基于一種新型MQ擬插值格式的廣義Burgers-Fisher方程數值解研究

摘要：主要研究了一種新型MQ擬插值格式在廣義Burgers-Fisher方程中的應用，在時間方向上采用向前差分法進行離散，對空間方向采用新型擬插值近似，從而給出數值計算解法.通過數值實驗，并與其他方法進行比較，得到在不同時間以及不同節點處的誤差值.實驗結果驗證了新型擬插值方法的有效性和準確性.

關鍵詞：廣義Burgers-Fisher方程；MQ擬插值；MQ徑向基函數；數值解

中圖分類號：O241.82"" 文獻標志碼：A" 文章編號：2095-6991（2025）01-0040-06

Application of a Novel MQ Quasi-interpolation Algorithmin Generalized Burgers-Fisher Equation

ZHANG Ji-hong， ZHANG Jia-qi

（College of Science， Dalian Jiaotong University， Dalian 116028， Liaoning， China）

Abstract：This paper mainly studies the application of a new MQ quasi-interpolation scheme in the generalized Burgers-Fisher equation. The forward difference method is used in the temporal direction， and the novel quasi-interpolation method is used for the spatial term， so as to give the numerical calculation solution. Through numerical experiments， and comparing with other methods， error values at different times and at different nodes are obtained with other methods. The experimental results verify the effectiveness and accuracy of the novel quasi-interpolation method.

Key words：generalized Burgers-Fisher equation; MQ quasi-interpolation; MQ radial basis function; numerical solution

0 引言

廣義Burgers-Fisher方程是擴散傳播、對流傳導作用的典型模型，在現代物理學中具有重要意義.有很多學者對廣義Burgers-Fisher方程的數值解進行了研究.

ISMAIL H N A^[1]等采用Adomian分解法數值求解了廣義Burgers-Fisher方程；在文獻 [2] 中，作者給出了廣義Burgers-Fisher方程的tanh法；文獻 [3] 介紹了廣義Burgers-Fisher方程的數值解法；ZHU C G等^[4] 將 B-樣條擬插值格式用到了廣義Burgers-Fisher方程的數值求解；IZADI M^[5] 給出了用譜方法近似計算廣義Burgers-Fisher方程的數值解.

1992年，BEATSON P K等^[6] 提出了3種MQ擬插值格式LA，LB，LC.隨后WU Z M等^[7] 提出了LD.在計算精度方面，LC優于LA，LB.由于LD無需端點處導數值，其精確度不低于LC擬插值，所以LD擬插值格式在微分方程數值求解方面得到了廣泛的應用.鄔會源^[8] 在2016年將LD擬插值應用于求解D-P方程、C-H方程.ZHANG S L^[9]將LD擬插值應用于求解CEV期權定價模型.GAO W W^[10]將LD擬插值應用于求解積分函數等.

文獻 [11-12] 研究了用MQ擬插值LD求解廣義Burgers-Fisher方程等.

本文采用一種新型MQ擬插值方法LN^[13]去數值求解廣義Burgers-Fisher方程，并進行數值實驗，給出其與擬插值LD的比較，驗證本文方法的有效性.

1 MQ擬插值格式LD

給出離散數據a=x0lt;x1lt;…lt;xn=b，h=max0≤i≤n－1（xi+1－xi） ，{xj，fj}，fj=f（xj），j=0，1，…，n.

LD^[7]擬插值格式為

（LDf）（x）=f0α0（x）+f1α1（x）+∑n－2j=2fjψj（x）+fn－1αn－1（x）+fnαn（x），（1）

其中

ψj（x）=φj+1（x）－φj（x）2（xj+1－xj）－φj（x）－φj－1（x）2（xj－xj－1），2≤j≤n－2，

α0（x）=12+φ1（x）－（x－x0）2（x1－x0），

α1（x）=φ2（x）－φ1（x）2（x2－x1）－φ1（x）－（x－x0）2（x1－x0），

αn－1（x）=（xn－x）－φn－1（x）2（xn－xn－1）－φn－1（x）－φn－2（x）2（xn－1－xn－2），

αn（x）=12+φn－1（x）－（xn－x）2（xn－xn－1），（2）

φj（x）=c²+（x－xj）²是MQ徑向基函數，c為形狀參數.

