展開空間想象 掌握圖形結構

【摘" "要】展開與折疊是聯系立體圖形和平面圖形的重要橋梁。基于腦與數學的視角，教學中可采取“多感互聯”和“多材互聯”的教學策略，通過動手操作和想象驗證的方法，輔以藝術欣賞和創意拓展等活動，激發學生的好奇心和記憶力，促進其想象力和推理力的發展。

【關鍵詞】展開與折疊；想象與推理；圖形與幾何

“圖形與幾何”是發展學生空間觀念、推理意識和創新意識的重要領域。［1］其中，展開與折疊是聯系立體圖形和平面圖形的橋梁之一。人教版教材在編排時一開始就把長方體和正方體的六個面展開，同時推進研究；而北師大版教材則是先重點探究正方體的展開圖，再過渡到長方體的展開圖。

關于正方體展開圖的判斷方法，教材中鼓勵學生先想一想，再動手折一折。一些有經驗的教師還總結了“隔一相對，Z字兩端”的方法來判斷相對面，并概括出呈“田”字型、“凹”字型、“一”字型等的六連方圖形一定不能圍成正方體的規律，但這不能取代學生親自想象圖形展開與折疊的過程。從腦與數學的視角來看，在想象展開與折疊的過程中，人大腦中的上千神經元會聯系起來，成為神經元集群。如果多組神經元同時連接在一起，就會形成活躍的想象。由此看來，立體圖形的展開圖不僅是理解立體圖形表面積概念和運算法則的重要載體，也是培養學生空間想象和推理能力的重要媒介，而正方體展開圖更是在其中占據重要地位。

一、教學設計

基于以上設想，“圖形的展開與折疊”教學可采取“多感互聯”和“多材互聯”的策略，組織學生進行展開與折疊的空間想象活動，進一步提升學生的想象力、推理力、記憶力和好奇心，從而促進學生腦智的發展。

（一）腦智發展目標

（1）想象力。通過操作、辨析、想象，開展二維圖形與三維圖形的轉換活動，認識圖形特征，發展想象力。

（2）推理力。通過有序分析思考，在類比中把握圖形規律，提升推理水平。

（3）記憶力。通過操作、聯想、拓展，積累想象經驗，將知識系統化、個性化，發展記憶力。

（4）好奇心。通過問題引領、動手探究、支架輔助、創意拓展等活動，從對正方體展開圖的探究過渡到對其他立體圖形的探究，增強聯想能力，激發好奇心。

（二）教學策略設計

為達成以上腦智發展目標，可設計如下教學策略。

（1）好奇引領。通過動手改造六連方，探究正方體展開圖，并依據正方體展開圖探究其他立體圖形的展開圖，引發結構聯想和規律聯想，發展好奇心和想象力。

（2）多感協同。通過用紙折、用磁力片擺、用示意圖表示、用軟件互動等活動，提供視覺、觸覺等刺激，動靜結合，協同多重感知，實現慧腦學習。

（3）藝術嵌入。伴隨輕松的音樂，欣賞建筑大師貝聿銘的佳作，用數學的眼光觀察現實世界，發現數學之美，感悟空間想象與社會發展的聯系。

（4）創意拓展。積累想象經驗，從展開圖的角度進行立體圖形的研究，從而發現柱體與錐體的特征、性質等。

（5）思維構圖。梳理全課，繪制思維地圖，掌握圖形結構的實質性規律。

（三）適合神經連接的環境設計

（1）選用彩色紙、彩色磁力片等學習材料，在學生進行雙手活動時，引發學生的注意，喚起學生的積極情緒，不斷調動大腦發出指令。而手又能傳遞各類感知覺，將刺激反饋給大腦，使腦內神經元更敏銳。

（2）將學習內容和學習方法結構化，以減輕學生大腦的認知負荷，加強其神經元之間的連接。

（3）伴隨輕松的音樂，欣賞建筑大師貝聿銘的佳作，促進學生大腦不同區域產生豐富的神經活動，刺激其腦內多巴胺的釋放，強化大腦神經元之間的連接，提高學生的認知能力、創造力和想象力。

二、教學實踐

（一）問題整合，展開想象

動腦想是想象力發展的前提。［2］因此，在教學時，教師要把“想”前置，以問題為導向，讓學生在觀察中想象，在想象中推理。

1.操作引入，激發想象

教師出示圖1，提問：“以下幾個平面圖形能否折成正方體？”

