還原法：退步原來(lái)是向前

同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，有時(shí)會(huì)遇到這樣一些數(shù)學(xué)問(wèn)題—已知一個(gè)或多個(gè)數(shù)量經(jīng)過(guò)若干次變化后的結(jié)果，要求初始數(shù)據(jù)。

雖然知道每一步的變換過(guò)程，但是順著題目已有的條件去思考，求解方法總是很繁瑣。這時(shí)，我們可以嘗試改變思路，從題目的最后結(jié)果出發(fā)，運(yùn)用逆向思維，從后往前一步一步推算，直到找到最初的數(shù)據(jù)。我們把這種思考問(wèn)題的方法叫作“倒推法”（或“還原法”）。接下來(lái)我們就通過(guò)幾道題目，學(xué)習(xí)、體會(huì)一下倒推法的實(shí)際運(yùn)用。

例題一

唐代數(shù)學(xué)家張遂曾以“李白喝酒”為題材編了一道算題：

李白街上走，提壺去買酒。

遇店加一倍，見(jiàn)花喝一斗。

三遇店和花，喝光壺中酒。

借問(wèn)此壺中，原有多少酒？

（斗是古代酒具，也可作計(jì)量單位）

我們先仔細(xì)地讀題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言將這道古代算題“翻譯”一下。

李白提著酒壺去買酒，“遇店加一倍”即看到賣酒的店就將壺中的酒加一倍，可理解為“×2”；“見(jiàn)花喝一斗”即看見(jiàn)花就將壺中酒喝掉1 斗，可理解為“-1”。“三遇店和花”說(shuō)明“×2”和“-1”的變換重復(fù)了3 次，“喝光壺中酒”告訴我們，最后的結(jié)果是0。

因?yàn)閴刂性卸嗌倬剖俏粗模匀绻蛩伎迹菦](méi)有數(shù)據(jù)可以帶入計(jì)算的。不如試試從結(jié)果出發(fā)，倒推算回去。

在李白第三次見(jiàn)到花，喝了1 斗酒后，壺里的酒被喝光了。所以第三次見(jiàn)到花前，壺中有0+1=1（斗）酒，進(jìn)而得出第三次遇店前，壺中有 1÷2=1/2斗）酒 ；

依此推導(dǎo)，第二次見(jiàn)花前，壺中有1/2+1=3/2（ 斗）酒，第二次遇店前，壺中有3/2÷2=3/4（斗）酒；

第一次見(jiàn)花前，壺中有3/4+1=7/4 （斗）酒，第一次遇店前，壺中有7/4÷2=7/8（ 斗）酒 ；

由此得出，李白壺中原有7/8 斗酒。

例題二

《九章算術(shù)》中有這樣一道題：

今有人持米出三關(guān)，外關(guān)三而取一，中關(guān)五而取一，內(nèi)關(guān)七而取一，余米五斗。問(wèn)持米幾何？

我們先來(lái)理解一下題意：有一個(gè)人背米過(guò)關(guān)卡。經(jīng)過(guò)外關(guān)時(shí)，用了全部米的1/3納稅；過(guò)中關(guān)時(shí)，用了剩下的米的1/5納稅；經(jīng)過(guò)內(nèi)關(guān)時(shí)，又用了剩下的米的1/7納稅，最后還剩下5 斗米。求這個(gè)人原來(lái)背了多少斗米出關(guān)。

題目中，納稅的具體變換過(guò)程和最后剩下的米都是已知的，而原來(lái)背的米是未知的，所以適合使用“倒推法”解題。

我們從“余米五斗”的條件入手。最后還剩下5 斗米，倒著往前推：

過(guò)內(nèi)關(guān)納的稅為剩下的米的1/7，所以在過(guò)內(nèi)關(guān)前，剩的米為5÷（1-1/7）=35/6（ 斗）；

過(guò)中關(guān)時(shí)，用了剩下的米的1/5納稅，所以過(guò)中關(guān)前，剩余的米為35/6÷（1-1/5）=175/24（斗）；

過(guò)外關(guān)時(shí)，用了所有米的1/3納稅，所以這175/24斗米就是全部米的1-1/3=2/3，據(jù)此可求，過(guò)外關(guān)納稅前的米為175/24÷2/3=175/16（斗）。

得出答案，這個(gè)人原來(lái)背了175/16斗米。

例題三

有甲、乙兩桶油。從甲桶中倒出1/3的油到乙桶后，又從乙桶中倒出1/5的油到甲桶，這時(shí)兩桶油各有24 千克。原來(lái)甲、乙兩桶各有油多少千克？

在這一題中，兩個(gè)數(shù)量經(jīng)過(guò)多次操作，已經(jīng)“面目全非”。此時(shí)，我們可以運(yùn)用“倒推法”找尋數(shù)量之間最初的關(guān)系。

從最后結(jié)果“兩桶油各有24 千克”倒推，可知甲、乙兩桶內(nèi)共有油24×2=48（千克）。乙桶倒出1/5的油給甲桶后，桶內(nèi)剩24 千克油，所以乙桶倒油給甲桶前，乙桶內(nèi)有24÷（1-1/5）=30（千克）的油，此時(shí)甲桶內(nèi)只有48-30=18（千克）的油。這18 千克的油是甲桶倒出1/3給乙桶后剩下的，所以甲桶在第一次倒油給乙桶前，桶內(nèi)的油為18÷（1-1/3）=27（千克）。根據(jù)兩桶油共48 千克可以求出，乙桶原有油48-27=21（千克）。

故原來(lái)甲桶有油27 千克，乙桶有油21 千克。

從上面的三道題可以看出，在題中沒(méi)有初始數(shù)據(jù)，不適合利用正向思維解題的時(shí)候，我們往往可以從結(jié)果入手，一步步倒推，從而得出原始數(shù)據(jù)。這樣的方式更加簡(jiǎn)潔、易算。

同學(xué)們還要注意，在運(yùn)用“倒推法”計(jì)算時(shí)候，逆運(yùn)算和正運(yùn)算的關(guān)系非常重要，我們要加倍細(xì)心，以防錯(cuò)算。