專注學科素養差異化，提高高考試題創新性

摘要：基于“三新”背景下的新高考，數學學科的考查更加關注數學文化、數學應用、數學探索與數學思維等方面的學科素養的差異化與創新性.借助2024年高考數學試題，從數學學科素養的幾個側面加以深入剖析，專注學科素養考查下的差異化研究，合理提高數學試卷的創新性與應用，引領并指導數學教學與復習備考.

關鍵詞：高考；學科素養；差異；創新；文化

基于“三新”背景下的新高考，圍繞“一核四層四翼”命題要求，合理聚焦數學學科的必備基礎知識，突出數學學科的基本關鍵能力，強調數學學科中的理性思維，關注數學的本質與內涵，發揮選拔功能與育人價值，充分體現了考試內容的“四性”等.隨著新高考的進一步推進與落實，2024年高考數學對數學學科素養的考查穩步推進，數學文化方面的考查適當滲透，數學應用方面的考查更加貼近實際，數學探索方面的考查合理拓展，數學思維方面的考查逐漸深入，對四類學科素養的考查要求呈現出明顯的差異.

1 數學文化適當滲透

數學文化適當滲透已經成為近年新高考數學試卷中的一個基本關注點，其圍繞數學史中的經典問題、傳統文化中的基礎知識等為試題背景，合理融入數學基礎知識，借助數學知識的分析與解決來潛移默化，合理對學生進行理想、信念、人生觀等方面的教育，培養學生的數學學習興趣與愛國主義情懷等.

例1 （2024年高考數學北京卷·14）漢代劉歆設計的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標準量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數列，底面直徑依次為65 mm，325 mm，325 mm，且斛量器的高為230 mm，則斗量器的高為mm，升量器的高為mm.（不計量器的厚度）

解析：依題，可知斛量器的容積為V3=π×32522×230.

結合題設條件，可得斗量器的容積為V2=110V3=π×32522×23，所以斗量器的高為23 mm.

設升量器的高為h，由升量器的容積為V1=110V2=π×32522×2310=π×6522×h，解得h=1152，所以升量器的高為57.5 mm.

所以斗量器、升量器的高度分別23 mm，57.5 mm，故填答案：23，57.5.

點評：借助“銅嘉量”的標準量器這一數學文化背景，結合圓柱的體積、等比數列的定義等數學基礎知識的應用來合理設置，巧妙融合不同的數學知識及相關的技巧方法，實現問題的創新設置與巧妙應用.基于數學文化與情境設置，全面引導學生關注我國古代優秀成果，增強民族自尊心.

2 數學應用貼近實際

數學應用貼近實際來源于現實生活中的點點滴滴，生活場景皆可入題，數學試題源于生活場景.高考試題通過貼近生活實際的實例背景來合理創新設置，同時融合數學基礎知識的合理應用.借助數學應用場景的設置，合理引導學生在數學學習中加以現實應用，達到學以致用.

例2 （2024年高考數學北京卷·7）生物豐富度指數d=S－1ln N是河流水質的一個評價指標，其中S，N分別表示河流中的生物種類數與生物個體總數.生物豐富度指數d越大，水質越好.如果某河流治理前后的生物種類數S沒有變化，生物個體總數由N1變為N2，生物豐富度指數由2.1提高到3.15，則（" ）.

A.3N2=2N1

B.2N2=3N1

C.N22=N31

D.N32=N21

解析：依題，根據生物個體總數由N1變為N2，可列式S－1ln N1=2.1，S－1ln N2=3.15.

易得2.1ln N1=3.15ln N2.化簡，可得2ln N1=3ln N2，故ln N21=ln N32.

所以N21=N32.故選擇答案：D.

點評：借助“生物豐富度指數”這一現實應用場景，給出對應的函數表達式，通過對變量的分析，建立相應的關系式，為問題的進一步分析與求解創造條件.基于數學應用場景的設置，合理引導學生去觀察、去體驗現實生活中的方方面面，熱愛生活.

3 數學探索合理拓展

數學探索的合理拓展在新高考中的考查力度有逐年加大之趨勢，以開放性命題、結構不良問題（多選題）以及探索解題思路等多樣的形式來命制，結合觀察、分析、比較、歸納等活動，進而提出問題、猜想結論、發現規律等，對于學生的數學能力、思維品質以及探索精神等的綜合體現與提升都有很好的幫助，較好地區分學生的數學水平，有利于選拔人才.

