數學閱讀課“田忌賽馬”的教學設計

閱讀對于一個人成長的重要性不言而喻。數學閱讀作為學生閱讀能力、閱讀習慣培養的重要一環，對發展學生的核心素養起著不可替代的作用。然而，目前適合小學生的數學讀物并不多見，對數學閱讀課的探索成果也較為稀少。如何開發合適的數學閱讀材料，開設數學閱讀課成為十分重要的研究課題。本刊將長期關注數學閱讀，不定期刊發這方面的探索成果，以期推動小學生數學閱讀的發展，提升學生核心素養水平。

“田忌賽馬”是我國著名的歷史典故，它具有豐富的內涵，對培養學生的思辨能力具有重要意義。筆者將這個策略故事和數學知識結合起來，先給學生編寫一些閱讀材料，再利用這些閱讀材料上課，形成了一節知識豐富且妙趣橫生的數學閱讀課。

【教學適用年級】

四至六年級。

【教學目標】

（1）拓寬認識事物的角度，能夠從多個角度解讀“田忌賽馬”的故事。

（2）拓展知識面，初步了解“定性描述”與“定量描述”、“同時博弈”與“相繼博弈”的含義。

（3）認識到規則的重要性、公平性以及規則與策略之間的關系。

【教學過程】

環節一：閱讀故事，熟悉內容

引導語：請同學們讀一讀“田忌賽馬”的故事，思考并解決材料1中的問題。

（材料1）齊國的大將田忌很喜歡賽馬。有一回，他和齊威王約好一起賽馬。他們把各自的馬分成上、中、下三等，每一次都派出一匹馬對戰。由于他們都依次派出上等馬、中等馬和下等馬進行比賽，而齊威王每個等級的馬都比田忌同等級的馬強，所以三場比賽下來，田忌都失敗了。田忌覺得很掃興，垂頭喪氣地準備離開賽馬場。

孫臏是田忌的門客，頗有才華。他看了比賽后，發現雙方馬的奔跑速度其實相差不多，于是對田忌說：“從剛才的情形來看，齊威王的馬比將軍的馬快不了多少……”

孫臏還沒有說完，田忌便瞪了他一眼：“想不到你也來挖苦我！”

孫臏說：“我不是挖苦您，您與他再賽一次，我有辦法讓您取勝。”

田忌疑惑地看著孫臏：“你是說另換幾匹馬？”

孫臏搖頭：“一匹也不用換?！?/p>

田忌沒有信心地說：“那還不是照樣輸！”

孫臏胸有成竹：“您就照我的主意辦吧。”

于是，田忌和齊威王就又賽了一次。

第一場，田忌用下等馬對齊威王的上等馬，輸了。

第二場，田忌拿上等馬對齊威王的中等馬，勝了。這時，齊威王有點兒心慌了。

第三場，田忌拿中等馬對齊威王的下等馬，又勝了。這下，齊威王目瞪口呆了。

比賽結束，田忌勝兩場輸一場，贏了齊威王。

馬還是原來的馬，但田忌只是調換了一下馬的出場順序，就讓比賽轉敗為勝了。

問題：這個故事中一共舉行了兩次賽馬比賽，每次賽馬都要比三場。從第一次的三場比賽中，孫臏發現了什么？

全班交流，回答問題。學生會表達出：孫臏發現齊威王和田忌每一等級馬的奔跑速度差不了多少。

（設計意圖：讓學生通過閱讀與交流，弄清故事內容，明確孫臏的發現。）

環節二：讀懂不同表達，評價不同表達

引導語：孫臏的發現可以怎么表達出來呢？下面兩個人有不同的表達方式，請你閱讀他們的表達并進行評價。

（材料2）下面兩個人都寫了孫臏的發現。

第一個人是這樣寫的。

（1）齊威王和田忌的馬都是上等馬跑得最快，中等馬次之，下等馬最慢。

（2）齊威王的上等馬比田忌的上等馬跑得快，齊威王的中等馬比田忌的中等馬跑得快，齊威王的下等馬比田忌的下等馬跑得快。

（3）田忌的上等馬比齊威王的中等馬跑得快，田忌的中等馬比齊威王的下等馬跑得快。

第二個人是這樣寫的。

如果把齊威王與田忌分別用A、B表示，上等馬、中等馬、下等馬分別用1、2、3表示，那么，齊威王三個等級的馬分別可以用[A1]、[A2]、[A3]表示，田忌三個等級的馬則可以用[B1]、[B2]、[B3]表示?！癧A1gt;B1]”表示“齊威王上等馬的速度比田忌上等馬的速度要快”，其他的速度關系也可用類似的方式表示，這樣很快可以寫出孫臏的發現。

