“平行四邊形的面積”教學中的否認與確認

【摘" "要】“平行四邊形的面積”在小學數學“圖形與幾何”領域占據著承上啟下的地位，并發揮著不可或缺的作用。然而，只強調“轉化思想”，把平行四邊形通過“變換”轉化為長方形來推導其面積公式，往往不能有效糾正學生的常見誤解。因此，教學設計需要進行變革，應用“證偽思想”引領學生體會誤解的否認過程，通過開放的認知活動，讓學生經歷比較、篩選和反思的過程，幫助學生從錯誤的認識中走出來，通過“否認”實現“確認”。這樣才能使學生真正理解平行四邊形的面積，進一步培養學生運用數學的眼光觀察現實世界、運用數學的思維思考現實世界、運用數學的語言表達現實世界的能力。

【關鍵詞】平行四邊形；面積；否認；確認

在小學階段，“平行四邊形的面積”上承面積概念、長方形和正方形的面積，下接三角形、梯形和圓形等圖形的面積，是幫助學生發展空間觀念，從邏輯上理解面積計算原理的節點性知識。然而，這樣一個重要的學習內容，在具體教學實踐中仍有值得改進的空間。在以往的教學中，部分教師習慣于直接向學生灌輸平行四邊形的面積計算規律，過于強調學生對“平行四邊形的面積=底×高”這一公式的記憶與運用，而缺少與學生既往學習知識間的貫通，同時忽視了學生思考過程中可能會產生的直覺錯誤。這導致學生在接觸平行四邊形面積的計算時，會習慣性地帶入對長方形面積計算的固有印象，錯誤地認為平行四邊形的面積也是通過相鄰兩邊長度相乘來計算的。

歸根結底，過分強調公式的形式推演和記憶套用，而不引導學生深入理解圖形面積概念，正是傳統教學法的不足所在。這導致學生對平行四邊形面積計算的理解浮于表面，知其然而不知其所以然。事實上，面積計算并非簡單的公式應用，而是涉及對圖形基本屬性的洞察和掌握。在“平行四邊形的面積”的學習中，學生必須深刻理解“底”和“高”這兩個基本概念，并掌握如何通過變換將平行四邊形轉換為計算起來更為簡便的長方形。為此，教師可改變傳統的教學設計方法，引入“證偽思想”來引導學生理解知識，通過一系列開放性的認知活動，讓學生在比較、篩選和反思中，探索和發現面積計算背后的邏輯原理，逐步構建起對平行四邊形面積計算的清晰認識，從而理解并掌握平行四邊形面積的計算方法。

一、課前思考，確立教學目標

對于“平行四邊形的面積”的教學，現行教材通常采用單一的剪拼方法，將平行四邊形轉變為長方形，以此推導出面積公式。這種方法一定程度上是在已然明了“平行四邊形的面積=底×高”這一最簡潔直接的計算方法之后對計算過程的逆向重現，會抹殺學生作為未知者探索多種計算方法的可能性，進而限制學生思維的發展。學生容易陷入單一的思維模式，只能理解表面的知識，而缺乏對背后原理的深入探究，變得過分依賴公式，在沒有公式或具體數據支持的情況下就無法進行計算。總之，對知識點理解的模糊以及靈活性的欠缺，嚴重制約了學生的成長。

為了克服這些局限，必須改變教學策略，不能僅僅滿足于公式的推導和記憶，還要引導學生深入挖掘圖形的本質特性及其相互關系，探索和發現其中的規律性。這要求教師從學生的視角，再現從否認到確認、從具體實例到抽象概念的認知過程，使學生不僅能掌握平行四邊形面積的計算技巧，還能養成全面深刻的思考習慣，為終身學習打下堅實的基礎。

基于此，教學過程中應逐步引導學生主動探索，在從否認到確認的思考過程中拓展空間想象能力，使數學學習成為一種在多樣化選擇中細致比較和精確篩選的理性活動，從而提升學生的數學核心素養。