學生能快速而正確地對①號、②號圖形作出判斷，但對③號、④號圖形能否折成正方體猶豫不決。基于此，教師請學生動手折一折，利用彩色紙片操作驗證。

學生操作后，教師小結：能折成正方體的六連方就是正方體的展開圖。

2.問題驅動，有序推理

教師提問：“②號圖形為什么不能折成正方體？”引導學生想象和推理相對面的位置關系和正方體展開圖的結構特征，得出要圍成正方體必須形成上下、左右、前后三組相對的面。

接著，教師給②號圖形的6個面標上序號（如圖2），引導學生思考：能否移動1個正方形，使它能折成正方體？

學生先獨立思考，操作學具，畫出示意圖，再小組討論，最后全班交流。

師：說一說，你移動的是哪個面？移到了哪里？為什么？

生：我移動的是2號，將它移動到3、4、5、6號的下面都可以。因為折疊時2號和6號會重疊，1號則缺少相對的面，所以我將2號移動到了這四個位置。經過驗證，移動后都能折成正方體。

生：因為2號和6號會重疊，所以還可以移動6號。

生：可以將6號移動到2、3、4、5號的下面。

師：老師根據大家的思路整理了一下，共得到8種方案（如圖3）。這8種方案中，有沒有經過旋轉、翻轉會重合的呢？

生：第二行第一個圖形上下翻轉后會與第一行第二個圖形重合。

生：第一行第三個圖形順時針旋轉180度后會和第二行第四個圖形重合。

3.語言表征，想象折疊

教師提問：“如果沒有學具，怎么用想象的方法來驗證呢？”通過交流討論，師生梳理出表達支架：把" " "號看成底面，想象折疊的方式，找到相對面。通過實踐，學生發現一般選擇居中位置的面作為底面更容易想象出折疊后圖形的樣子。以圖4為例，可以將較為居中的4號看作底面不動，然后想象折疊的方式，即左3右5、上6下4、前2后1，從而形成三組相對的面。

教師引導學生動手改造六連方，以探究正方體的展開圖，通過協同用紙折、用磁力片擺、用示意圖表示、用軟件互動等多重支架，為學生提供視覺、觸覺等刺激，動靜結合，多感互聯，助推學生有序推理，發展學生的好奇心和想象力，使學生的思維向更高的幾何思維水平發展。此時，大腦中上千的神經元會聯系起來，成為神經元集群，從而實現慧腦學習。

（二）類比聯想，發散想象

創造心理學有一個共識，即創造力與發散思維有著密切的聯系。一個人若能由一個事物聯想到盡可能多的事物，那么他就有可能表現出較強的創造力。

師：（出示圖5）請繼續想象，與正方體的展開圖相比，這個長方體的展開圖有什么變化？

生：上下兩個面不變，前后左右四個面從正方形變成了長方形。

師：上下兩個面叫作底面，前后左右四個面叫作側面。我們可以從正方體的展開圖入手，去探究其他立體圖形的展開圖。

1.結構聯想：上底+側面+下底

教師出示要求：畫出其他立體圖形的展開圖。讓學生先想一想，這些立體圖形的展開圖和正方體的展開圖相比有什么聯系與變化，再畫出示意圖。

通過活動探究，學生聯想到長方體的展開圖有6個面，相對的面完全相同；三棱柱有5個面，側面比正方體少1個面；圓柱的展開圖有3個面，側面可以看作長方形，也可以看作平行四邊形。

接著引導學生找一找這些立體圖形展開圖之間的聯系與區別，從而發現它們都是由上底、下底和側面圍成的，區別在于它們側面的數量不一樣，有的是4個，有的是3個，還有的是1個。

2.規律聯想：立體圖形側面展開圖的長=底面的周長

教師提問：“圓柱展開圖中，長方形的長=底面圓的周長；圓錐展開圖中，扇形的弧長=底面圓的周長。除此之外，你們還有什么猜想？”引導學生猜測：長方體、正方體、三棱柱的展開圖中有沒有這樣的規律呢？學生通過想象、推理、交流、聯想，得到立體圖形側面展開圖的長=底面的周長。

在教學圖形與幾何領域的知識時，可采取“多材互聯”的方法，引導學生將零散的知識聯結在一起，促進結構化思維的形成，從而加強神經元之間的連接，減輕大腦的認知負荷，使學習更富有情趣，讓學生更有創造力。以展開與折疊為例，教師可引導學生探索不同立體圖形展開圖的結構和規律，發散思維，對幾何圖形的規律或其中的位置關系作進一步想象、推理與探究，從而發展學生的想象力和推理能力。

