中職汽修專業(yè)公共數(shù)學(xué)課平面向量與基爾霍夫定律的融通研究

摘"要：本文旨在通過(guò)中職公共數(shù)學(xué)課與汽車維修運(yùn)用專業(yè)的課程的一個(gè)具體案例——平面向量與基爾霍夫定律的融通研究，建立數(shù)學(xué)公共課與汽修專業(yè)教學(xué)的有效銜接，通過(guò)融通研究分析平面向量和基爾霍夫定律在各自領(lǐng)域內(nèi)的基本原理和應(yīng)用，揭示其在數(shù)學(xué)及電路理論中的共通之處，有效破解中職公共數(shù)學(xué)課與汽修專業(yè)教學(xué)之間的桎梏。這不僅對(duì)于加強(qiáng)中職公共課與專業(yè)課程教學(xué)之間融通實(shí)踐研究有良好的示范作用，也是武漢市儀表電子學(xué)校“三教改革、三全育人”的先行先試。本文通過(guò)融通研究分析，加強(qiáng)了公共數(shù)學(xué)課與汽修專業(yè)課教學(xué)之間的互通互聯(lián)，為跨專業(yè)學(xué)科研究提供新的視角。

關(guān)鍵詞：中職數(shù)學(xué)；平面向量；基爾霍夫定律；融通研究

中圖分類號(hào)：G712""文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

一、概述

孔祥浩［1］在2017年提出嘗試融合各門公共基礎(chǔ)學(xué)科，開(kāi)展一門培養(yǎng)學(xué)生職業(yè)能力的專項(xiàng)課程，并以數(shù)學(xué)學(xué)科為例，闡述該課程的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)，發(fā)揮數(shù)學(xué)在職業(yè)能力培養(yǎng)中的作用。林巍［2］在2019年提出探究在現(xiàn)代學(xué)徒制背景下，如何采取有效策略去改進(jìn)公共基礎(chǔ)課的教學(xué)方法（以中職數(shù)學(xué)為例），以提升教學(xué)效率。嚴(yán)生輝［3］在2020年特別研究了中職數(shù)學(xué)高效課堂教學(xué)特征，并從多個(gè)方面提出中職數(shù)學(xué)高效課堂教學(xué)策略。李瓊［4］在2020年提出現(xiàn)如今的職業(yè)教育由于有些過(guò)于看重職業(yè)教育，忽視了文化基礎(chǔ)課的教育，導(dǎo)致出現(xiàn)了一些接受過(guò)中等職業(yè)教育的學(xué)生，在文化基礎(chǔ)課程上要遜色于一些普通院校的學(xué)生，因此要將文化基礎(chǔ)課重視起來(lái)，這樣才能培養(yǎng)文才兼?zhèn)涞募夹g(shù)型人才。田靜等［5］在2021年提出構(gòu)建“中職數(shù)學(xué)+專業(yè)”的課程整合和教學(xué)改革模式，通過(guò)建立課程組、研發(fā)新教材、優(yōu)化教學(xué)模式、搭建資源庫(kù)等措施，進(jìn)而提升學(xué)生學(xué)習(xí)信心和教師專業(yè)素養(yǎng)，為后續(xù)公共基礎(chǔ)課與專業(yè)課的有效融合奠定扎實(shí)基礎(chǔ)。

平面向量是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)基本概念，廣泛應(yīng)用于物理、工程、經(jīng)濟(jì)等諸多領(lǐng)域。它是代數(shù)和幾何共同的研究對(duì)象，通過(guò)向量運(yùn)算可以簡(jiǎn)化許多復(fù)雜問(wèn)題的求解和運(yùn)算。基爾霍夫定律包括基爾霍夫電流定律（KCL）和基爾霍夫電壓定律（KVL），是理解和設(shè)計(jì)電路系統(tǒng)不可或缺的工具。

