一致性視角下中日教材整數除法的比較研究

【摘" "要】以人教版、康軒版和日教版小學數學教材為研究對象，針對其整數除法內容的編排順序和運算一致性展開比較。結果表明：在編排順序方面，人教版教材選擇“計數單位轉換”為主線，康軒版教材和日教版教材選擇“被除數位數”為主線；只有人教版教材強調商0且推進難度較大；人教版教材以三位數除以兩位數突破試商調商，康軒版教材和日教版教材則以兩位數除以兩位數來突破。在運算一致性方面，康軒版教材達成了算理一致性，人教版教材和日教版教材欠佳；日教版教材貫徹了算法一致性，康軒版教材和人教版教材欠佳。據此提出建議：應以計數單位為單元主線和除法算理算法的內核，貫徹“不夠分就商0”和“一位位分，一位位轉”，并集中突破試商調商。

【關鍵詞】整數除法；編排順序；算理；算法；一致性

一、問題提出

整數除法不僅是整數加、減、乘的綜合運用，還是小數、分數除法的遷移對象，在除法運算學習中占據重要的位置。由于學生對除法算理的理解不夠深入，只會機械性地操作，導致其在運用算法時出現錯誤［1］，這給他們之后的學習造成了阻礙。為解決這一困擾，《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出了數的概念與運算的一致性［2］。整數除法雖然是小學階段最復雜的運算，但也秉持除法運算貫穿始終的核心概念，即一致性［3］。只有引導學生掌握整數除法的通性通法，才能夠建立起整數、小數、分數除法的一致性體系。

教材是教師教學、學生學習的主要依據。現有教材對整數除法內容的編排呈現出多樣的思路，那么，各版教材是如何編排整數除法的？是否體現了運算的一致性？下面將圍繞這一內容展開研究。

二、研究設計

（一）研究對象

本研究選取我國人民教育出版社、康軒文教集團和日本教育出版株式會社發行的小學數學教材（以下分別簡稱“人教版”“康軒版”和“日教版”）作為研究對象，針對其整數除法內容的編排順序和運算一致性展開比較。由于表內除法和有余數的除法的編排并無大異，而除數是一位數和兩位數的除法是學生學習整數除法最核心的內容，因此下文僅分析后兩者。

（二）分析框架

1.編排順序

編排順序指教材內容安排的先后順序，包括章節內容的宏觀安排和微觀安排［4］。在宏觀安排上，本研究以知識點出現的位置為分析維度；在微觀安排上，本研究依據已有研究［5-6］，選定單元主線、商0、試商調商三個分析維度。具體如表1所示。

2.運算的一致性

運算的一致性包含了運算算理和算法的一致性。［5］由于計數單位是個數和順序的計量單位，因此是一致性的著力點。［7］借助計數單位，算理和算法的一致性體現為計數單位的細分和轉換。步驟為“一位位分，一位位轉”，即做除法運算要按照計數單位從高位一位位分，若有余數，要立馬轉換成用下一級計數單位表示的數，并與該計數單位上已有的數組合成該計數單位上新的數，進行新一輪的均分。策略為“做除法想乘法，做乘法想口訣”，即做除法的實質是在做乘法，乘法又可精簡成表內乘法。由于圖像表征（直觀表征）、橫式表征（抽象表征）是算理的重要表示方法［8］，而算法需要從豎式表征（抽象表征）中提煉出來，因此制定了如表2所示的整數除法運算一致性研究框架。

三、研究結果

（一）編排順序

1.章節內容宏觀安排

三版教材章節內容的宏觀安排如表3所示。

（1）相同點

首先，三版教材都包含了兩位數、三位數除以一位數、兩位數的內容，且都將它們安排在三、四年級。學生在該階段的智力發育水平可以支持抽象的邏輯思考，因此能在一學年內完成整數除法的學習。

其次，三版教材在除數是一位數和兩位數的除法之后，都不再安排整數除法的學習，除數是兩位數的除法由此成為整數除法學習的最終單元。這是因為除數是一位數的除法規范了一位位算的法則，除數是兩位數的除法增加了試商調商，當除數再變化時，其算理算法已不會再發生變化。

（2）各自特點

人教版教材的內容涉及面最小，僅涉及兩位數、三位數除以一位數、兩位數的內容，但這些內容是多位數除法中最核心的部分，說明其注重學生對整數除法基礎的掌握。

康軒版教材將增加的四位數除以一位數的內容放至“整數的除法”單元，作為除數是兩位數的除法的前置知識，割裂了除數是一位數的除法的學習，這也許是在為除數是兩位數的除法做準備。

日教版教材的編排更為緊湊，在四年級上冊設置了“筆算除法（1）”和“筆算除法（2）”兩個獨立單元，用一個學期集中突破整數除法，而增加的四位數除以兩位數的內容則作為學生在整數除法學習中的終極考驗。