即：（1）[A1gt;A2gt;A3]，[B1gt;B2gt;B3]。

（2）[A1gt;B1]，[A2gt;B2]，[A3gt;B3]。

（3）[B1gt;A2]，[B2gt;A3]。

評價上面兩個人的表達可以有多種不同的角度，下面是從數學角度給出的評價。

在數學中，常常會使用符號進行表達。從使用符號的多少與其簡潔情況來看：第一個人的表達除了文字沒有使用其他符號；第二個人的表達則使用了符號，并先說明每一個符號的含義，再用符號來表達孫臏的發現，但如果直接看他使用的符號，就不容易看懂?？梢姡x懂用符號表達的信息，就一定要先弄清楚符號的含義，再讀懂符號表達的各種關系。如果能夠弄清楚符號的含義，那么用符號表達將是十分簡潔、明了的。

你同意這樣的評價嗎？你覺得使用符號還有什么好處？

全班交流，說一說不同表達方式的特點。引導學生：（1）認識符號表達的優越性，體會這種表達的模型價值——即使換成“張三的馬與李四的馬比賽”“王五的馬與趙六的馬比賽”“甲的馬與乙的馬比賽”，使用的符號也可以不變；（2）明白用符號表達時，必須先弄清符號的含義。

（設計意圖：讓學生在閱讀與交流中，通過對比感受符號表達的優越性，并明晰具備這種優越性的前提條件是明確符號表達的含義，培養學生的符號意識。）

環節三：初步了解“定性描述”與“定量描述”的含義

引導語：如果要對馬的奔跑速度進行描述，可以有哪些不同的方法呢？請同學們閱讀下面的材料，并回答其中的問題。

（材料3）在這個故事中，每匹馬奔跑的速度不一樣。如果用分數來表示馬的奔跑速度，分數大表示奔跑速度快，分數小表示奔跑速度慢，滿分為10分，那么根據故事里對馬奔跑速度的描述，每匹馬的奔跑速度分別可以打幾分呢？表1是兩個人對每匹馬奔跑速度的打分，你覺得他們的打分都對嗎？

小明認為：“有了等級，就可以區分出馬奔跑的快慢了，沒必要再給出分數。也就是說，再給馬的奔跑速度打分是多余的。”你覺得小明說得有道理嗎？為什么？

把馬分成上等馬、中等馬和下等馬這樣的等級，是對馬奔跑速度的描述，人們通常把這樣的描述稱為定性描述。給馬打分，比如用10分或3分來描述馬的奔跑速度，也是一種描述方式，這樣的描述稱為定量描述或定量刻畫。

第一個人給齊威王的上等馬打10分，中等馬打8分，給田忌的上等馬打9分，這個9分的定量描述就反映出“田忌的上等馬比齊威王的上等馬跑得慢，但比齊威王的中等馬跑得快”這樣的定性描述。第二個人給田忌的上等馬打9.5分，這不但反映了“比齊威王的上等馬慢、中等馬快”這樣的描述，還刻畫了“比齊威王的上等馬慢0.5分，比中等馬快1.5分”這樣的情況，從而反映出“比齊威王的上等馬要慢一點，但比齊威王的中等馬快很多”這樣的定性描述。

上面的表格中，兩個人的打分都是對的，都正確地反映了故事中對馬奔跑速度的描述。但兩個人打的分數不完全一樣，說明他們對“快多少或者慢多少”的理解是不一樣的?？梢?，定量描述能更為精確地衡量事物的性質、程度，也更利于進行數學的處理。人們為了更全面地描述一個事物，通常采用定性和定量相結合的方法。因此，“定量描述是多余的”這樣的觀點并不正確。