本文基于文獻(xiàn)［1］—［10］嘗試將平面向量與基爾霍夫定律進(jìn)行融通研究，探索兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系和共通之處，使汽修專業(yè)學(xué)生能借助平面向量工具更好地理解和運(yùn)用基爾霍夫定律解決電路中的電壓和電流問(wèn)題。

（一）平面向量

1.平面向量的基本概念

平面向量是既有大小又有方向的量，通常用帶箭頭的線段表示。在二維平面上，一個(gè)向量可以由其起點(diǎn)和終點(diǎn)確定，也可以通過(guò)坐標(biāo)表示法給出。向量之間的基本運(yùn)算包括加法、減法、數(shù)乘和內(nèi)積等。平面向量指定了起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向，平面向量的大小（稱為模或長(zhǎng)度）表示其“長(zhǎng)度”或“強(qiáng)度”，平面向量常用帶有箭頭的有向線段表示。

2.平面向量的重要定理

平面向量基本定理：平面上任意一個(gè)非零向量都可以表示為兩個(gè)不共線的向量的線性組合。這一定理揭示了平面上向量的基本構(gòu)成方式，是向量分析的基礎(chǔ)。

平面向量共線定理（平行向量共線定理）：若兩個(gè)向量共線，則它們之間存在線性關(guān)系，即一個(gè)向量是另一個(gè)向量的數(shù)乘。

（二）基爾霍夫定律基本原理

1.基爾霍夫電流定律（KCL）

KCL表述為：在集總電路中，對(duì)于任一節(jié)點(diǎn)，在任一時(shí)刻流出（或流進(jìn)）該節(jié)點(diǎn)的所有電流的代數(shù)和恒為0。這一定律基于電荷守恒定律，即電荷既不能創(chuàng)造也不能消滅，只能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體，或從物體的一端轉(zhuǎn)移到另一端。KCL是分析電路中電流分布的重要工具。

2.基爾霍夫電壓定律（KVL）

KVL表述為：在集總電路中，對(duì)于任一閉合回路，沿回路繞行一周，各元件電壓的代數(shù)和恒等于0。這一定律基于能量守恒定律，即在一個(gè)閉合系統(tǒng)中，能量的變化必須滿足守恒條件。KVL是分析電路中電壓分布的重要工具。

二、平面向量與基爾霍夫定律的融通研究

在探討平面向量與基爾霍夫定律的融通關(guān)系時(shí)，結(jié)合電路圖表進(jìn)行說(shuō)明可以更加直觀地展示兩者之間的聯(lián)系。圖1是一個(gè)簡(jiǎn)化的電路圖，圖2是實(shí)驗(yàn)操作圖，針對(duì)基爾霍夫定律知識(shí)點(diǎn)和平面向量共通點(diǎn)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)電路圖表示例及操作，中職學(xué)生能夠加深平面向量與基爾霍夫定律之間的內(nèi)在聯(lián)系，克服了電路分析的恐懼心理。

（一）基爾霍夫電流定律（KCL）和電壓定律（KVL）的應(yīng)用

在圖3節(jié)點(diǎn)a應(yīng)用KCL：根據(jù)基爾霍夫電流定律，流出或流入節(jié)點(diǎn)a的所有電流的代數(shù)和必須為0。在這個(gè)例子中，假設(shè)I1是通過(guò)R1的電流，I4是通過(guò)R4的電流，I6是通過(guò)R6的電流，那么KCL可以表示為：I1+I4+I6=0（通常情況下電流流出為正，流入為負(fù)，且實(shí)際情況中不會(huì)有完全相消的電流，這里僅為了說(shuō)明代數(shù)和的概念）。在更復(fù)雜的電路中，可能會(huì)有多個(gè)電流流入或流出同一節(jié)點(diǎn)，但KCL總是成立。在圖4虛線所示回路中應(yīng)用KVL：根據(jù)基爾霍夫電壓定律，回路電路中的所有電壓的代數(shù)和必須為0。在這個(gè)例子中，假設(shè)U1是R1兩端的電壓，U2是R2兩端的電壓，U3是R3兩端的電壓，那么KVL可以表示為：U1+U2+U3=0。

