xk）≤-μV（xk）+σ‖x（k）‖+α‖BK‖（1-b）k≤-cV（xk）+α‖BK‖（1-b）k，

即

V（xk+1）≤（1-c）V（xk）+α‖BK‖（1-b）k，（8）

對(duì)于所有k∈Z+.由時(shí)刻k迭代可得

V（xk+1）≤（1-c）［（1-c）V（xk+1）+α‖BK‖（1-b）^k-1］+α‖BK‖（1-b）k=（1-c）²V（xk-1）+∑1[]j=0‖BK‖（1-c）j（1-b）^k-j≤（1-c）3V（xk-2）+∑2[]J=0α‖BK‖（1-c）j（1-b）^k-j≤（1-c）^k+1V（x0）+∑k[]j=0α‖BK‖（1-c）j（1-b）^k-j.（9）

因?yàn)閎lt;c，從（9）可以得到

V（xk+1）≤（1-b）^k+11-c[]1-b^k+1V（x0）+α‖BK‖[]1-b∑k[]j=0[DD）]1-c[]1-bj=（1-b）^k+1V（x0）+α‖BK‖[]1-b1-1-c[]1-b^k+1[]1-1-c[]1-b≤（1-b）^k+1V（x0）+α‖BK‖[]1-b.（10）

由式（10）和引理1可得

V（xk+1）≤（1-b）^k+1（M+M）≤M（1-b）^k+1.

由引理1中條件可得

‖x（k）‖≤M（1-b）^k+1，（11）

那么

lim[DD（X]k→∞[DD）]‖x（k）‖≤lim[DD（X]k→∞[DD）] M（1-b）^k+1=0.（12）

因此，由定義1可知，系統(tǒng)（2）的解是具有全局吸引力的.

下面，證明系統(tǒng)（2）是全局漸近穩(wěn)定的.因?yàn)棣羐t;0，從系統(tǒng)（2）得到

‖x（1）‖≤‖I-A1‖‖x（0）‖+‖A2‖‖x0‖τ/0+‖BK‖‖x（0）‖≤（‖I-A1‖+‖A2‖+‖BK‖）‖φ‖τ，[13）

利用數(shù)學(xué)歸納法和（13），可以推得‖x（k）‖≤‖φ‖τ，如果‖I-A1‖+‖A2‖+‖BK‖lt;1；反之，‖x（k）‖lt;（‖I-A1‖+‖A2‖+‖BK‖）k‖φ‖τ.

如果‖I-A1‖+‖A2‖+‖BK‖lt;1，那么系統(tǒng)（1）必然穩(wěn)定.接下來(lái)分析當(dāng)‖I-A1‖+‖A2‖+‖BK‖≥1時(shí)的情況.對(duì)于充分小的正常數(shù)δ，δlt;M，使得

（‖I-A1‖+‖A2‖+‖BK‖^k*）≤M（1-b）^k*，（14）

（‖I-A1‖+‖A2‖+‖BK‖^k*+1）gt;M（1-b）^k*+1（15）

不等式成立，其中

k*=lnδ/M[]ln（1-b）/（‖I-A1‖+‖A2‖+‖BK‖）

是下取整函數(shù).對(duì)于‖φ‖τlt;δ，根據(jù)（11）和以上估計(jì)可得

‖x（k）‖lt;（‖I-A1‖+‖A2‖+‖BK‖）^k*δ，" k≤k*;M（1-b）^k*，kgt;k*，

這也意味著對(duì)所有的k≥0，都有‖x（k）‖lt;M（1-b）^k*.因此，對(duì)于任意的εgt;0，總存在一個(gè)接近于零的正常數(shù)δ，使得k*足夠大時(shí)也滿足M（1-b）^k*≤ε，也就是說(shuō)‖φ‖τlt;δ也暗含著

‖x（k）‖lt;M（1-b）^k*≤ε，

對(duì)所有的k≥0都成立.因此，系統(tǒng)（2）是全局漸近穩(wěn)定的.