例3 （2024年高考數學新高考Ⅰ卷·8）已知函數f（x）的定義域為R，f（x）gt;f（x－1）+f（x－2），且當xlt;3時，f（x）=x，則下列結論中一定正確的是（" ）.

A.f（10）gt;100

B.f（20）gt;1 000

C.f（10）lt;1 000

D.f（20）lt;10 000

解析：設an=f（n），n∈N，則有a1=f（1）=1，a2=f（2）=2.

結合題設條件，則有angt;an－1+an－2（n≥3）.

利用遞推關系可得a3gt;a2+a1=3，a4gt;a3+a2gt;3+2gt;5，a5gt;a4+a3gt;5+3gt;8，…….

觀察可知a6gt;8+5=13，a7gt;13+8=21，a8gt;21+13=34，a9gt;34+21=55，a10gt;55+34=89，a11gt;89+55=144，a12gt;144+89=233，a13gt;233+144=377，a14gt;377+233=610，a15gt;610+377=987，a16gt;987+610=1 597gt;1 000.

所以可知a20gt;1 000，即f（20）gt;1 000.

故選擇答案：B.

點評：這里利用抽象函數模型，巧妙構建與之對應的數列模型，聯系斐波那契數列進行數學探索，在綜合數列的遞推關系的同時，巧妙利用不等式的基本性質加以合理應用，綜合實現數學運算與邏輯推理等核心素養的考查與應用.數學探索的根本就是邏輯推理與分析，而這里通過抽象函數模型巧妙進行數學建模，借助特殊數列模型來處理，全面提升數學能力與數學核心素養.

4 數學思維逐漸深入

數學思維是數學“四能”考查中一個重要的方面，其是數學素養中最本質、最核心的內容，也是理性思維的基本要求.數學思維主要包括抽象概括與邏輯推理能力等，借助合理的邏輯推理與論證，通過化歸與轉化等來實現問題的巧妙突破與應用，成為數學學科核心素養考查的重要載體貫穿全卷始終.

例4 （2024年高考數學新高考Ⅱ卷·8）設函數f（x）=（x+a）ln（x+b），若f（x）≥0，則a2+b2的最小值為（" ）.

A.18

B.14

C.12

D.1

解析：依題，由于不等式f（x）≥0恒成立，結合平移變換可知不等式f（x－b）=（x+a－b）ln x≥0恒成立，整理可得xln x≥（b－a）ln x恒成立.

設函數g（x）=xln x，h（x）=（b－a）ln x.而g（1）=h（1）=0，即滿足有公切點（1，0）的兩個函數所對應的不等式g（x）≥h（x）恒成立，此時應該滿足在公切點（1，0）處的切線相同.

所以g′（1）=h′（1），g（1）=h（1），即g′（1）=h′（1）.

而g′（x）=ln x+1，h′（x）=b－ax，則有ln 1+1=b－a1，即b－a=1.

所以a2+b2=a2+（a+1）2=2a2+2a+1=2a+122+12≥12，當且僅當a+122=0，即a=－12，b=12時，等號成立.

所以a2+b2的最小值為12.故選擇答案：C.

點評：依托不等式恒成立的條件進行合理的平移變換，巧用數學思維，優化函數解析式，使得雙變元問題轉化為以一個整體（b－a）為變元的單變元問題，實現問題的優化處理.而考慮單變元不等式的恒成立問題，只要考查不等式兩端所對應的函數解析式，利用兩曲線有公切點時，其對應的公切線是同一條，這樣才能保證不等式恒成立，合理構建方程（組），為問題的突破創造條件.

“三新”背景下，2024年高考數學試題更加注重基礎落實與整體設計，在全面考查基礎知識、學科價值、學科素養與關鍵能力等的基礎上，合理突出重點，充分體現了高考試題的層次化、差異化，展現了良好的選拔性與區分度，巧妙引導高中數學教學與學習，突出對學生的數學基礎、學科素養、關鍵能力、心理素質等方面的考查，根除“題海戰術”“機械刷題”“題型套路”等頑瘴痼疾，命題更加趨向新穎化與創新化，直擊傳統高中數學教學中的“痛點”，引導更加科學、合理、創新的育人環境與教學氛圍.