（二）電流、電壓與平面向量的關(guān)系

1.電流與平面向量的關(guān)系

在研究電流與平面向量的關(guān)系時(shí)，將電流視為“向量”，其中平面向量的長(zhǎng)度表示電流的強(qiáng)度I，平面向量的方向表示電流流動(dòng)方向（電流在集總電路中本質(zhì)上是標(biāo)量，可以視為有方向的量）。在平面向量中，多個(gè)平面向量的和可以通過(guò)平面向量加法法則推出。類似地，多個(gè)電流的“和”（代數(shù)和）可以通過(guò)KCL計(jì)算。電流與平面向量在數(shù)學(xué)描述和物理意義上確實(shí)存在共同之處，可以從三個(gè)角度闡述電流與平面向量的關(guān)系。

（1）方向性的類比。在集總電路研究中，當(dāng)電流的“方向性”與平面向量的“方向性”進(jìn)行類比時(shí)，電流可看作是一個(gè)沿著導(dǎo)線流動(dòng)的平面向量，其方向即為電荷流動(dòng)的方向，大小則用電流強(qiáng)度（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)導(dǎo)體橫截面的電荷量）來(lái)表示。

（2）大小與強(qiáng)度的類比。電流的大小用電流強(qiáng)度I來(lái)衡量，單位為安培A，是一個(gè)標(biāo)量。平面向量的大小（長(zhǎng)度或模長(zhǎng)）表示向量的長(zhǎng)度或強(qiáng)度，也是一個(gè)標(biāo)量。將電流的電流強(qiáng)度類比為平面向量的模長(zhǎng)，都表示了某種“量”的大小。

（3）運(yùn)算的類比。平面向量支持加法、減法、數(shù)乘、點(diǎn)積、叉乘等多種運(yùn)算以及旋轉(zhuǎn)、平移等變換。在集總電路分析中，雖然電流不能直接進(jìn)行向量運(yùn)算，但是電流的變化（交流電的相位變化）和電流在不同元件中的分配（基爾霍夫定律）可以用類似向量的方法來(lái)理解和計(jì)算。此外，電流在集總電路中的分布和變化也可視為一種“向量場(chǎng)”的變換，可以通過(guò)向量的方法來(lái)直觀表示和分析。

抽象來(lái)看，電流和平面向量都是描述某種“量”在空間中分布和變化的工具。電流在集總電路中的流動(dòng)可以視為特殊的“向量場(chǎng)”，而平面向量則是提供了一種數(shù)學(xué)上解決這種“向量場(chǎng)”的工具。

2.電壓與平面向量的關(guān)系

在研究電壓與平面向量的關(guān)系時(shí)，電壓是電學(xué)的一個(gè)基本量，平面向量是數(shù)學(xué)中用于描述二維空間內(nèi)具有大小和方向的量的工具。通過(guò)下面三個(gè)角度研究可以探討兩者之間的融通之處。

（1）方向性的類比。在集總電路研究中，當(dāng)電壓的“方向性”與平面向量的“方向性”進(jìn)行類比時(shí)，雖然在直流電路中電壓通常遵循“正極到負(fù)極”的定向，但是在交流電路中，電壓的方向可以隨時(shí)間周期性變化而發(fā)生變化，正是這種周期性變化可以類比平面向量在平面上的旋轉(zhuǎn)或方向變化。

（2）大小與強(qiáng)度的類比。在集總電路研究中，電壓的大小與平面向量的大小都表示了某種“量”的強(qiáng)度或程度。在電路中，電壓的大小決定了能量轉(zhuǎn)換的效率；而在數(shù)學(xué)中，平面向量的大小表示了其代表的物理量（如力、速度等）的強(qiáng)弱。