2.章節內容微觀安排

三版教材章節內容的微觀安排如表4、表5、表6所示。

（1）相同點

首先，在單元主線上，當除數位數相同時，三版教材都選取“計數單位轉換”和“被除數位數”作為內容推進的維度。其次，在商0上，都給出了多樣的商0情況，包括首位、中間和末尾商0三種類型。最后，在試商調商上，都提供了大量的例題，幫助學生充分積累兩位數除法試商調商的經驗。

（2）各自特點

在單元主線上，人教版教材以“計數單位轉換”為單元主線。在同一單元中，則以“計數單位轉換”為第一次細分依據，“被除數位數”為第二次細分依據，注重單位轉換的及時遷移。而康軒版教材和日教版教材均以“被除數位數”為單元主線。在同一單元中，都以“被除數位數”為第一次細分依據，“計數單位轉換”為第二次細分依據，比較符合學生學習的邏輯。

在商0編排上，人教版教材有兩個特點。其一，商0的遷移略顯困難。雖然0÷5的案例可以解決208÷2的問題，但學生無法獲得“任何數不夠除就商0”的經驗，以致在計算216÷2時出現困難。其二，商0難度的安排不夠妥當。教材展現了“首位—中間—末尾”商0的路徑，任務間的梯度小，但難度安排不得當，首位商0雖然輔以直觀模型進行解釋（如圖1），但難度仍然較大。康軒版教材商0難度遞增，未強調商0。其按照“末尾—中間—首位”的順序展示商0，難度安排大致符合學生的認知。除此之外，教材還淡化了不同位置商0帶來的差異，如對807÷8不給予過程展示，留給學生自主思考。日教版教材則直接展示商0的豎式，但未強調商0。教材不需要學生通過計算獲得0，而是給出完整的豎式（如圖2），要求學生根據豎式解釋0的意思，這更強調商0的意義而非計算中算式的類型。

在試商調商上，人教版教材以三位數除以兩位數來突破試商調商。教材兩次重復了“兩位數除以兩位數—三位數除以兩位數”的路徑，第一輪除數均為整十數，到第二輪再用三位數除以非整十數來突破試商調商。康軒版教材和日教版教材則以兩位數除以兩位數來突破試商調商。在這兩版教材中，兩位數除以非整十數都是學生首次遇到需要把除數估為整十數來試商的情況，這為學生后續學習三位數除以兩位數的試商調商打好了基礎，因此教材在教學三位數除以兩位數時加快了進度。

（二）運算的一致性

1.算理的一致性

三版教材算理的呈現如表7所示。

（1）相同點

在直觀表征上，三版教材都體現了“一位位分，一位位轉”。以計數單位不轉換的42÷2為例，先按“捆”分木棒，再按“根”分木棒，這體現了“一位位分”；以計數單位轉換的148÷6為例，先分正方體的“墻”，不夠分，就把一“墻”打散分成十“列”，另有四“列”加入其中，再進行新一輪的分，這體現了“一位位轉”。

（2）各自特點

人教版教材未規范體現“一位位分，一位位轉”。以計數單位不轉換的66÷3為例，通過“66可以看作6個十和6個一”的語言，教材將作為整體的整數變成了“不同計數單位的數的累加”的形式。雖然數的分解暗含了計數單位細分的思想，但直觀解讀60÷3=20，其仍然以“一”為計數單位，跳過了較大計數單位“十”，并沒有轉化成本質為乘法口訣的除法運算，即6（十）÷3=2（十）。這樣的不規范表達使得學生在表達單位轉換的例題時會遇到障礙（日教版教材同理），這也很好地解釋了為什么人教版教材沒有展示計數單位轉換時的橫式。

康軒版教材體現了“一位位分，一位位轉”。教材利用解釋框表達橫式，如：“6個百除以3，2×3=6”，即使沒有加任何的計數單位，算式也被賦予了“2（百）×3=6（百）”的意義；“1個千和8個百合起來是18個百，每箱分到4個百，剩下2個百”，通過數位也能將計數單位的轉換過程表述清楚。不過，康軒版教材的橫式仍然依附豎式和文字，未形成系統的純數學語言。

日教版教材同樣未規范體現“一位位分，一位位轉”。作為計數單位不轉換代表的96÷3，日教版教材的呈現思路與人教版教材相同。而作為計數單位轉換代表的72÷3，日教版教材在呈現時，先思考將72分解為70+2，發現除不盡后，重新對數進行分解，將其分解為60+12，這有悖于“一位位分”；其橫式按照lt;F：＼2025年教學月刊小學版＼小學數學＼小學數學2025-1-2＼教學月刊-小學數學20251-2期內芯＼Image＼image14_1.pnggt;的方式，以大踏步的思維進行記錄，這有悖于“一位位轉”的常規路徑。

