大學“數學實驗”課程教學的研究與實踐

摘"要：“數學實驗”作為一種新型的教學模式，其教學實施策略的探索顯得尤為重要。針對如何有效開展“數學實驗”課程教學的問題，我們結合學校情況和學情分析，對“數學實驗”課程的內容體系和教學模式進行了大膽且富有成效的探索，開展了豐富多樣的教學實踐。通過構建“數學實驗”課程體系和創新教學模式，為學生提供了更多元、更深入的數學學習體驗，使“數學實驗”課程成為培養學生創新思維與實踐能力的有效途徑，對于推動數學教學改革具有重要意義。

關鍵詞：數學實驗；數學建模；數學教育

中圖分類號：O21""文獻標識碼：A

隨著智能信息時代的來臨和計算機技術的迅猛進步，數學的重要性日益被廣泛認知。它不僅在傳統自然科學與工程技術領域扮演著基石的角色，還深入拓展至生命科學、經濟科學及社會科學等多個新興領域，逐漸成為這些領域不可或缺的支撐力量。數學與各學科的相互滲透及其在技術領域的廣泛應用，不僅促進了數學本身的發展，也推動了各個學科理論的前進［1］。數學的廣泛應用性主要源自其獨特的思維方式。因此，在實施素質教育和高等教育改革的過程中，提升學生的數學文化素質，訓練他們的數學思維方式和運用數學方法的能力，具有至關重要的作用［2］。

1"“數學實驗”課程開設的必要性

數學教育在培養學生方面，不僅著重于提升抽象思維、邏輯推理、空間想象及數學運算等基礎能力，而且更加關注增強學生的新知學習能力、創新思維及創新能力，以及運用數學方法解決現實問題的能力。在這一過程中，數學軟件成為學生探索與研究問題的得力助手，通過實驗與操作探索數學規律，讓學生在實驗與操作的過程中理解數學，進行問題的探索、猜想的提出、求解的實踐及結果的驗證［3］。計算機為學生提供了前所未有的學習環境，學生可借助高效的數學軟件和高速的計算機對實際問題進行反復模擬，從觀察中發現某些規律，從規律中猜測某種性質，對猜測的性質進行證明，也可對實際問題的數學模型進行大規模的反復計算，從計算結果中驗證了模型對問題解釋的正確性，從而解決了實際問題。因此，計算機技術和數學軟件使得“數學實驗”課程的開設非常必要［45］，主要體現在以下幾個方面：

（1）理論與實踐相結合。傳統的數學教學往往側重于理論知識的傳授，而“數學實驗”課程則強調通過動手實踐來深化對數學概念、定理和公式的理解。這種教學方式能夠幫助學生將抽象的數學知識與具體的應用場景相結合，從而提高學習的有效性和趣味性。

（2）培養創新思維和解決實際問題的能力。“數學實驗”課程致力于激勵學生應用所學知識來解決實際問題，通過一系列實踐環節，包括設計實驗方案、數據的收集與整理以及結果的分析等，來培育學生的創新思維、批判性思維和高效的問題解決能力［6］。

（3）促進信息技術與數學教學的深度融合。隨著信息技術的飛速發展，數學軟件、計算機模擬等工具在數學學習和研究中的應用越來越廣泛。“數學實驗”課程能夠引導學生掌握這些工具的使用方法，提高他們利用信息技術解決數學問題的能力，從而適應信息化時代的需求。

（4）激發學生的好奇心，增強其學習興趣和動力。“數學實驗”課程通常包含豐富的實踐活動和案例分析，這些活動能夠有效激發學生的數學學習興趣和好奇心，促使他們更加積極主動地參與到學習過程中。同時，通過實踐中的成功體驗，學生也能夠獲得成就感和自信心，進而增強學習動力。

（5）推動數學教育改革。“數學實驗”課程的引入是數學教育改革的重要方向之一，它打破了傳統數學教學的束縛，倡導“以學生為中心”的教學理念，注重培養學生的實踐能力和創新精神。這種改革有助于推動數學教育向更加科學、合理、有效的方向發展。

綜上，開設“數學實驗”課程對于提升學生的數學素養具有顯著作用，同時也有助于培養學生的創新思維和強化他們的問題解決能力，對于促進信息技術與數學教學的融合、增強學生的學習興趣和動力及推動數學教育改革等方面都具有重要的必要性。

2"“數學實驗”課程的內涵

“數學實驗”作為一種創新的教學模式，強調在教師的指導下，學生運用所學的數學知識和計算機技術，開展具有實踐意義的教學活動，旨在分析并解決實際問題［4］。

“數學實驗”以數學實驗室為課堂，這種環境設置本身就為學生提供了一個與傳統教室不同的學習空間。在這個空間里，學生不再是單純地接受知識灌輸，而是可以動手操作，親身體驗數學與實際問題之間的聯系。這種實踐性強的教學活動，有助于增強學生的參與感和主動性，使他們在解決問題的過程中深化對數學知識的理解和應用。