（3）運(yùn)算的類比。在集總電路研究中，電壓遵循基爾霍夫電壓定律（KVL），可以看作是電壓在電路中的“加法”運(yùn)算。平面向量的加法遵循平行四邊形法則或三角形法則，結(jié)果仍是一個(gè)平面向量，可以看作是平面向量矢量和在二維向量空間的“加法”運(yùn)算，類似物理中力的合成。雖然電壓的“加法”與平面向量的“加法”在物理意義上有所不同，但是在運(yùn)算形式上具有一定的相似性，電壓和平面向量本質(zhì)都是“量”的代數(shù)線性組合，并且組合后的結(jié)果仍保留原“量”的性質(zhì)（電壓仍是電壓，向量仍是向量），特別是零向量更好地驗(yàn)證了電壓和平面向量運(yùn)算的共同之處。

電壓與平面向量雖然分屬不同的學(xué)科領(lǐng)域，但通過(guò)方向性、大小和運(yùn)算的類比研究，可以發(fā)現(xiàn)兩者之間存在一定的融通聯(lián)系和共通之處。這種類比有助于從一個(gè)新的不同視角理解電壓的概念，同時(shí)也展示了平面向量作為一種重要的數(shù)學(xué)工具在物理學(xué)中的廣泛應(yīng)用和深刻影響。

（三）代數(shù)與幾何的共通性

平面向量與基爾霍夫定律在代數(shù)與幾何層面均表現(xiàn)出共通性。平面向量是通過(guò)坐標(biāo)表示法和向量運(yùn)算實(shí)現(xiàn)了代數(shù)與幾何的緊密結(jié)合。基爾霍夫定律則是通過(guò)電流和電壓的代數(shù)和來(lái)描述電路中的物理現(xiàn)象，同樣體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的統(tǒng)一性。

（四）守恒定律聯(lián)系

電荷守恒定律和能量守恒定律是自然界的基本法則，它們?cè)谄矫嫦蛄颗c基爾霍夫定律中均有體現(xiàn)。平面向量中的共線定理可以視為守恒定律在幾何層面的應(yīng)用，基爾霍夫定律則是守恒定律在電路理論中的直接體現(xiàn)。通過(guò)對(duì)比分析，可以發(fā)現(xiàn)兩者在守恒原理上的內(nèi)在聯(lián)系。

（五）線性關(guān)系的相似性

平面向量中的線性組合和基爾霍夫定律中的電流、電壓代數(shù)和均體現(xiàn)了線性關(guān)系的思想。在平面向量中，任意向量都可以表示為兩個(gè)不共線向量的線性組合。在電路中，任意節(jié)點(diǎn)的電流代數(shù)和以及閉合回路的電壓代數(shù)和也都滿足線性關(guān)系，這種相似性為兩者的融通研究提供了可能。

結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)平面向量與基爾霍夫定律的融通研究，揭示了兩者在代數(shù)與幾何、守恒定律以及線性關(guān)系等方面的內(nèi)在聯(lián)系。雖然上述類比在嚴(yán)格意義上并非完全精確（電流本質(zhì)上是標(biāo)量而非向量），但它有助于我們直觀地理解基爾霍夫定律與平面向量在代數(shù)和線性關(guān)系方面的共通性。未來(lái)的研究可以進(jìn)一步探討如何將平面向量的某些方法和技巧（如向量分解、投影等）應(yīng)用于電路分析，以及如何將電路理論中的概念（如阻抗、功率等）與平面向量的物理意義相結(jié)合，從而開(kāi)發(fā)出更加高效和直觀的電路分析工具。

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基金項(xiàng)目：湖北省職業(yè)技術(shù)教育學(xué)會(huì)科學(xué)研究課題（ZJZA202107）

作者簡(jiǎn)介：蔡強(qiáng)（1983—"），男，漢族，湖北武漢人，碩士，武漢市儀表電子學(xué)校基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)講師，研究方向：中職數(shù)學(xué)教育研究。