本文采用一種與擬插值格式LD類似的新型MQ擬插值格式LN來求解廣義Burgers-Fisher方程.該方法計算簡單，不需要求解大型方程組，避免了因為系數陣條件數過大從而引起病態問題.

給出新型MQ擬插值新格式LN：

（LNf）（x）=f0α0（x）+f1α1（x）+f2α2（x）+∑n－3j=3fjψj（x）+fn－2αn－2（x）+fn－1αn－1（x）+fnαn（x）.（3）

令

α（x）=φ0－（x－x0）x1－x0，β（x）=φn－（xn－x）xn－xn－1，

其中

α0（x）=β0+34α，

α1（x）=ψ1（x）－α，

α2（x）=ψ2（x）+14α，

αn－2（x）=ψn－2（x）+14β，

αn－1（x）=ψn－1（x）－β，

αn（x）=βn+34β，

β0（x）=12+φ1－φ02（x1－x0），

βn（x）=12+φn－1－φn2（xn－1－xn）.

新型MQ擬插值LN具有常數再生性和線性再生性，與LD具有相似的誤差估計.

引理1^[6] 當c=O（h），x∈［x0，xn］時，有‖f－LCf‖=O（h²logh）.

定理2^[13] 當c=O（h）時，有‖f－LNf‖=O（h²logh）.

新型MQ擬插值LN誤差證明如下：

‖f－LNf‖=

‖f－LCf+LCf+LNf‖≤

‖f－LCf‖+‖LCf－LNf‖.

根據擬插值LC公式^[7]和式（3）得

LCf－LNf=

f0′γ0+f0β0（x）+fnβn（x）+

fn′γn－f0β0（x）+34α（x）+

f1α（x）－14f2α（x）－14fn－2β（x）+

fn－1β（x）－

fnβn（x）－34fnβ（x）=

f0′γ0+fn′γn－34f0α（x）+

f1α（x）－14f2α（x）－14fn－2β（x）+

fn－1β（x）－34fnβ（x）=

f0′γ0+fn′γn－

34f0－f1+14f2α（x）－

14fn－2－fn－1+34fnβ（x），

其中

γ0=－α（x1－x0）2，

γn=β（xn－xn－1）2.

又因當c=O（h）時，α、β可以被看作常數，因此

LCf－LNf=

－x1－x02f0′－34f0+f1－14f2α+

xn－xn－12fn′－14fn－2+fn－1－34fnβ=

－x1－x02f0′+x1－x02

f′（x0）－（x1－x0）²3f（x0）+

o（x1－x0）3α+

+xn－xn－12f0′－xn－xn－12

f′（xn）－（xn－xn－1）²3f（xn）+

o（xn－xn－1）3[JB）］][JBgt;2}][JBgt;2}]β≤

－h36f（x0）+o（h3）α+

h36f（xn）+o（h3）β，

對上式兩邊取范數得

‖LCf－LNf‖=O（h3），

即證‖f－LNf‖=O（h²logh）.

2 用新型MQ擬插值LN數值求解廣義Burgers-Fisher方程

考慮帶有初邊值條件的廣義Burgers-Fisher方程：

ut（x，t）+γuδ（x，t）ux（x，t）=" uxx（x，t）+ηu（x，t）（1－uδ（x，t）），

a≤x≤b，0lt;t≤T，

u（x，0）=g（x），

u（a，t）=r（t），u（b，t）=l（t），

其中，γ，η，δ為常數.

首先，對求解域進行矩形剖分，將空間步長和時間步長分別定義為h=b－aN和τ=TM，其中N，M都是正整數.再用直線xj=x0+jh，j=0，1，…，n和tk=kτ，k=0，1，…，M將區域分割成（n+1）×M+1個網格點（xj，tk）.

記ukj為函數u（x，t）在點（xj，tk）處的數值解.

其次，給出廣義Burgers-Fisher方程的離散格式，在時間方向上采用向前差商法.將帶有上述初邊值條件的廣義Burgers-Fisher方程離散為

u^k+1j=ukj－τγ（ukj）δ（ux）kj+τ（uxx）kj+τηukj［1－（ukj）δ］.（4）

最后，在空間方向上，用新型MQ擬插值LN去逼近方程（4）中的一階導數和二階導數：

（ux）kj=∑2l=0uklαl′（xj）+∑n－3l=3uklψl′（xj）+∑nl=n－2uklαl′（xj），

（uxx）kj=∑2l=0uklαl″（xj）+∑n－3l=3uklψl″（xj）+∑nl=n－2uklαl″（xj）.