“數學實驗”以學生為中心，以問題為主線，這種教學理念強調了學生在學習過程中的主體地位。通過引導學生自主分析問題、設計解決方案、實施實驗并驗證結果，“數學實驗”不僅促進了學生分析問題和解決問題能力的提升，而且極大地激發了他們的學習興趣和探索未知世界的精神。同時，這種教學模式也促進了學生之間的交流和合作，培養了他們的團隊協作能力和溝通能力。

“數學實驗”的一個顯著特點在于，它能夠將數學思維特別是邏輯思維的過程變得視覺化、形象化。通過將抽象的數學概念和邏輯過程轉化為具體的圖像和動態演示，“數學實驗”能夠幫助學生更直觀地理解數學原理，降低學習難度，提高學習效率。這種視覺化的學習方式也有助于激發學生的學習興趣，使他們在輕松愉快的氛圍中掌握數學知識。

“數學實驗”強調計算機技術在教學中的應用。通過利用數學軟件和計算機模擬工具，學生可以更加方便地進行數據處理、模型建立和結果驗證等操作。這種技術手段不僅提高了學生的計算機運用水平，還為他們提供了更多的創新空間和可能性。在“數學實驗”中，學生可以自由發揮想象力，嘗試不同的解決方案，從而培養他們的創新精神和創新能力。

3"“數學實驗”課程的內容設置

“數學實驗”作為一門獨立的課程，其內容可劃分為兩大類別。第一類是配合常規課程的實驗，旨在為學生打下堅實的理論基礎并激發他們的學習興趣。這類實驗又可細分為兩種：一是重要定理的導引實驗，它在常規課程的重難點內容之前進行，旨在讓學生通過實驗對即將學習的數學問題有一個直觀的認識，理解研究的背景、規律及可能的結論，為后續的常規課程學習奠定基礎。若能夠激發學生對這些問題的興趣，則效果更佳。二是實踐應用實驗，如在學完Newton切線法后，讓學生自行編程計算，觀察不同初值點對收斂速度的影響，以此鞏固常規課程知識，并學會實際應用計算，實現知識與技能的雙重提升。第二類實驗則致力于拓寬學生的知識面，它們不拘泥于特定的數學學科，甚至涉及一些邊緣學科。這類實驗讓學生在豐富多樣的數學現象中自由探索、發現，其核心目的是激發學生的學習興趣，讓他們在實踐中增長見識，拓寬視野［78］。

教學實踐中，教師主要通過生動、賦予啟迪的典型案例分析，使學生了解數學模型的建立過程，介紹數學建模的思想和方法，培養和增強學生的想象力、洞察力和創造力，所以在案例的選擇上應遵循一些原則。

（1）鮮明的目的性。緊密結合教學實際，旨在幫助學生深入理解教學內容。通過不斷對比、歸納、思考和領悟實際問題，運用所學知識尋求解決方案，從而有效提升學生的問題解決能力。

（2）濃厚的趣味性。選擇學生感興趣的例題，營造趣味盎然的學習氛圍。學生在享受學習過程的同時，深刻體會數學建模的思想方法和實際應用過程。

（3）高度的科學性。所選案例需符合生活實際，確保數學理論與現實生活緊密相連。通過實踐的檢驗，學生真切感受到數學的實用性和科學性。

4"“數學實驗”課程遵循的原則

“數學實驗”作為一種數學教學方法，它必然要遵循一些一般的原則，如辯證唯物主義的認識論、實踐論以及一般科學規律等。當然，作為一種特殊的教學方法，“數學實驗”有著自己的特點，應遵循下面的一些教學原則。

4.1"軟件平臺的選擇

優秀的數學軟件是數學方法與計算機科學有機結合的產物，從某種意義上講是一種數學技術［9］。“數學實驗”解決實際問題，需要處理大量數據，進行計算機模擬與數值計算就離不開數學軟件。因此，在選擇“數學實驗”所需的軟件平臺時，一個合適且功能全面的工具至關重要。MATLAB和Mathematica便是兩個備受推崇的選項，它們均屬于功能強大的計算機數學系統。這些軟件不僅具備卓越的符號演算能力，能夠輕松處理多項式的四則運算、展開、因式分解，以及有理式的各種計算，還能求解復雜函數的極限、導數、不定積分，進行冪級數展開，處理矩陣運算和行列式展開等任務。此外，它們在數值計算方面也表現出色，支持任意精度的數值計算（包括實數和復數），能夠求解多項式方程、有理方程和超越方程的精確解及近似解；還能求解微分方程，計算定積分的近似值，且精度可控。更重要的是，這些軟件能夠方便地繪制一元和二元函數的靜態圖形。如圖1和圖2所示，為“數學實驗”提供了極大的便利。