接下來(lái)，證明ki+1-kigt;1，對(duì)于所有的k∈Z+.這里假設(shè)ki+1-ki=1，也就意味著ki+1=ki+1，那么由系統(tǒng)（2）和定理1可知

‖x（ki+1）-x（ki）‖=‖x（ki+1）-x（ki）‖≤‖I-A1‖‖x（ki）‖+‖A2‖‖xki‖τ/0+‖BK‖‖x（ki）‖≤（‖I-A1‖+‖BK‖）M（1-b）^ki+‖A2‖M（1-b）^ki-τ≤M（1-b）^ki

‖I-A1‖+[SX（]‖A2‖[]（1-b）τ[SX）]+‖BK‖[JB）］]≤α（1-b）^ki+1.

根據(jù)執(zhí)行規(guī)則（4）中ki+1的定義可知

σ[]‖BK‖[SX）]‖x（ki+1）‖+α（1-b）^ki+1lt;‖x（ki+1）-x（ki）‖≤α（1-b）^ki+1，

這與上述估計(jì)矛盾，所以ki+1-kigt;1對(duì)于所有i∈Z+都成立.也就排除了類Zeno現(xiàn)象.

3 仿真實(shí)例

在本節(jié)中，用一個(gè)例子來(lái)驗(yàn)證所提出的事件觸發(fā)方案的有效性.考慮控制系統(tǒng)（2）的參數(shù)選取如下.

A1=0.95[]00.01[]1.5，

A2=0[]-0.01-0.01[]0，

B=3[]0.20.5[]0.1，

K=-1.621[]0.03240.0810[]-0.4862.

為了驗(yàn)證控制系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性，依據(jù)給定的條件（6）確定了參數(shù)，μ≈0.403.因?yàn)棣蘬t;1，所以由引理1可知，控制系統(tǒng)（2）是全局漸近穩(wěn)定的.然后根據(jù)定理1，選取α=16，b=0.01，σ=0.1，使不等式（5）成立.選取初始條件為φ（s）=（-2 3）T，s∈Nτ，時(shí)延τ=1.利用MATLAB仿真軟件進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如圖1和圖2所示.

由圖可知，當(dāng)仿真步長(zhǎng)為h=800時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)x（k）和控制器u（k）都會(huì)趨于零，這一結(jié)果表明，控制系統(tǒng)在選取的參數(shù)條件下是趨于穩(wěn)定的.此外，令事件觸發(fā)控制器更新為1，反之為0，并選取上述參數(shù)進(jìn)行同步模擬實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如圖3所示.當(dāng)仿真步長(zhǎng)為800時(shí)，事件觸發(fā)控制器更新189次，這表明，在系統(tǒng)趨于穩(wěn)定的同時(shí)，網(wǎng)絡(luò)資源的消耗得到了有效的控制，且觸發(fā)時(shí)刻間隔始終大于1.

4 結(jié)語(yǔ)

本文介紹了一種新的事件觸發(fā)方案來(lái)處理線性離散時(shí)間時(shí)延系統(tǒng)，給出了保證事件觸發(fā)控制系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定的充分條件.此外，控制器更新時(shí)間間隔的下界嚴(yán)格大于1.未來(lái)將對(duì)帶有時(shí)延的離散時(shí)間多智能體系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制進(jìn)行研究.

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［責(zé)任編輯：趙慧霞］

基金項(xiàng)目：安徽省高校自然科學(xué)重點(diǎn)項(xiàng)目（2023AH052274）;安徽省高校自然科學(xué)重點(diǎn)項(xiàng)目（2022AH052412）

作者簡(jiǎn)介：董建（1996-），男，安徽亳州人，助教，碩士，研究方向?yàn)榭刂评碚?E-mail：2024020004@bzuu.edu.cn.

*通信作者：魏相飛（1979-），男，山東新泰人，教授，博士，研究方向?yàn)闄C(jī)電理論.E-mail：flyxfwei@sina.com.