（三）拓展創編，升華想象

在已有活動的基礎上，學生能將展開與折疊的經驗、方法遷移到對立體圖形的研究中。在教學中，除了上述來源于教材的學習任務，教師還創編了關于錐體和柱體的展開與折疊的拓展性學習材料（如圖6）。學生通過活動發現，錐體尖尖的是因為它們的側面是三角形，直柱體直直的是因為它們的側面都是四邊形且上下底面完全相同。這不僅讓學生的想象力得到進一步提升，還讓學生習得了今后研究立體圖形的策略，即從展開與折疊的角度進行研究，從而發現幾何圖形的特征、性質、定理等。

將立體圖形展開研究，能促使大腦中的神經元開始新的連接，建立新的記憶和經驗，提高大腦皮層的反應能力，進一步激發學生的好奇心和想象力，使他們的大腦不斷創造出新的想法和創意。

（四）復盤整理，形成策略

教師引導學生梳理本課的學習內容，建立知識之間的關系網，形成思維地圖（如圖7～圖9），以幫助學生深入理解概念，掌握圖形結構的實質性規律。長期使用思維地圖可以幫助學生將知識以組塊的方式進行儲存，實現知識的整合，從而增強大腦的記憶能力。

教師總結本課內容，并提問：“通過本節課的學習，你對展開與折疊有了哪些了解，還想問什么問題？”最后，展示建筑大師貝聿銘的佳作，并播放輕松的音樂，讓學生伴隨音樂欣賞建筑設計，用數學的眼光觀察現實世界，從而發現數學之美，感悟空間想象與社會發展的聯系。

三、教學反思

在快速迭代的世界中，空間想象與空間推理已然成為一項必備技能。無論是工程、設計還是日常生活都離不開空間想象與空間推理。腦科學研究表明，小學階段，學生的空間想象能力處在初步發展階段。通過訓練和學習等刺激，可以提升他們的空間想象能力。為此，教師可以遵循腦的認知特點，依托已有的課程內容，開展圖形與幾何領域的學材設計與學科實踐，讓學生經歷空間想象的過程，形成有邏輯關聯、緊密聯系的知識鏈，提升空間想象能力。

（一）多感互聯，連接神經元

神經元是大腦內部傳遞信息的媒介。當人們學習新知識時，大腦會產生電流。電流通過神經元互相傳遞，把大腦的不同區域聯系在一起。因此，讓學生操作色彩明亮的磁力片、與軟件積極互動，或伴隨輕松的音樂欣賞建筑大師貝聿銘的佳作，能夠激活他們的視覺、觸覺、聽覺等神經活動，促進腦內多巴胺的釋放，強化神經元的再生與連接，從而使學生的心情更加愉悅，提高學習的注意力和積極性，發展認知能力、創造力、記憶力和想象力。

（二）多材互聯，聯通想象力

想象力指能夠從已知經驗中創造新事物的能力，它的基礎就是聯想能力，即通過在腦中聯系、重組展現出創造力。學生探究正方體的展開圖時所積累的在“立體—平面”間雙向聯想的空間經驗，有利于他們解決后續相關的實際問題。橫向來看，正方體1-4-1結構的展開圖中，4個側面不動，上下2個底面有序搭配，可以衍生出6種展開圖，有助于學生更好地形成圖式，發展推理能力。縱向來看，它聯系了直柱體的展開形式1-n-1，即直柱體由上底、側面和下底圍成，由此聯系到錐體的展開形式0-n-1，即錐體由側面和下底圍成，進而形成立體圖形側面展開圖的長等于底面圖形周長的聯想。

如此，教師不斷引導學生將新信息與原有知識網絡貫通互聯，實現知識的結構化，從而減輕學生大腦的認知負荷，幫助他們提高記憶力。從正方體展開圖聯想到其他立體圖形的展開圖，再到柱體與錐體的展開圖，實現方法的結構化，使學生能將方法從部分遷移到整體、從一題遷移到一類，從而內化成解決幾何問題的策略性知識。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］羅永軍，沈建琦.問題·想象·實驗：圓錐體積的學材設計與教學路徑新探［J］.教學月刊·小學版（數學），2023（9）：19-23.

（浙江省杭州市勝利山南小學）