圖1"定積分概念演示

圖2"雙葉雙曲面圖形演示

4.2"以學生為主體

“數學實驗”課要求學生利用計算機獨立完成實驗內容，寫好實驗報告，在解決實際問題的過程中不斷探索，在實踐中發揮聰明才智。在整個過程中教師以指導者的身份出現，學生為主體，鼓勵學生個性發展。

（1）制訂實驗計劃時，不要把實驗步驟訂得太細，如果訂得太細，就會妨礙學生探索的自由度。比如，讓學生觀察函數的圖形，目的是學習連續函數的單調性與導函數的關系，極值、最值與導數的關系等，教師可以先指定一個具體的函數供學生觀察學習，隨后鼓勵學生自主尋找其他函數進行實驗探索。在這一過程中，學生可能會發現諸如對稱性、奇偶性和周期性等額外的函數性質，這些發現都是值得贊賞和肯定的。

（2）學生應當親自檢驗自己得出的結論。由于歸納和猜想的結果通常不夠可靠，驗證其正確性就需要學生通過實驗進行自我檢驗。在實驗過程中，學生可能會發現自己的猜想被駁倒，也可能會因此增強對猜想的信心，這一過程極具意義。猜想往往源自實驗，而驗證猜想同樣依賴于實驗。如果實驗不能支持某個猜想，那么這個猜想很可能是錯誤的；即使實驗支持了猜想，它仍有可能存在錯誤，但至少我們獲得了更多的正面證據。數學家在進行數學研究時，尤其是在面對復雜問題時，常常采用這種通過實驗進行猜想與驗證的方法。

（3）實驗是允許有誤差的，我們可以說一個學生的實驗結果是好的、不太好的或者是粗糙的，但不要簡單地說學生的實驗結果是正確的或錯誤的。例如，Fermat在觀察Fermat數時，認為全體Fermat數都是素的，這就是個粗糙的實驗。學生在觀察Fermat數時，可能會得出類似的結論，這時我們如果簡單地說“做錯了”，這就太粗暴了，因為學生的確做了實驗，而且實驗的數據的確支持這個猜想。這時教師可以建議學生將實驗做得更細致一些，而不是單純地否定。

4.3"開放性

實驗在設計上應該有一定的開放性，讓盡可能多的學生從中受惠，要做到這一點，實驗的設計門檻必須要低一些，也就是說，問題的提出盡可能簡單明了、背景清楚易懂。讓程度低的學生一開始就能明白自己在做的事情，并且能進行一定程度的探索；隨著影響問題的因素的增加和變化，引導學生向問題的縱、深進行探索，直到學生分析歸納出一個結論（可能是猜想），在可能的情況下，最后還可以讓學生證明自己得到的結論。這樣一來，問題就有了一定的“景深”和“廣度”。要讓學生對實驗有一種“懸而未決”“意味深長”的感覺，使得學生在做完實驗后還有進一步去研究問題的沖動。同時，每個實驗最后最好能包含一份相關的參考資料，使學生能根據自己的興趣進一步深入學習。

結語

“數學實驗”課作為現代數學教學不可或缺的一環，其重要性日益凸顯。為了更加充分發揮“數學實驗”課的價值，我們應不斷探索“數學實驗”課的規律、總結經驗，不斷改進傳統的數學課教學模式，通過利用先進的技術手段，進一步豐富“數學實驗”課的教學內容和形式，使其更加生動、有趣且富有挑戰性。同時，借助信息技術，還能夠幫助我們更高效地收集和分析學生的學習數據，從而更準確地評估教學效果，為進一步優化教學策略提供有力依據。展望未來，“數學實驗”課將隨著信息技術的不斷進步而不斷完善和深入，為培養學生的創新思維和實踐能力發揮更加重要的作用。

參考文獻：

［1］李尚志.陳發來.《數學實驗》課程建設的認識與實踐［J］.數學的實踐與認識，2001（11）：764768.

［2］姜啟源.數學實驗與數學建模［J］.數學的實踐與認識，2001（5）：613617.

［3］李尚志.數學實驗［Ｍ］.北京：高等教育出版社，1999.

［4］謝云蓀.數學實驗［Ｍ］.北京：科學出版社，1999.

［5］姜啟源.數學建模［M］.北京：高等教育出版社，1993.

［6］李有文，王鵬，雷英杰.對數學文化課程的若干思考［J］.大學數學，2010，26（S1）：99101.

［7］韓明.將數學實驗的思想和方法融入大學數學教學［J］.大學數學，2011，27（4）：137141.

［8］張翼，盛祖祥，張瑩.淺談數學實驗的教學內容與教學方法［J］.中國大學教學，2009（01）：3940.

［9］吝維軍，季素月.數學實驗——數學方法、數學軟件和數學應用的融合［J］.大學數學，2011，27（1）：153156.

基金項目：山西省高等學校教學改革創新項目（J2023"0774）；山西省研究生教育教學改革課題（2023JG124、2023"JG122）

作者簡介：梅銀珍（1977—"），女，漢族，山西原平人，博士，中北大學數學學院副教授，主要從事組合數學研究。