你能不能試著舉一個例子，說一說什么叫定性描述和定量描述？

讓學生先獨立舉出一個事件，對它作定性描述與定量描述，再說一說這兩種描述的特點，然后全班交流。學生會舉出類似于考試成績這樣的事件，用優、良、及格、不及格來描述考試成績是定性描述，用分數來描述考試成績是定量描述。引導學生得出：（1）兩種描述都很重要；（2）定性描述相對模糊，定量描述相對精確；（3）進行科學研究時，常常需要將定性描述與定量描述結合起來。

（設計意圖：讓學生通過閱讀與交流，初步了解定性描述與定量描述的含義，拓寬他們的視野，引導學生建立正確描述事物的觀念，提升理性思考的能力。）

環節四：認識“馬的實力”與“策略”的關系

引導語：要贏得賽馬比賽，主要依靠什么呢？請同學們閱讀下面的材料，并回答其中的問題。

（材料4）在這個故事中，田忌聽了孫臏的建議，調換了出馬的順序，最終以2∶1贏得了第二次比賽。那么，是否還有其他的出馬順序，也可以讓田忌贏得比賽呢？請看表2。

表2中，在齊威王出馬的順序固定為上等馬、中等馬、下等馬的前提下，田忌可以有六種不同的出馬順序，但只有一種出馬順序可以幫助田忌贏得比賽，其余五種出馬順序田忌都會輸。這時，我們可以說田忌贏得比賽的可能性是[16]。孫臏在觀察了第一次賽馬時的三場比賽后，能夠迅速發現齊威王與田忌各自馬的奔跑速度以及它們速度之間的關系，并馬上選擇出這種唯一能贏得比賽的策略，真是充滿智慧！而田忌也正是靠這種充滿智慧的策略才贏得比賽的。

如果齊威王出馬的順序也變成了依次出中等馬、下等馬、上等馬，那田忌是不是也有贏的可能呢？表3中排出了這種情況下田忌可能的六種出馬順序，想一想，田忌贏的可能性是多少？

相信通過表3中的排列與計算，你一定得到了田忌只有一種出馬順序才能贏，也就是他贏得比賽的可能性是[16]的結論。那為什么田忌贏得比賽的可能性這么小呢？這是因為他每一個等級的馬都不如齊威王的馬。如果田忌好好養馬、馴馬，提高馬的奔跑速度，就一定會增加贏的可能性。比如，假使田忌能將他的下等馬訓練得比齊威王的下等馬跑得快，那么即使其他等級的馬的奔跑速度不變，田忌是不是也能提高贏的可能性呢？答案是肯定的。這時候，在六種出馬順序中，已經有兩種順序能夠使田忌贏得比賽了。也就是說，田忌贏得比賽的可能性由原來的[16]（不到17%）上升到了現在的[13]（約33%）?，F在請想一想，賽馬取勝最重要的因素是什么？是孫臏這樣的策略？還是馬的奔跑速度？

全班交流。引導學生認識到：要贏得賽馬比賽，最主要的影響因素是馬的實力。

（設計意圖：讓學生通過閱讀“可能性大小的數據”，從理性的層面認識到“馬的實力”的重要性。）

環節五：初步了解“同時博弈”與“相繼博弈”的含義，理解規則的重要性

引導語：這個故事里，齊威王在第二次比賽中輸了。如果你是齊威王，你會怎么想？怎么做？請獨立思考，回答問題。

全班交流，說一說自己的想法。多數學生會表達出：在比賽時，要求田忌先出馬，或要求同時出馬。也有學生要求先制訂比賽規則。

引導語：如何開展比賽是一門很大的學問，請同學們讀一讀材料5，并回答其中的問題。

（材料5）像這樣研究如何作出最優決策的學問叫作博弈論，它是現代數學的一個分支。如果參與者是同時作出決策的，稱為同時博弈。比如，玩“石頭、剪刀、布”游戲時，一定要兩人同時出石頭、剪刀或布，“同時出招”就是這個游戲的規則。而兩個人下棋就不是同時博弈，因為他們不是同時出棋的，而是“你走一步，我再走一步”，這樣的博弈稱為“相繼博弈”，“你走一步，我再走一步”也是一種游戲規則。只有大家都遵守規則，游戲才能玩得長久，玩得開心。