3 數值實驗

下面使用新型MQ擬插值LN求解廣義Burgers-Fisher方程的數值解，并與MQ擬插值方法LD的數值結果進行比較.

下面考慮具體的廣義Burgers-Fisher方程初邊值條件，并給出其數值實驗.

ut（x，t）+γuδ（x，t）ux（x，t）=" uxx（x，t）+ηu（x，t）（1－uδ（x，t）），" 0≤x≤1，0lt;t≤T，

u（x，0）=12+12tanh－γδ2δ+1x1δ，

u（0，t）=12+12tanh－γδ2δ+1－" γδ+1+ηδ+1γt1δ，

u（1，t）=12+12tanh－γδ2δ+11－" γδ+1+ηδ+1γt1δ.

在上述條件下，方程的精確解為

u（x，t）=12+12tanh－γδ2δ+1

x－γδ+1+ηδ+1γt1δ.

例1 采用文獻[12]的數值算例，設h=1/15，τ=0.0001，當γ=0.001，η=0.001時，求解廣義Burgers- Fisher方程的數值解.

當時間t取不同時刻，參數δ取不同值的情況下，給出了兩種擬插值格式所得數值解的最大誤差，如表1所列.

由表1可以看出，新型MQ擬插值LN的逼近精度在10^－15～10^－11，可以用來擬合方程且達到比[HJ]較好的擬合效果.當取不同的δ，t時，根據數據得LN產生的最大絕對誤差要普遍小于LD產生的，說明新型MQ擬插值LN在擬合Burgers-Fisher方程時，可以達到更高的擬合精度.

當時間T=1，給出了不同節點處參數取不同值時，兩種擬插值方法相應的最大絕對誤差比較，如表2所列.

觀察表2數據，可以看出當δ=1，T=1時，擬插值LN的擬合精度可以達到10^－14；[HJ]當δ=2，3，T=1時，逼近精度為10^－11，所以當α=0.001，β=0001，δ=1，T=1時，可以選取新型MQ擬插值LN作為擬合廣義Burgers-Fisher方程的方式.

當時間T=1，δ=1時，給出了精確解和擬插值近似解的對比圖，如圖1所示.

廣義Burgers-Fisher的精確解以及由LD，LN求得的數值解是非常接近的；當時間T=1，δ=1時，給出了兩種擬插值的絕對誤差對比圖，如圖2所示.

" 可以看出新型MQ擬插值LN產生的誤差精度10^－14比LD產生的10^－13小；當時間變量t在［0，1］時，給出了用LN近似計算的廣義Burgers-Fisher方程數值解的三維模擬圖，如圖3所示.

當時間T=1，δ=1時，給出了兩種擬插值格式相應的絕對誤差對比圖，如圖4所示.

例2 采用文獻[4]中的數值算例，設h=

1/15，τ=0.0001，當r=0.1，η=－0.0025時，求解廣義Burgers-Fisher方程的數值解.給出了不同時刻不同參數取值下兩種擬插值格式的最大絕

對誤差，如表3、表4所列，可以看出新型MQ擬插值LN產生的誤差更小，具有更加精確的擬合效果.

觀察圖4，得到由LD產生的絕對誤差為5×10^－8，由LN產生的為2.5×10^－8，可以直觀地看出使用LN擬合廣義Burgers-Fisher方程更加合適.

4 結語

本文使用了一種新型MQ擬插值格式LN對廣義Burgers-Fisher方程進行了數值求解.驗證了新型擬插值求解廣義Burgers-Fisher方程是合適的，并且可以帶來比目前比較流行的MQ擬插值格式LD更高的精度.通過比較不同δ，t下的最大絕對誤差以及固定時間t=1時不同點處的絕對誤差，也可以得到在α=1的情況下，使用新型MQ擬插值LN求解廣義Burgers-Fisher方程，擬合精度更高.今后我們希望可以用MQ擬插值格式LN來求解更多的非線性偏微分方程.

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［責任編輯：趙慧霞］

基金項目：國家自然科學基金青年科學基金項目（11801056）

作者簡介：張繼紅（1979-），女，黑龍江齊齊哈爾人，副教授，博士，研究方向為數值逼近及微分方程數值解.E-mail：iamzjh@126.com.