“平行四邊形的面積”的具體教學目標主要有以下三點。

第一，在比較和篩選的過程中，使學生從圖形本質理解平行四邊形面積的計算方法。幫助學生從錯誤的認識中走出來，通過“否認”實現“確認”，真正理解平行四邊形的面積概念；激發學生探索平行四邊形面積計算背后的邏輯原理，使其理解并掌握面積計算的方法；讓學生通過實際操作和直觀感知來體驗圖形的本質，建立對平行四邊形面積計算的清晰認識。

第二，揭示“高”在計算平行四邊形面積中的關鍵作用，使學生能夠用數學語言進行表達。引導學生經歷從“否認”到“確認”的認知過程，使其學會在多樣化選擇中進行比較和篩選，提升數學核心素養。設計啟發性的教學活動，讓學生在探索和發現的過程中，拓展空間想象能力，培養全面且深入的思考習慣。

第三，通過觀察和質疑，培養學生的量感和想象力。引導學生改變過分依賴公式和記憶的學習模式，深入挖掘圖形本質，探索面積計算原理，培養學生會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界的能力。

二、從否認到確認的教學實踐

個體在探索未知領域時，往往會不知不覺地依賴已有的知識經驗。由于主觀獨特性，不同學生對同一經驗會有獨特的解讀和感知。這些經驗在塑造他們對新事物的理解時，既可能催生積極的確信，也可能導致負面的誤解。因此，在界定新對象的本質時，同樣需要對它的非本質特性進行否定和甄別。對于“為何如此”的闡述，也應當與“為何不如此”的分析相輔相成。兩者共同構成了認知的完整圖景。唯有剔除那些“非如此”的可能性，才能堅定地接受并確信“這是什么”以及“為何這樣”。于是，針對學生學習的課程設計，除了包含“是什么”和“為何這樣”的學科結構，還應涵蓋“如何確認并信任”的認知路徑，即一個“從否認到確認”的思維過程。而“從否認到確認”的教學設計，須立足開放性的認知活動。［1］

第一，否認“平行四邊形面積與長方形面積計算方法一致，皆是鄰邊之積”的看法。

教師先引導學生進行觀察、思考和想象，并借助活動，對自己的初步推理進行否定，得出即使兩個圖形的邊長相等，面積也可能不相等的結論（如圖1）。

接著引導學生通過觀察和思考，探討長方形變形為平行四邊形后面積是否會變化的問題。學生最初意見不一，隨后在教師引導下，利用學具進行自主思考和小組探究，最終發現長方形變形為平行四邊形后面積會變小，并通過剪拼實驗進行了驗證（如圖2）。

第二，否認“其中一組對邊相等，另一組對邊更長的面積更大”的看法。

盡管有之前活動的基礎，學生在比較等底等高的長方形與平行四邊形的面積關系時，得出的結論仍是平行四邊形的面積更大。理由是雖然兩者底邊相等，但是平行四邊形從左到右的跨度有6個格子，而長方形左右的跨度只有3個格子，似乎平行四邊形更“長”，也就是平行四邊形斜著看更長一些（如圖3）。當教師在右側的平行四邊形的基礎上，又畫出一個更“斜”的平行四邊形（如圖4），問學生“面積還一樣嗎？你能得出什么結論？”，學生的結論和理由依然如前所述。

正如德國著名心理學家韋特海默（Max Wertheimer，1880—1943）在《創造性思維》一書中對一次數學課堂的觀察描述：當學生能通過“分、移、補”把平行四邊形轉化為長方形，并得到“平行四邊形的面積=底×高”的結論后，仍認為這一平行四邊形的面積不等于長方形的面積，理由也是平行四邊形看上去比長方形更“長”，而且無法將圖4中最右側的平行四邊形轉化為左側的長方形。［2］研究表明，像這樣“邊越長—面越大”的直覺誤解是極其普遍的。［3］因此，接下來，不如帶著學生進行一次探索性的“旅行”，看看問題怎樣發生，怎樣對付困難，怎樣尋找工具和方法。僅有把平行四邊形動手轉化為長方形的“動態轉化”過程是不夠的，還需要經歷觀察、想象等“靜態對比”的過程。這就需要教師給予學生持續的鼓勵和引導。只要給足學生思考時間，他們就能夠用多種方法論證面積的相等性。