那么，你覺得應該如何制訂齊威王與田忌的賽馬規則呢？先想一想，再讀一讀下面的規則。

1.雙方各出三匹馬，自己決定三匹馬的出場順序，確定順序后告訴裁判，之后便不能再做變動。

2.每次比賽時，雙方都根據事先約定好的順序出馬。

3.每場比賽都以馬先到達終點者為贏，后到達終點者為輸。三場比賽結束后，誰贏得的比賽次數多，就算誰勝利。

4.如有不符合上述規則的行為，則取消比賽資格，并把每場比賽結果都定為輸。

你認為應該在什么時候制訂規則？制訂規則時，需要雙方或多方討論嗎？我們要積極提倡遵守規則嗎？為什么？決定賽馬勝負最重要的因素是什么？如果制訂了規則，像孫臏這樣充滿智慧的策略還有用嗎？

實際上，在雙方或多方展開比賽或是博弈前，就要制訂比賽、博弈的規則。規則制訂的過程需要雙方或多方協商，且制訂的規則要對參加比賽、博弈的雙方或多方都公平、公正。我們必須積極提倡遵守規則，只有這樣才能公平、公正地比賽。而賽馬取勝最重要的因素是馬的奔跑速度。因此，為了贏得賽馬比賽，平時一定要花時間和精力研究馬的成長情況、奔跑規律，好好養馬、馴馬，提高馬的奔跑速度。不過，這不是說策略沒有用，它依舊能夠最大限度地調動人的精神力量和物質力量來取得勝利，只是運用策略時必須遵守規則。但我們也應當明白，最終能長期無敵天下的，一定是“馬的實力”，而非孫臏這樣的策略。

全班圍繞“孫臏的策略是否違反規則？”“規則為什么重要？”“如何認識策略與規則的關系？”三個問題展開交流。引導學生得到：（1）一開始的“田忌賽馬”故事中并沒有制訂賽馬的規則，因此孫臏的策略沒有違反規則；（2）有規則才能使游戲玩得長久，玩得開心；（3）策略很重要，但策略也要在遵守規則的前提下使用。

（設計意圖：讓學生從齊威王的角度思考問題，引發制訂比賽規則的需求；通過閱讀初步了解“同時博弈”與“相繼博弈”的含義，拓展知識面；在閱讀中進一步思考規則的制訂過程、規則的公平性；通過交流進一步認識策略與規則的關系。）

【教學反思】

筆者在浙江杭州、廣東東莞兩地，分別用兩個六年級班級和一個五年級班級的學生上了這節課，并在課后發放調查問卷，以了解學生對閱讀材料與這節課的看法。三個班級共有125名學生聽了這節課，并接受了調查。具體的調查結果如下。

（1）對閱讀材料的喜歡程度（喜歡、一般、不喜歡）及打分情況（滿分10分）。所有學生都選擇了喜歡，且只有3個學生打了9分，其余都打了10分。

（2）對這節課的喜歡程度（喜歡、一般、不喜歡）及打分情況（滿分10分）。所有學生都選擇了喜歡，并打了10分。

（3）寫一寫對今天這節課的感受。絕大部分學生都表達了他們對這樣的課的喜愛。如：“我覺得數學很有趣、很神奇，比如符號可以代表任何事物?！薄拔曳浅Ｏ矚g這節課，因為這節課的內容和閱讀相結合，讓我可以更好地感悟和學習?！薄拔矣X得今天這節‘田忌賽馬’的閱讀課上得很有趣。特別是閱讀材料，讓我認識到了什么叫定性描述、定量描述。我喜歡這樣的課！”

從五、六年級學生的課堂實踐來看，學生對這樣的閱讀材料很感興趣。課堂中學生獨立閱讀時參與程度較高，絕大部分學生都能認真閱讀，只有極個別學生在閱讀時精力不夠集中。不過，筆者在六年級一個班上課時，由于學生獨立閱讀的時間過長，導致課堂交流不夠充分。因此，在課堂上如何分配學生獨立閱讀與相互交流的時間還需研究。另外，由于閱讀材料內容較多，因而選擇哪些內容作為主題進行交流，也還要再進一步探索。

（浙江省杭州市上城區教育學院）