2.算法的一致性

三版教材對運算步驟、運算策略的呈現如表8、表9所示。

（1）相同點

首先，三版教材都貫徹了“一位位分，一位位轉”的步驟，這與上述算理是緊密相關的。其次，三者還都貫徹了“做除法想乘法”的策略，即指向乘法計算。

（2）各自特點

在運算步驟上，人教版教材“一位位分，一位位轉”的步驟較為常規。教材中的豎式每一步都蘊含著單位細分的思想，每兩個分隔線（——）間代表的是同一單位間的分。康軒版教材“一位位分，一位位轉”的步驟更直觀。教材在展示分隔線的基礎上，還展示了被除數的數位。學生可以根據分隔線和數位意識到正在分的是哪一位，若是轉換計數單位，合并成的下一級運算又是哪一位。日教版教材“一位位分，一位位轉”的步驟則更加潛移默化。教材一共提供了兩種方法：第一種是用長豎線的方式嚴格區分數位，以此完成計數單位的細分，要求從左往右計算，在某長豎線數位的除法運算完畢后，再計算下一條長豎線數位的除法；第二種則是使用紫色透明卡，用“遮一遮”的方式露出每一步需要操作的計數單位，當不夠除時，再展示出下一個數位。

在運算策略上，對于除數是一位數的除法，人教版教材和日教版教材能夠貫徹“做乘法想口訣”的策略。具體而言，人教版教材借助計數單位將除法還原為表內乘法，即（2×2）個十（如圖3）；日教版教材同樣虛寫了20的“0”，將重心放在表內乘法2×3上（如圖4）。而康軒版教材在想乘法時想的是20×3（如圖5），使用的是“做除法想乘法”的方式，相較而言，缺少進一步轉化為表內乘法的思考。

對于除數是兩位數的除法，康軒版教材和日教版教材也能夠貫徹“做乘法想口訣”的策略。具體而言，在常規的四舍、五入試商法外，人教版教材針對不同特點的算式，還呈現了“湊五試商”“同頭無除試商8、9”“除數折半估商5”等多種策略，算法多而雜，試商調商缺乏一致性的算法；而康軒版教材和日教版教材雖然也另外呈現了五舍試商法，但由于“五舍”可獲得新的整十數，如此又能回歸“做除法想乘法，做乘法想口訣”的策略，所以在運算策略上擁有一致性。

四、結論與建議

（一）結論

1.編排順序

在章節內容的宏觀安排上，各版教材在知識點上略有取舍和安排。人教版教材的內容涉及面最小卻最核心；康軒版教材將除數是一位數的除法的學習分割開來，安排在兩個學期；日教版教材的內容安排緊密，所有內容均集中在一個學期。

在章節內容的微觀安排上，首先，人教版教材以“計數單位轉換”為單元主線，康軒版教材和日教版教材則以“被除數位數”為單元主線。其次，人教版教材商0的難度安排不當，而康軒版教材和日教版教材對商0難度的安排是逐步遞增的，但并不強調商0。最后，人教版教材選擇在學習三位數除以兩位數時突破試商調商，康軒版教材和日教版教材則選擇在兩位數除以兩位數的學習中突破試商調商，以降低學生試商調商的計算難度。

2.運算的一致性

在算理的一致性上，各版教材都能較好地利用圖像、橫式表征來解釋“一位位分，一位位轉”，但人教版教材和日教版教材的橫式在規范性上還有欠缺。

在算法的一致性上，各版教材都能體現出“一位位分，一位位轉”，其中，康軒版教材和日教版教材更直觀、更潛移默化。此外，還都較好地貫徹了“做除法想乘法，做乘法想口訣”的算法，但康軒版教材和人教版教材在“做乘法想口訣”上還有欠缺。

（二）建議

1.關注整體安排：貫徹計數單位主線

任務安排要清晰明了，有層次地推進，不要走三步退兩步，人為割裂有遷移作用的知識內容。應以“計數單位轉換”為單元主線，有效避免涉及不同知識點時任務進程的倒退。

2.淡化0的存在：一位位分，0是技巧

0是一位位分的技巧所在。在“一位位分”理念的統領下，教材可以給出“不夠除就商0”的“快速路”，淡化0的存在。

3.集中試商調商：運算技能，集中突破

兩位數、三位數除以兩位數都涉及試商調商，由于兩位數除以兩位數能夠減少學生計算的困難，因此教材可以選擇在兩位數除以兩位數的學習中突破試商調商，此后，在編排三位數除以兩位數的內容時就可以減少例題，以檢驗學生對試商調商的運用為主要目的。

4.重視計數單位：實現算理算法一致性

除法運算的內核是基于計數單位的運算［5］80，教材編排應牢牢抓住“計數單位”這個核心概念，建立起除數是一位數、兩位數的除法知識的“承重墻”，加深學生對除法算理和算法的理解，實現除法運算的一致性。

參考文獻：

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（1.杭州師范大學經亨頤教育學院

2.杭州師范大學中國教育現代化研究院）