如圖5所示，長方形與平行四邊形之間的空白部分是個梯形，兩個圖形分別與這個梯形組合，形成的圖形皆是一個大梯形，且用平移或數格子的方法可以發現兩個梯形的面積相等，所以長方形與平行四邊形的面積也相等。在這個過程中，學生應用“等量加等量仍然是等量”的基本事實，發現等底等高的平行四邊形和長方形的面積具有等價關系。學生在互相啟發下，還得出了多種通過靜態觀察而思考出來的方法進行論證。

比如，通過“靜態”觀察及思考，巧妙地運用“盈虧互補”的策略，在平行四邊形的右側“缺失”部分，即所謂的“虧”區，補充一個直角三角形，同時在長方形的左側也相應地添加相同形狀、大小的三角形（如圖6）。經過這一操作之后，學生發現兩個組合后的直角梯形的形狀和大小完全一致，從而得出結論：原來的平行四邊形和長方形的面積相同。這樣的發現不僅鍛煉了學生的觀察力和邏輯思維能力，也詮釋了“盈虧互補”原理在實際問題中的應用。

在學生經歷了從“自我否定平行四邊形面積用鄰邊相乘”到“承認平行線間的長方形與平行四邊形面積相等”的過程后，教師接著設計幾個追問，激發學生想要學習平行四邊形面積求法的動機，使其主動尋找關聯。

第三，確認“平行四邊形的面積=底×高”。

在靜態觀察和對比的過程中，學生發現邊的長度不能制約面積的大小。在“等量加（減）等量仍然是等量”“盈虧互補”等多種方法的佐證之下，學生更加深入地認識到“平行線間的平行四邊形面積相等”。聯系“動態轉化”的“分、移、補”以及“靜態對比”的想象與推理，學生在平行四邊形的面積與轉化后的長方形的面積之間建立了一種等價關系，再結合“長方形的面積=長×寬”的知識經驗，發現“平行四邊形的面積=底×高”中的“底”實質上是此類圖形的寬度，“高”實質上是此類圖形的高度（如圖7）。給定平行四邊形的寬度和高度，雖然不能確定平行四邊形的形狀，但能確定它的面積，這樣的認識就成為相信并確認“平行四邊形的面積=底×高”的思想基礎。即通過這節課解決“不是什么”，并在“不是什么”的基礎上，探索“是什么”，據此得出結論“平行四邊形的面積=底×高”。只有這種通過對不同類型的平行四邊形進行剪拼、想象與推理，并依據一定的知識經驗得出的結論，才能讓學生體會到轉化方法的多樣性及結論的科學性、合理性。

第四，回顧從“否認”到“確認”的過程，總結平行四邊形的面積公式。

教師引導學生在逐步深入的探索中總結公式，目的是在前面活動的基礎上，讓學生學會運用數學語言表達平行四邊形面積的計算方法。通過這一過程，可以總結出數學規律：平行四邊形的面積并非由邊的長度單獨決定，即并非邊越長面積就越大。同時，揭示即使邊長不等，兩個平行四邊形的面積仍有可能相等的情況。

為了使學生更好地理解這一規律，教師以學生已掌握的長方形面積公式（即長乘寬）為橋梁，引導學生通過邏輯推理與幾何變換，逐步推導出平行四邊形的面積計算公式。這一推導過程不僅加深了學生對幾何圖形面積計算原理的理解，也鍛煉了學生的數學思維能力。隨后，讓學生以個性化的方式，對推導出的平行四邊形面積公式進行整理，并嘗試證明其正確性。這一要求旨在培養學生的數學表達能力、邏輯推理能力以及數學證明的嚴謹性。通過這一活動，學生不僅掌握了平行四邊形面積的計算方法，還在實踐中體會到數學探索的樂趣與價值。

三、教學啟示

在以往的數學教學實踐中，課程內容的教學常常追求確定性的結論、對公式的死記硬背以及對數據的計算處理。這種方法雖然能夠讓學生快速地得到問題的答案，但缺失了對數學概念和數學原理深層次的探索和理解。相較之下，新課程改革強調運用數學的視角來觀察和思考周圍的世界，鼓勵學生運用數學的思維去深入理解數學概念的內涵，從而更加深刻地把握數學的本質和意義。在這一新的教學理念指導下，教學的關注點不再局限于公式本身，而是更多地轉向對“不是什么、是什么、為什么”的探究過程。這種轉變不僅展示了數學知識的廣博和深邃，還融入了一種至關重要的科學方法論——證偽思想。所謂“證偽”，在波普爾看來就是提出假設、實施證偽，然后再次提出新的假設的過程。“證偽”不是簡單地承認，也不是簡單地否定，而是必須以相應的證據來證明。因此，“證偽”是另一種意義上的“證明”。這種思想提供了一種全新的教學方法。通過對這種教學思想的引入、實踐與運用，可以培養學生的批判性思維和創新能力，鼓勵他們勇于提出假設，并通過實踐來檢驗這些假設，進而在探索和發現的過程中，逐步構建起對數學知識的深刻理解。這節課的設計便試圖通過引導學生經歷這一過程，讓他們深刻體驗數學學習的樂趣和挑戰。

同時，這節課還注重培養學生的“概念轉變”能力。過去，學生往往將學習視為一種知識積累的過程，把頭腦當作一個容器來不斷裝填知識。然而，現代知識觀認為，學習應當是一個概念轉變和內化的過程。在這個過程中，原有的知識經驗受到新知識的挑戰和沖擊，從而引發對現有理解的調整和改造。［4］這不僅要求教學聚焦對數學公式的深入探究，更重要的是要引導學生主動探索“非此即彼”的邊界以及“本質為何”的核心議題。基于否定的視角，通過解析“不是什么”，為后續“是什么”的探索奠定堅實基礎；通過引導學生對這些片面的認識進行推理與論證，讓學生發現前概念的矛盾點，從而形成正確的概念體系［5］。由此，引導學生進一步對片面認知進行邏輯推理與實證檢驗，揭示其內在矛盾，從而構建出更為準確、全面的概念體系。這一過程強調了學生的主動性與批判性思維，促進了其知識結構的優化與升級。

此外，這節課也注重將真實學習與數學概念相結合。在真實學習中，學習者不再是抽象知識的被動接收者。相反，他們以根植于現實的方式體驗和應用知識。［6］通過真實的任務、項目和問題情境，學生得以在實際操作中感知數學概念的魅力。教師在這個過程中扮演著引導者、組織者和合作者的角色，而學生則通過親力親為的方式參與到學習活動中來。這種教學方式不僅能夠提高學生的學習興趣和獨立思考能力，還能夠促進他們對數學概念的深入理解和掌握。

參考文獻：

［1］江燕，郜舒竹.“平行四邊形的面積”教學中的問題分析［J］.教學月刊·小學版（數學），2023（10）：4-7.

［2］韋特海默.創造性思維［M］.林宗基，譯.北京：教育科學出版社，1987：16-19.

［3］鄭倩，郜舒竹.數學學習中的直覺與誤解［J］.教學月刊·小學版（數學），2018（11）：4-5.

［4］張國富，王素英.低年段學生科學前概念測查與概念轉變：以一年級《空氣》單元為例［J］.湖北教育（科學課），2018（3）：68-70.

［5］袁維新.概念轉變學習：一種基于建構主義的科學教學模式［J］.外國教育研究，2003（6）：22-27.

［6］劉曉琳，黃榮懷.從知識走向智慧：真實學習視域中的智慧教育［J］.中國電化教育，2016（3）：14-20.

（北京小學豐臺萬年花城分校）